01 模型概述
1．豎直上拋運動：將一個物體以某一初速度v0豎直向上拋出，拋出的物體只在重力作用下運動，這種運動就是豎直上拋運動．
2．豎直上拋運動的力學(xué)特征：F合=mg
3．豎直上拋運動的運動學(xué)特征:初速度v0≠0、加速度a＝－g的勻變速直線運動(通常規(guī)定初速度v0的方向為正方向，g為重力加速度的大小)．
4．豎直上拋運動的規(guī)律
①速度公式：v＝v0－gt上升時間, t上＝eq \f(v0,g).
②位移公式：h＝v0t－eq \f(1,2)gt2eq \(―――――→,\s\up7(落回原處時間),\s\d5(h＝0))t總＝eq \f(2v0,g).
③速度與位移關(guān)系式：v2－v02＝－2gheq \(―――――→,\s\up7(上升最大高度),\s\d5(v＝0))H＝eq \f(v\\al(02),2g).
5．豎直上拋運動的特點
(1)對稱性
①時間對稱性：對同一段距離，上升過程和下降過程時間相等，
tAB＝tBA，tOC＝tCO.
②速度對稱性：上升過程和下降過程通過同一點時速度大小相等，方向相反，
vB＝－vB′，vA＝－vA′.
(2)多解性：通過某一點可能對應(yīng)兩個時刻，即物體可能處于上升階段，也可能處于下降階段．
6．豎直上拋運動的處理方法
7.特殊處理方法：豎直上拋運動到最高點，可以逆向看成向下的自由落體。
02 典題攻破
1. 豎直上拋運動的基本問題
【典型題1】（2025高三·全國·專題練習(xí)）為測試一物體的耐摔性，在離地25 m高處，將其以20 m/s的速度豎直向上拋出，重力加速度，不計空氣阻力，求：
（1）經(jīng)過多長時間到達最高點；
（2）拋出后離地的最大高度是多少；
（3）經(jīng)過多長時間回到拋出點；
（4）經(jīng)過多長時間落到地面；
（5）經(jīng)過多長時間離拋出點15 m。
【答案】（1）2s；（2）45m；（3）4s；（4）5s；（5）1s，3s，
【詳解】（1）運動到最高點時速度為0，由勻變速運動規(guī)律可得
解得
（2）根據(jù)勻變速運動規(guī)律
解得
所以
（3）由(1)(2)知上升時間
下落回到拋點時
解得
故回到拋點的時間
其它方法一：由對稱性知返回拋出點時速度為20 m/s，方向向下，則由
解得
其它方法二：將整個過程看成勻減速運動，則有
回到拋點時
解得（舍去）
（4）方法一：分段法，根據(jù)上述計算可知，物體上升到最高點的時間
物體從最高點落回地面的時間
解得
落回地面的總時間
方法二：全程法，把整個過程看成勻減速運動，以拋點為坐標原點，豎直向上為正方向，則有
解得(舍去)
（5）當(dāng)物體在拋出點上方時，即
根據(jù)勻變速運動規(guī)律
解得或
同理，當(dāng)物體在拋出點下方時
根據(jù)
解得或(舍去)
2. 豎直上拋運動的圖像問題
【典型題2】（23-24高三下·廣東·開學(xué)考試）一位同學(xué)玩彈性很好的彈力球，他由靜止釋放彈力球后，觀察彈力球在豎直方向往復(fù)運動的過程，他發(fā)現(xiàn)彈力球每次反彈能達到的高度幾乎不變，他畫出了兩幅“速度—時間圖像”和兩幅“位移—時間圖像”，描述彈力球連續(xù)多次往復(fù)運動的過程，下列四幅圖中最合適的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】AB．彈力球每次反彈的高度幾乎不變，可以認為球從地面反彈后速度大小不變。球從最高點釋放，先做自由落體運動，彈回后速度大小不變做豎直上拋運動，加速度均為向下的g不變，則圖像的斜率不變，故A正確，B錯誤；
CD．因球上升和下落的過程都做勻變速運動，根據(jù)
則位移與時間不成線性關(guān)系，故圖像不可能是直線，故CD錯誤。
故選A。
3. 自由落體和豎直上拋相遇問題
【典型題3】（23-24高二下·陜西西安·期末）（多選）一長為的金屬管從地面以的速率豎直上拋，管口正上方高處有一小球同時自由下落，金屬管落地前小球從管中穿過。已知重力加速度為，不計空氣阻力。關(guān)于該運動過程說法正確的是（ ）
A．小球穿過管所用時間大于
B．小球不可能在管上升階段穿過管
C．若小球在管上升階段穿過管，則
D．若小球在管下降階段穿過管，則
【答案】CD
【詳解】A．兩物體豎直方向加速度相同，所以小球相對管來說在做勻速直線運動，所以小球穿過管所用時間為
