初中數(shù)學(xué)人教版（2024）九年級上冊21.3 實際問題與一元二次方程優(yōu)質(zhì)導(dǎo)學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1．會列出一元二次方程解應(yīng)用題．
2．通過列方程解應(yīng)用題，進(jìn)一步提高邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力．
（二）學(xué)習(xí)重難點：
學(xué)習(xí)重點：由應(yīng)用問題的條件列方程的方法
學(xué)習(xí)難點：設(shè)“元”的靈活性和解的討論
基礎(chǔ)梳理
閱讀課本，識記知識：
1.列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟：
（1）審清題意和題目中的已知量、未知量，并找出能表示實際問題全部含義的相等關(guān)系；
（2）設(shè)未知數(shù)；
（3）根據(jù)相等關(guān)系，列方程；
（4）解所列方程，求未知數(shù)的值；
（5）檢驗所求方程的解是否正確或者是否符合實際情況；
（6）回答。
2.列一元二次方程解應(yīng)用題的常見類型
（1）數(shù)字問題：首先要正確的表示出數(shù)字的形式，如：多位數(shù)，奇偶數(shù)，連續(xù)的整數(shù)等；其次是巧妙的設(shè)出未知數(shù)，一般采用間接設(shè)元法。
（2）增長率問題：增長率問題分為正增長率與負(fù)增長率問題，設(shè)年平均增長率為，原來的產(chǎn)量為，則兩年后的產(chǎn)量為，負(fù)增長率問題則為：。
（3）銷售問題：在解答此類問題時，一定要準(zhǔn)確地找出反映它們關(guān)系的等量關(guān)系，每件利潤=每件售價-每件進(jìn)價；總利潤=每件利潤×總件數(shù)等。
典例探究
例1．某商店購進(jìn)一種商品，單價為30元．試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量（件）與每件的銷售價（元）滿足關(guān)系：．若商店在試銷期間每天銷售這種商品獲得200元的利潤，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】一天的利潤（售價進(jìn)價）銷售量，把相關(guān)數(shù)值代入即可．
【詳解】解：每件商品的利潤為元，可售出件，
根據(jù)每天的利潤為200元可列的方程為，
故選：A．
【點睛】本題考查列一元二次方程；得到一天的利潤的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
例2．有一個人患流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121個人患流感，每輪傳染中平均一個人傳染幾個人？設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染x個人，可列方程為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染x個人，則第一輪結(jié)束后共有人患流感，第二輪結(jié)束后共有人患流感，然后列方程即可．
【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染x個人，則第一輪結(jié)束后共有人患流感，第二輪結(jié)束后共有人患流感，
依題意得，，
故選：D．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確的列方程．
達(dá)標(biāo)測試
選擇題
1．受經(jīng)濟(jì)不景氣大環(huán)境的影響，某商品店月銷售額逐月下降，據(jù)統(tǒng)計，2023年10月該店銷售額為42萬元，2023年12月該店銷售額為27萬元，設(shè)每月平均銷售額降低的百分率為，則可列方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了一元二次方程是實際應(yīng)用——增長率問題，解題的關(guān)鍵是掌握：增長率問題中可以設(shè)基數(shù)為a，平均增長率為x，增長的次數(shù)為n，則增長后的結(jié)果為；而增長率為負(fù)數(shù)時，則降低后的結(jié)果為．
【詳解】解：設(shè)每月平均銷售額降低的百分率為，
則可列方程為，
故選：C．
2．如圖，要設(shè)計一本書的封面，封面長，寬，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計四周邊襯的寬度？若設(shè)上、下邊符等寬均為，左、右邊襯等寬為，則滿足的方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)中央矩形的長=封面的長上下邊襯的寬，中央矩形的寬封面的寬左右邊襯的寬，再根據(jù)矩形的面積長寬列式即可，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出等量關(guān)系．
