人教版（2024）九年級上冊21.3 實際問題與一元二次方程優(yōu)秀課后復習題-試卷下載-教習網(wǎng)

考點一用一元二次方程解決增長率問題
考點二用一元二次方程解決傳播問題
考點三用一元二次方程解決營銷問題
考點四用一元二次方程解決動態(tài)幾何問題
考點五用一元二次方程解決與圖形有關的問題
考點一用一元二次方程解決增長率問題
例題：（2022·重慶·中考真題）小區(qū)新增了一家快遞店，第一天攬件200件，第三天攬件242件，設該快遞店攬件日平均增長率為 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】
平均增長率為x，關系式為：第三天攬件量＝第一天攬件量×（1＋平均增長率）2，把相關數(shù)值代入即可．
【詳解】
解：由題意得：第一天攬件200件，第三天攬件242件，
∴可列方程為： SKIPIF 1 < 0 ，
故選：A．
【點睛】
此題考查一元二次方程的應用，得到三天的攬件量關系式是解決本題的突破點，難度一般．
【變式訓練】
1．（2022年新疆維吾爾自治區(qū)新疆生產(chǎn)建設兵團中考數(shù)學真題）臨近春節(jié)的三個月，某干果店迎來了銷售旺季，第一個月的銷售額為8萬元，第三個月的銷售額為11.52萬元，設這兩個月銷售額的月平均增長率為x，則根據(jù)題意，可列方程為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
設這兩個月銷售額的月平均增長率為x，則第二個月的銷售額是 SKIPIF 1 < 0 萬元，第三個月的銷售額為 SKIPIF 1 < 0 萬元，即可得．
【詳解】
解：設這兩個月銷售額的月平均增長率為x，則第二個月的銷售額是 SKIPIF 1 < 0 萬元，第三個月的銷售額為 SKIPIF 1 < 0 萬元，
∴ SKIPIF 1 < 0
故選C．
【點睛】
本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解題的關鍵是能夠求出第二個月的銷售額和第三個月的銷售額．
2．（2022·湖南常德·一模）某市政府為了改善城市容貌，綠化環(huán)境，計劃經(jīng)過兩年時間，使綠地面積增加21%，則這兩年平均綠地面積的增長率為______．
【答案】10%
【解析】
【分析】
設這兩年平均綠地面積的增長率為 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)題意兩年使綠地面積增加21%列出方程，然后求解．
【詳解】
設這兩年平均綠地面積的增長率為 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意可知： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （負值舍掉）．
故答案為：10%．
【點睛】
本題主要考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關系，列方程求解．
考點二用一元二次方程解決傳播問題
例題：（2022·浙江杭州·八年級期中）2020年3月，新冠肺炎疫情在中國已經(jīng)得到有效控制，但在全球卻持續(xù)蔓延，此肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒未進行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有256人患新冠肺炎，設每輪傳染中平均每個人傳染了x人，則根據(jù)題意可列出方程（）
A．x（1＋x）＝256B．x＋（1＋x）2＝256
C．x＋x（1＋x）＝256D．1＋x＋x（1＋x）＝256
【答案】D
【解析】
【分析】
分別計算出每輪的人數(shù)，然后求和即可得出方程．
【詳解】
解：第一輪傳染x個人，一輪后的人數(shù)為（1+x）人；
第二輪的人數(shù)為x(1+x)，
兩輪的總人數(shù)為：1+x+x(1+x)=256，
故選：D．
【點睛】
本題主要考查一元二次方程的應用，理解題意，列出相應方程是解題關鍵．
【變式訓練】
1．（2022·山東棗莊·二模）有一個人患了流行性感冒，經(jīng)過兩輪傳染后共有144人患了流行性感冒，則每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)是______人．
【答案】11
【解析】
【分析】
設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后求解即可．
【詳解】
解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，由題意可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （舍去），
故答案為：11．
【點睛】
本題主要考查一元二次方程的應用，熟練掌握一元二次方程的應用是解題的關鍵．
2．（2022·安徽·合肥市第四十二中學八年級期中）某種流感病毒，若有一人患了這種流感，則在每輪傳染中一人將平均傳染x人．