故A錯誤；
C．剛好在管上升最高點穿過管有
解得
若小球在管上升階段穿過管，則
故C正確；
D．若小球在管剛著地時穿管，有
解得
結(jié)合C分析可知小球在管下降階段穿過管則
故D正確；
B．根據(jù)以上分析可知小球可能在管上升階段穿過管，故B錯誤。
故選CD。
03 針對訓(xùn)練
1．（24-25高一上·全國·課堂例題）判斷正誤。
(1)在空氣中自由釋放的物體做自由落體運動。
(2)物體在真空中一定做自由落體運動。
(3)自由釋放的物體只在重力作用下一定做自由落體運動。
(4)在同一地點，輕重不同的物體自由落體加速度一樣大。
(5)自由落體加速度的方向指向地心。
(6)做豎直上拋運動的物體，在上升過程中，速度的變化量的方向是向下的。
(7)豎直上拋運動的速度為負值時，位移也為負值。
(8)亞里士多德認為物體越重下落越快。
(9)伽利略從理論和實驗兩個角度證明了輕、重物體下落一樣快。
【答案】(1)錯誤
(2)錯誤
(3)正確
(4)正確
(5)錯誤
(6)正確
(7)錯誤
(8)正確
(9)正確
【詳解】（1）在空氣中自由釋放的物體受到空氣阻力作用，該物體的運動不是自由落體運動，（1）錯誤；
（2）物體在真空中不一定做自由落體運動，例如，物體的初速度不等于零，物體的運動就不是自由落體運動，（2）錯誤；
（3）自由釋放的物體只在重力作用下一定做自由落體運動，（3）正確；
（4）在同一地點，輕重不同的物體自由落體加速度一樣大，均等于重力加速度，（4）正確；
（5）自由落體加速度的方向一定豎直向下，不一定指向地心，只有在兩極和赤道時，自由落體的加速度才指向地心，（5）錯誤；
（6）速度變化的方向和加速度的方向相同，做豎直上拋運動的物體，在上升過程中，加速度為重力加速度，加速度的方向為豎直向下的，所以速度的變化量的方向是豎直向下的，（6）正確；
（7）設(shè)向上為正方向，從地面豎直上拋一個物體，在下落過程中，速度為負值時，位移為正值，（7）錯誤；
（8）亞里士多德認為物體越重下落越快，（8）正確；
（9）伽利略從理論和實驗兩個角度證明了輕、重物體下落一樣快，（9）正確。
2．（23-24高二下·浙江·期中）在某次運動會上，一跳高運動員以的成績奪得冠軍。經(jīng)了解，該運動員身高取，據(jù)此可算出他離地時堅直向上的速度最接近（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】該同學(xué)重心上升的高度約為
由豎直上拋規(guī)律知
代入數(shù)據(jù)可得
故選C。
3．（23-24高一下·廣東湛江·階段練習(xí)）如圖，一小船以1.0 m/s的速度勻速前行，站在船上的人豎直向上拋出一小球，小球上升的最大高度為0.45 m。假定拋接小球時人手的高度不變，不計空氣阻力，g取10 m/s2，則下列分析正確的是（ ）
A．小球的初速度大小為9m/s
B．小球上升的時間為3s
C．小球到達最高點時速度為零
D．從小球被拋出到再次落入手中，小船前進了0.6 m
【答案】D
【詳解】A．小球拋出時的豎直速度
則拋出時的初速度大小為
選項A錯誤；
B．小球上升的時間為
選項B錯誤；
C．小球到達最高點時水平速度不為零，則速度不為零，選項C錯誤；
D．從小球被拋出到再次落入手中，小船前進了
選項D正確。
故選D。
4．（23-24高一下·廣東惠州·階段練習(xí)）如圖，某同學(xué)在練習(xí)跳球，他將籃球從離地面高為2m的位置以5m/s的初速度豎直向上拋出，接著在籃球正下方豎直舉起手臂并準備沿豎直方向起跳，在籃球拋出后的0.2s時刻恰好跳離地面，此時手指尖離地面高為2.5m。不計空氣阻力，g取10m/s2，已知籃球到達最高點時，該同學(xué)的手指尖恰好觸碰到籃球，則（ ）
A．手指尖觸碰到籃球時，該同學(xué)上升的離度為0.8m
B．手指尖觸碰到籃球時，該同學(xué)的速度為0
C．起跳離地瞬間，該同學(xué)的速度為4m/s
D．籃球最高點距離地面3.05m
【答案】C
【詳解】AD．籃球到最高點時離地面的高度
則手指尖觸碰到籃球時，該同學(xué)上升的離度為h2=3.25m-2.5m=0.75m
選項AD錯誤；
BC．籃球上升到最高點的時間
則人手指尖觸碰到籃球時用時間t1=0.5s-0.2s=0.3s
則由
即
解得該同學(xué)起跳離地瞬間的速度為