【詳解】解：由題意得：上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，
設(shè)上、下邊符等寬均為，左、右邊襯等寬為
∴，
故選：．
3．《九章算術(shù)》“勾股”章中有一道題：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會．問甲乙行各幾何．”大意是說：已知甲、乙二人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3．乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．那么相遇時，甲、乙各走了多遠(yuǎn)？若設(shè)從出發(fā)到相遇時間為，則符合題意的方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用．根據(jù)題意畫出三角形，表示三邊長，利用勾股定理可得方程．
【詳解】解：如圖，設(shè)x秒兩人再B處相遇，這時乙行駛，甲共行駛，
∵，
∴，
∵，
由勾股定理得：，
故選：B．
4．隨著新能源電動汽車的快速增加，綿陽市正在快速推進(jìn)全市電動汽車的充電樁建設(shè)，已知到2023年底，綿陽全市約有萬個充電樁，根據(jù)規(guī)劃到2025年底，全市的充電樁數(shù)量將會達(dá)到萬個，則從2023年底到2025年底，全市充電樁數(shù)量的年平均增長率為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題主要考查一元二次方程的實際應(yīng)用，熟練掌握解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意列出方程即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)全市充電樁數(shù)量的年平均增長率為，
根據(jù)題意得，
解得（舍去），
故全市充電樁數(shù)量的年平均增長率為．
故選C．
5．如圖，張老漢想用長為70米的棚欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個面積為640平方米的矩形羊圈，并在邊上留一個2米寬的門（建在處，門用其他材料）．設(shè)的長為米，則下面所列方程正確的是（）
B．
C．D．
【答案】D
【分析】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，矩形面積公式．根據(jù)題意用含的代數(shù)式表示出長度，再利用矩形面積公式即可得到本題答案．
【詳解】解：矩形在邊上留一個2米寬的門，設(shè)的長為米，共用長為70米的棚欄圍成矩形，
∴（米），
∵圍成一個面積為640平方米的矩形羊圈，
∴，
故選：D．
6．元旦快到了，已知九年五班同學(xué)們要互贈賀卡共張，設(shè)該班共有名同學(xué)，則可列方程為（）
A． B．
C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題意是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：∵該班共有名同學(xué)，
∴每個同學(xué)要給個同學(xué)贈賀卡，
∴，
故選：C
7．從前有一個醉漢拿著竹竿進(jìn)城，橫拿豎拿都進(jìn)不去，橫著比城門寬，豎著比城門高，一個聰明人告訴他沿著城門的兩對角斜著拿竿，這個醉漢一試，不多不少剛好進(jìn)去了，則竹竿的長度是（）
A．B．或C．或D．
【答案】D
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)竹竿的長度是，則城門寬，城門高，根據(jù)勾股定理即可建立方程求解．
【詳解】解：設(shè)竹竿的長度是，則城門寬，城門高，
由題意得：，
整理得：，
解得：（舍去）
故選：D．
8．某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91，則每個支干長出（）小分支．
A．8B．9C．2D．8或2
【答案】B
【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，如果設(shè)每個支干分出x個小分支，根據(jù)“每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支”可知：支干的數(shù)量為x個，小分支的數(shù)量為個，然后根據(jù)主干、支干和小分支的總數(shù)是91就可以列出方程，求解即可．
【詳解】解：設(shè)每個支干長出x個小分支，則，
解得：（舍去），
∴每個支干長出9個小分支．
故選：B．