(1)現(xiàn)有一人患上這種流感，求第一輪傳染后患病的人數(shù)（用含x的代數(shù)式表示）；
(2)在進入第二輪傳染前，有兩位患者被及時隔高并治愈，問第二輪傳染后患病的人數(shù)會有21人嗎？
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)不會，理由見解析．
【解析】
【分析】
（1）設每輪傳染中平均每人傳染了 SKIPIF 1 < 0 人，開始有一人患了流感，第一輪的傳染源就是這個人，他傳染了 SKIPIF 1 < 0 人，則第一輪后共有 SKIPIF 1 < 0 人患了流感；
（2）第二輪傳染中，這些人中的每個人又傳染了 SKIPIF 1 < 0 人，因進入第二輪傳染之前，有兩位患者被及時隔離并治愈，則第二輪后共有 SKIPIF 1 < 0 人患了流感，而此時患流感人數(shù)為21，根據(jù)這個等量關系列出方程若能求得正整數(shù)解即可會有21人患?。?br>(1)
解：由題意可知：
第一輪傳染后患病的人數(shù) SKIPIF 1 < 0 人，
(2)
解：設在每輪傳染中一人將平均傳給 SKIPIF 1 < 0 人，
根據(jù)題意得： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都不是正整數(shù)，
∴第二輪傳染后共會有21人患病的情況不會發(fā)生．
【點睛】
本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是能根據(jù)進入第二輪傳染之前，有兩位患者被及時隔離并治愈列出方程并求解．
考點三用一元二次方程解決營銷問題
例題：（2022·山東·臨清市京華中學模擬預測）深圳著名“網(wǎng)紅打卡地”東部華僑城在2018年春節(jié)長假期間，接待游客達20萬人次，預計在2020年五一長假期間，接待游客獎達28.8萬人次．一家特色小面店希望在五一長期限期間獲得好的收益，經(jīng)測算知，該小面成本價為每碗6元，借鑒經(jīng)驗：若每碗賣25元，平均每天將銷售300碗，若價格每降低1元，則平均每天多銷售30碗．
(1)求出2018至2020年五一長假期間游客人次的年平均增長率；
(2)為了更好地維護深圳城市形象，店家規(guī)定每碗售價不得超過20元，則當每碗售價定為多少元時，店家才能實現(xiàn)每天利潤6300元？
【答案】(1)20%
(2)20元
【解析】
【分析】
（1）設年平均增長率為x，根據(jù)題意列出方程求解即可；
（2）根據(jù)每碗的利潤乘以數(shù)量列出方程求解即可．
(1)
解：設年平均增長率為x，依題意有
20（1＋x）2＝28.8，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：年平均增長率為20%；
(2)
每碗售價定為y元時，店家才能實現(xiàn)每天利潤6300元，依題意有
（y﹣6）[300＋30（25﹣y）]＝6300，
解得y1＝20，y2＝21，
∵每碗售價不得超過20元，
∴y＝20．
答：當每碗售價定為20元時，店家才能實現(xiàn)每天利潤6300元．
【點睛】
本題主要考查一元二次方程的應用，理解題意，列出方程是解題關鍵．
【變式訓練】
1．（2022·浙江杭州·八年級期中）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．
(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；
(2)若此種頭盔的進價為30元/個，測算在市場中，當售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達到10000元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應定為多少元/個？
【答案】(1)20%
(2)50元/個
【解析】
【分析】
（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)“從4月份到6月份銷售量的月增長率相同”列一元二次方程，求解即可；
（2）設該品牌頭盔的實際售價為y元/個，“月銷售利潤達到10000元”列方程，求解即可．
(1)
設該品牌頭盔銷售量的月增長率為 SKIPIF 1 < 0 ，依題意得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （不合題意，舍去）．
答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%；
(2)
設該品牌頭盔的實際售價為y元/個，依題意得：
SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 （不合題意，舍去）， SKIPIF 1 < 0 ，
答：該品牌頭盔的實際售價應定為50元/個．
【點睛】
本題考查了列一元二次方程解決實際問題，準確理解題意，找出等量關系且熟練掌握知識點是解題的關鍵．