手指尖觸碰到籃球時，該同學(xué)的速度
選項B錯誤，C正確；
故選C。
5．（23-24高一上·河南鄭州·期末）（多選）如圖所示，一氦氣球下方系有一物體從地面由靜止釋放，以加速度勻加速上升，時繩子突然斷裂，繩子斷裂后物體運動過程中不計空氣阻力，重力加速度g取。下列說法正確的有（ ）
A．物體從繩子斷裂后到落地過程中做勻變速直線運動
B．物體運動過程中距離地面最大高度為40m
C．和時，物體距離地面的高度相同
D．物體從隨氣球開始運動到落地共用時10s
【答案】AC
【詳解】A．物體從繩子斷裂后到落地過程中，只受重力，加速度恒為重力加速度，故做勻變速直線運動，故A正確；
B．繩子突然斷裂時，物體所在的高度
繩子突然斷裂時，物體的速度
繩子突然斷裂后，物體上升的最大高度滿足
故B錯誤；
C．繩子斷裂后，物體距離地面的高度滿足
分別代入和，解得
故C正確；
D．物體從隨氣球開始運動到落地共用時
故D錯誤。
故選AC。
6．（23-24高一下·重慶長壽·期中）（多選）如圖所示，在離水平地面高度為1m處將一小球以的初速度豎直向上拋出，已知小球在空中運動的加速度大小始終為，方向豎直向下，取拋出時刻為0時刻，則（ ）
A．小球上升到最高點所用時間為0.4s
B．小球上升到最高點時離水平地面的高度為2m
C．小球從拋出到落到水平地面共經(jīng)歷了1s
D．小球在0.2s時和0.6s時經(jīng)過同一位置
【答案】ACD
【詳解】ABC．小球上升到最高點所用時間為
小球上升到最高點時離水平地面的高度為
小球從最高點落回地面所用時間為
則小球從拋出到落到水平地面共經(jīng)歷的時間為
故AC正確，B錯誤；
D．由豎直上拋運動位移公式
可得小球在0.2s時的位移為
小球在0.6s時的位移為
所以小球在0.2s時和0.6s時經(jīng)過同一位置，故D正確。
故選ACD。
7．（2024·廣東佛山·二模）如圖，兩工人在安裝一園林石牌時，通過繩子對石牌同時施加大小相等、方向與豎直方向成的力T，使石牌恰好離開水平地面并保持靜止，然后突然一起發(fā)力把石牌拉起準備安裝到預(yù)設(shè)位置，當(dāng)石牌運動到離地面處時，兩條繩子同時斷裂，石牌繼續(xù)上升后自由下落，已知石牌質(zhì)量，取重力加速度，，。忽略空氣阻力，求：
（1）T的大??；
（2）從繩斷裂到石牌恰好接觸地面的時間。
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）石牌恰好離開水平地面并保持靜止，根據(jù)受力平衡可得
解得
（2）設(shè)兩條繩子同時斷裂時，重物的速度為，石牌繼續(xù)上升后自由下落，則有
解得
該階段所用時間為
石牌自由下落過程，有
解得
則從繩斷裂到石牌恰好接觸地面的時間為
8．（23-24高二下·湖南邵陽·階段練習(xí)）今年4月19日，廣西一法院開庭審理一起高空拋物致一高中生死亡的案例，高空拋物是十分危險的行為，我國正式將高空拋物罪納入刑法內(nèi)容，我們應(yīng)杜絕高空拋物行為?，F(xiàn)有一居民在陽臺玩耍，不慎將籃球從窗臺外落下，致籃球從高樓落下做自由落體運動，籃球開始下落后的v-t圖像如圖所示，已知時籃球距地面高度為12.8m，重力加速度g取，不計空氣阻力，下列說法正確的是（ ）
A．籃球下落至地面所用時間為2s
B．籃球落地時的速度大小
C．籃球落地后反彈的最大高度為3m
D．至，籃球的位移大小為12m
【答案】B
【詳解】A．設(shè)自由落體加速度的方向為正方向，下落的高度，有下落時間為，則，，故A錯誤。
B．設(shè)落地時速度為，則，
故B正確；
C．由圖像知1.6s后，籃球做初速度為的豎直上拋運動，反彈的最大高度
故C錯誤；
D．當(dāng)運動的時間，則發(fā)生位移為，后的位移為
故D錯誤。
故選B。
9．（23-24高一下·甘肅白銀·期末）一籃球從離地面高h處自由下落，與地面碰撞后，反彈高度小于h?；@球與地面的撞擊時間和空氣阻力均不計，取向下為正方向，下列反映籃球運動的圖像可能正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】AC．忽略空氣阻力，籃球在下落與上升的過程中，加速度大小均為g，而圖像中的斜率表示加速度，即兩段圖線應(yīng)相互平行，故AC錯誤；