9．近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現(xiàn)了不同程度的下滑，經(jīng)銷商紛紛開展降價促銷活動、某款燃油汽車今年2月份售價為23萬元，4月份售價為萬元，設(shè)該款汽車這兩月售價的月平均降價率是x，則所列方程正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本題考查列一元二次方程，由題意可得3月份的售價為萬元，4月份售價為萬元，由此列方程即可．
【詳解】解：設(shè)該款汽車這兩月售價的月平均降價率是x，
由題意得：，
故選A．
10．如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個大小相同的點和三角形組成．第1個圖案中有3個點和1個三角形，第2個圖案中有6個點和3個三角形，第3個圖案中有9個點和6個三角形，……依此規(guī)律，若第n個圖案中，三角形的個數(shù)是點個數(shù)的3倍，則n的值為（）
A．15B．16C．17D．18
【答案】C
【分析】此題考查圖形的變化規(guī)律，由題意可知：第（1）個圖案中，三角形的個數(shù)為：，點個數(shù)的個數(shù)為：；第（2）個圖案中，三角形的個數(shù)為：，點個數(shù)的個數(shù)為：；第（3）個圖案中，三角形的個數(shù)為：，點個數(shù)的個數(shù)為：；則第n個圖案中，三角形的個數(shù)為：，點個數(shù)的個數(shù)為：，問題隨之得解．
【詳解】第（1）個圖案中，三角形的個數(shù)為：，點個數(shù)的個數(shù)為：，
第（2）個圖案中，三角形的個數(shù)為：，點個數(shù)的個數(shù)為：，
第（3）個圖案中，三角形的個數(shù)為：，點個數(shù)的個數(shù)為：，
…，
∴第n個圖案中，三角形的個數(shù)為：，點個數(shù)的個數(shù)為：，
∵第n個圖案中，三角形的個數(shù)是點個數(shù)的3倍，
∴，n為正整數(shù)，
解得：，
故選：C．
填空題
11．對于平面內(nèi)的圖形和圖形，記平面內(nèi)一點P到圖形上各點的最短距離為d，點P到圖形上各點的最短距離為，若，就稱點P是圖形和圖形的一個“等距點”．在平面直角坐標(biāo)系中，若直線上存在到點和直線的等距點，則實數(shù)a的取值范圍為．
【答案】
【分析】本題考查兩點間的距離公式、一元二次方程根的判別式，根據(jù)題意利用點間的距離公式建立一元二次方程，利用根的判別式即可解決．
【詳解】解：如圖：設(shè)直線上的點Q為到點和到的等距點，
連接，過點Q作直線的垂線，垂足為C，則，
，
∵Q在直線上，
∴設(shè)，
，
整理得：，
，
，
故答案為：．
12．騎行帶頭盔，安全有保障，“一盔一帶”政策的推行致頭盔銷量大幅增長，從2019年到2021年我國頭盔銷售額從23.4億元增長到39.546億元，則我國頭盔從2019年到2021年平均每年增長率是．
【答案】
【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用．
設(shè)我國頭盔從2019年到2021年平均每年增長率是x，根據(jù)“從2019年到2021年我國頭盔銷售額從23.4億元增長到39.546億元”即可列出方程，求解即可解答．
【詳解】設(shè)我國頭盔從2019年到2021年平均每年增長率是x，根據(jù)題意，得
，
解得：，（不合題意，舍去）
∴我國頭盔從2019年到2021年平均每年增長率是．
故答案為：
13．給定一個矩形，如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半，則這個矩形是給定矩形的“減半”矩形．如圖，矩形是矩形的“減半”矩形．當(dāng)矩形的長和寬分別為9，1時，它的“減半”矩形的長為．
【答案】
【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題目所給“減半”矩形的定義，先求出該矩形的面積和周長，則它的“減半”矩形的面積為，周長為10，列出方程求解即可．
【詳解】解：∵矩形的長和寬分別為9，1，
∴矩形面積，矩形周長，
則它的“減半”矩形的面積為，周長為10，
設(shè)它的“減半”矩形的長x，則寬為，
，
解得：，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，（，舍去），
故答案為：．
14．基市2021年8月山區(qū)森林覆蓋率為，在響應(yīng)“清潔地球從我做起”號召，鼓勵市民積極參與植樹造林活動之后，在2023年8月山區(qū)森林覆蓋率達(dá)到，如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為x，則可列方程．
【答案】
【分析】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程．根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程，本題得以解決．
【詳解】解：由題意可得，