2．（2022·貴州六盤水·九年級期末）抖音直播購物逐漸走進了人們的生活．為提高我市特產(chǎn)烙鍋辣椒面的影響力，某電商在抖音平臺上對某品牌袋裝（500克/袋）烙鍋辣椒面進行直播銷售．成本價為40元/袋，如果按60元/袋銷售，每天可賣出80袋．通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每袋烙鍋辣椒面售價每降低1元，日銷售量可增加10袋．
(1)若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完庫存燒鍋辣椒面，每袋售價應定為多少元？
(2)鐘珊珊在水城古鎮(zhèn)的線下實體店售賣同品牌的烙鍋辣椒面，標價為64元/袋．為提高市場競爭力，增加線下銷售量，她決定實行打折銷售，使其售價不超過（1）中的售價，則該品牌烙鍋辣椒面至少打幾折售賣？
【答案】(1)48元
(2)七五折
【解析】
【分析】
（1）設每袋降價 SKIPIF 1 < 0 元，根據(jù)日利潤保持不變列方程求解即可；
（2）利用（1）中的售價列式計算即可．
(1)
解：設每袋降價 SKIPIF 1 < 0 元，
由題意得：（60－40－ SKIPIF 1 < 0 ）（80＋10 SKIPIF 1 < 0 ）＝（60－40）×80，
解得： SKIPIF 1 < 0 ＝12， SKIPIF 1 < 0 ＝0（不符合題意），
∴ 60－12＝48（元），
答：每袋售價應定為48元；
(2)
SKIPIF 1 < 0 ×100%＝75%，
答：該品牌烙鍋辣椒面至少打七五折．
【點睛】
本題主要考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出一元二次方程．
考點四用一元二次方程解決動態(tài)幾何問題
例題：（2021·甘肅·金昌市第五中學八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=2cm，點P在邊AC上，以2cm/s的速度從點A向點C移動，點Q在邊CB上，以1cm/s的速度從點C向點B移動．點P、Q同時出發(fā)，且當一點移動到終點時，另一點也隨之停止，連接PQ，當△PQC的面積為3cm2時，P、Q運動的時間是_____秒．
【答案】1
【解析】
【分析】
設P、Q運動的時間是 SKIPIF 1 < 0 秒，根據(jù)已知條件得到 SKIPIF 1 < 0 cm， SKIPIF 1 < 0 cm ，則 SKIPIF 1 < 0 cm ，根據(jù)三角形面積公式列出方程，解方程即可求解．
【詳解】
解：設P、Q運動的時間是 SKIPIF 1 < 0 秒，則 SKIPIF 1 < 0 cm， SKIPIF 1 < 0 cm ， SKIPIF 1 < 0 cm
∵△PQC的面積為3cm2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （不合題意，舍去），
∴當△PQC的面積為3cm2時，P、Q運動的時間是1秒．
故答案為：1
【點睛】
本題考查了一元二次方程應用——動點問題，三角形的面積，正確的理解題意是解題的關鍵．
【變式訓練】
1．（2022·浙江紹興·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，動點P從點A開始，沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點D從點A開始，沿邊AB向點B以每秒 SKIPIF 1 < 0 個單位長度的速度運動，且恰好能始終保持連接兩動點的直線PD⊥AC，動點Q從點C開始，沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，連接PQ．點P，D，Q分別從點A，C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另兩個點也隨之停止運動，設運動時間為t秒（t≥0）．
(1)當t=3時，求PD的長？
(2)當t為何值時，四邊形BQPD的面積為△ABC面積的一半？
(3)是否存在t的值，使四邊形PDBQ為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)4
(2)當 SKIPIF 1 < 0 時，四邊形BQPD的面積為三角形ABC面積的一半
(3)存在t的值，當t＝2.4時，使四邊形PDBQ為平行四邊形
【解析】
【分析】
（1）由題意得，AD=5，AP=3，由勾股定理即可求得PD的長；（2）∠C=90°，BC=8，AC=6，得S△ABC= SKIPIF 1 < 0 ，因為S四邊形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD= SKIPIF 1 < 0 S△ABC，根據(jù)等量關系列出方程即可求得t的值；（3）由BQ⊥AC，PD⊥AC得BQ∥PD，可知當BQ=PD時，四邊形BQPD為平行四邊形，可列 SKIPIF 1 < 0 t＝8﹣2t，解方程即可．
(1)
解：當t=3時，AD=5，AP=3，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