BD．前圖像與坐標軸圍成的面積大小表示籃球下落的高度，圖像與坐標軸圍成的面積大小表示籃球反彈上升的高度，由于反彈上升的高度較小，故B錯誤，D正確；
故選D。
10．（2024·山東濟南·三模）某同學(xué)將排球墊起，排球以某一初速度豎直向上運動，然后下落回到出發(fā)點。已知排球在運動過程中所受空氣阻力大小恒定，豎直向上為正方向，下列描述排球的速度隨時間的變化關(guān)系圖像可能正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】上升過程，對排球有
排球向上做勻減速運動，其速度為正，即圖像在t軸上方。下落過程，對排球有
速度方向向下，為負，所以圖像在t軸下方，且上升過程中加速度較大，而圖像的斜率表示加速度。即上升過程圖像要比下降過程圖像斜率大，由于有阻力的存在，其在回到原出發(fā)點時，速度大小小于。
故選B。
11．（23-24高一上·山東聊城·期末）重力加速度的精確值在地質(zhì)、地震、勘探、氣象和地球物理等領(lǐng)域的研究中具有重要的意義。“對稱自由下落法”可將值的測量轉(zhuǎn)變?yōu)殚L度和時間的測量。如圖所示，將真空長管沿豎直方向放置，自其中點豎直向上拋出小球，測得小球從離開點到落回點所用時間為，小球在運動過程中經(jīng)過點上方高為處的點，小球先后兩次經(jīng)過點所用時間為，則等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】小球從O點上升到最大高度過程中，根據(jù)公式可得
小球從P點上升的最大高度為
依據(jù)題意可得
聯(lián)立解得
故選B。
12．（23-24高三上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）如圖所示，A、B兩棒均長1m，A懸于高處，B豎于地面，A的下端和B的上端相距h=10m，若A、B兩棒同時運動，A做自由落體運動，B以初速度做豎直上拋運動，在運動過程中都保持豎直。（?。﹩枺?br>（1）兩棒何時開始相遇？
（2）兩棒從開始相遇到分離的時間？
【答案】（1）0.25s；（2）0.05s
【詳解】（1）設(shè)經(jīng)過時間t兩棒開始相遇，A棒下落位移，則有
B棒上升的位移
A、B相遇，則有
解得
即從開始運動經(jīng)0.25s兩棒開始相遇。
（2）從相遇開始到兩棒分離的過程中，A棒做初速度不為零的勻加速直線運動，B棒做勻減速直線運動，設(shè)從相遇開始到分離所需時間為，則有
其中，
解得
13．（23-24高三下·四川成都·開學(xué)考試）如圖所示，一個質(zhì)量為 M、長為 L 的圓管豎直放置，頂端塞有一個質(zhì)量為m 的彈性小球，M=2m，小球和圓管間的滑動摩擦力和最大靜摩擦力大小均為 2mg。圓管從下端距離地面為 H 處自由落下，運動過程中，圓管始終保持豎直，每次落地后向上彈起的速度與落地時速度大小相等，不計空氣阻力，重力加速度為 g。求：
（1）圓管第一次落地彈起時圓管和小球的加速度；
（2）圓管第一次落地彈起后至第二次落地前，若小球沒有從圓管中滑出，則 L 應(yīng)滿足什么條件？
【答案】（1）a1=2g，方向豎直向下，a2=g，方向豎直向上；（2）
【詳解】（1）圓管第一次落地彈起時，設(shè)圓管的加速度為a1，根據(jù)牛頓第二定律有2mg+Mg=Ma1
解得a1=2
方向豎直向下；設(shè)小球的加速度為a2，則有2mg-mg=ma2
解得a2=g
方向豎直向上。
（2）設(shè)圓管第一次落地時的速度大小為 v0，此時小球的速度大小也為 v0，則有
解得
方向豎直向下；碰地后，圓管的速度
方向豎直向上。取豎直向下為正方向，設(shè)經(jīng)過時間t1，小球、圓管的速度相同，則
解得
設(shè)t1時間內(nèi)圓管的位移大小為x1，小球的位移大小為x2，則有
若小球剛好沒有從圓管中滑出，小球與圓管的相對位移大小
之后圓管與小球一起運動，加速度為 g，方向豎直向下，則 L 應(yīng)滿足條件。
分段法
上升階段是初速度為v0、a＝－g的勻減速直線運動；
下落階段是自由落體運動
全過程分析法
全過程看作初速度為v0、a＝－g的勻變速直線運動
(1)v>0時，上升階段；v0時，物體在拋出點的上方；x

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