，
故答案為：．
15.黃金分割由于其美學(xué)性質(zhì)，受到攝影愛好者和藝術(shù)家的喜愛，攝影中有一種拍攝手法叫黃金構(gòu)圖法．其原理是：如圖，將正方形的底邊取中點，以為圓心，線段為半徑作弧，其與底邊的延長線交于點，這樣就把正方形延伸為矩形，稱其為黃金矩形．若，則．（結(jié)果保留根號）
【答案】/
【分析】本題考查的知識點是正方形的性質(zhì)、勾股定理、解一元二次方程；結(jié)合題意可得，和是扇形的邊，則，根據(jù)正方形性質(zhì)可得，，因為是的中點，則；根據(jù)勾股定理可得，直角中，，即，綜合可得即可求得的值．
【詳解】解：依題得：，
設(shè)，
則正方形中，，，
是的中點，
，
又，
，
在直角中，，
即
，（舍去），
．
故答案為：．
三、解答題
16某水果商場經(jīng)銷一種高檔水果，原價每千克50元，連續(xù)兩次降價后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率．
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下商場決定采取適當(dāng)?shù)臐q價措施，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，且要盡快減少庫存，那么每千克應(yīng)漲價多少元？
【答案】(1)每次下降的百分率為
(2)每千克應(yīng)漲價5元
【分析】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用．
（1）設(shè)每次下降的百分率為，根據(jù)原價每千克50元，連續(xù)兩次降價后每千克32元，列出方程進(jìn)行求解即可；
（2）設(shè)每千克應(yīng)漲價元，根據(jù)總利潤等于單件利潤乘以銷量列出方程，進(jìn)行求解即可．
讀懂題意，正確的列出方程，是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：設(shè)每次下降的百分率為，由題意，得：，
解得：（舍去）；
答：每次下降的百分率為；
（2）設(shè)每千克應(yīng)漲價元，由題意，得：，
解得：，
∵要盡快減少庫存，
∴，
答：每千克應(yīng)漲價5元．
17．2023年杭州亞運會期間，某禮品店直接從工廠購進(jìn)一批亞運會吉祥物鑰匙扣，其中“宸宸”鑰匙扣每件進(jìn)價為25元，售價為37元，亞運會臨近結(jié)束時，禮品店打算把這款鑰匙扣調(diào)價銷售，如果按照原價銷售，平均每天可售4件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價1元，平均每天可多售2件，在盡量減少庫存的情況下，將銷售價定為每件多少元時，才能使“宸宸”鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元？
【答案】元
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)銷售價定為每件元，根據(jù)“每件的利潤×件數(shù)=總利潤”列一元二次方程，求解，并根據(jù)“盡量減少庫存”排除較大的解即可．
【詳解】解：設(shè)銷售價定為每件元，
根據(jù)題意，得，
解得，
∵要盡量減少庫存，
∴
答：在盡量減少庫存的情況下，將銷售價定為每件30元時，才能使“宸宸”鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元．
18．為加快農(nóng)文旅融合發(fā)展，助力鄉(xiāng)村振興，2023年11月，遼寧省農(nóng)業(yè)農(nóng)村廳、遼寧省文化和旅游廳組織制定了《遼寧省支持鄉(xiāng)村旅游重點村建設(shè)方案》，方案指出要支持建設(shè)100個鄉(xiāng)村旅游重點村，小華家所在村就在這100個鄉(xiāng)村中，于是小華的父親想把家里一塊矩形空地修建成旅游蔬菜采摘園，已知矩形空地的長為40米，寬為19米，父親準(zhǔn)備把它平均分成六個小矩形的種植區(qū)，并在種植區(qū)之間修出如圖所示的等寬小路，要求種植區(qū)域的總面積占整個菜園面積的，請利用你學(xué)到的方程知識幫助小華家算出小路的寬度．
【答案】小路的寬度為1米
【分析】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用；先根據(jù)等量關(guān)系列方程，再解出方程，最后判斷根是否符合實際意義即可．
【詳解】解：設(shè)小路的寬度為x米，根據(jù)題意得
，
整理得：，
解得，，
，不符合實際意義，故舍去，
，
故小路的寬度為1米．
自學(xué)反思
（一）課后反思：
本節(jié)課我學(xué)會了：
本節(jié)課存在的問題：
把本節(jié)課所學(xué)知識畫出思維導(dǎo)圖

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