解：∵由題意可得：CQ＝2t，AP＝t， SKIPIF 1 < 0 ，
∴BQ＝8﹣2t，CP＝8﹣t，
又∵PD⊥AC，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠C=90°，BC=8，AC=6，
得S△ABC= SKIPIF 1 < 0 ，
∵S四邊形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD= SKIPIF 1 < 0 S△ABC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （不合題意，應舍去），
∴當 SKIPIF 1 < 0 時，四邊形BQPD的面積為三角形ABC面積的一半；
(3)
解：存在，
由BQ⊥AC，PD⊥AC得BQ∥PD，
若BQ與PD相等，則四邊形BQPD為平行四邊形，
即： SKIPIF 1 < 0 t＝8﹣2t
解得t＝2.4．
答：存在t的值，當t＝2.4時，使四邊形PDBQ為平行四邊形．
【點睛】
此題考查了平行四邊形的判定、勾股定理、動點問題的求解，根據(jù)轉(zhuǎn)化思想列面積等式等知識方法，正確用t的代數(shù)式表示線段的長度是解題的關鍵．
2．（2022·浙江杭州·八年級期中）如圖，平行四邊形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，點E以1cm/s的速度從點A出發(fā)沿A一B一C向點C運動，同時點F以1cm/s的速度從點A出發(fā)沿A一D一C向點C運動，當一個點到達終點時，另一個點也停止運動，設運動的時間為t（s）．
(1)求平行四邊形ABCD的面積；
(2)求當t＝2s時，求△AEF的面積；
(3)當△AEF的面積為平行四邊形ABCD的面積的 SKIPIF 1 < 0 時，求t的值．
【答案】(1)9 SKIPIF 1 < 0 cm2；
(2) SKIPIF 1 < 0 cm2；
(3)t的值為4或 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）過點B作BG⊥CD于點G，由直角三角形的性質(zhì)得出平行四邊形的高，再按底乘以高，即可得解；
（2）過點F作FH⊥AE于點H，分別計算出t＝2s時，AE，AF和FH的長，則按三角形面積公式計算即可；
（3）分點E在線段AB上，點F在線段AD上和點E在線段BC上，點F在線段CD上，兩種情況計算即可．
(1)
平行四邊形ABCD中，
∵∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，
∴CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，
如圖，過點B作BG⊥CD于點G，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴∠A＝∠C＝60°，
∴∠CBG＝30°，
∴CG＝ SKIPIF 1 < 0 BC＝ SKIPIF 1 < 0 cm，
∴BG＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 （cm），
∴平行四邊形ABCD的面積為：CD×BG＝6× SKIPIF 1 < 0 ＝9 SKIPIF 1 < 0 （cm2）．
答：平行四邊形ABCD的面積為9 SKIPIF 1 < 0 cm2；
(2)
當t＝2s時，
AE＝2×1＝2cm，AF＝2×1＝2cm，
∵∠A＝60°，
∴△AEF是等邊三角形，
如圖，過點F作FH⊥AE于點H，
∴FH＝ SKIPIF 1 < 0 AF＝ SKIPIF 1 < 0 （cm），
∴△AEF的面積為： SKIPIF 1 < 0 ×AE×FH＝ SKIPIF 1 < 0 ×2× SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 （cm2），
答：當t＝2s時，△AEF的面積為 SKIPIF 1 < 0 cm2；
(3)
∵由（1）知平行四邊形ABCD的面積為9 SKIPIF 1 < 0 cm2．
∴當△AEF的面積是平行四邊形ABCD面積的 SKIPIF 1 < 0 時，
△AEF的面積為：9 SKIPIF 1 < 0 × SKIPIF 1 < 0 ＝3 SKIPIF 1 < 0 （cm2），
當點E在線段AB上運動t秒時，點F在AD上運動t秒，AE＝tcm，AF＝tcm，高為 SKIPIF 1 < 0 AF＝ SKIPIF 1 < 0 t（cm），
∴ SKIPIF 1 < 0 ×t× SKIPIF 1 < 0 t＝3 SKIPIF 1 < 0 ，
∴t＝﹣2 SKIPIF 1 < 0 （舍）或t＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴t＝2 SKIPIF 1 < 0 >3，不符合題意；
當點E在線段AB.上運動秒時，點F在CD上運動t秒，( 3

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