2．靈活運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和與外角和定理解決有關(guān)問題．(難點(diǎn))
知識點(diǎn)01 多邊形的概念
1．定義：在平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．其中，各個角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形．
2．相關(guān)概念：
邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．
頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn)．
內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個n邊形有n個內(nèi)角.
外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.
對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線．
凸多邊形
凹多邊形
3.多邊形的分類:畫出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個多邊形就是凸多邊形，如果整個多邊形不在直線的同一側(cè)，這個多邊形叫凹多邊形．如圖：
特別說明： (1)正多邊形必須同時(shí)滿足“各邊相等”，“各角相等”兩個條件，二者缺一不可；
(2)過n邊形的一個頂點(diǎn)可以引(n-3)條對角線，n邊形對角線的條數(shù)為；
(3)過n邊形的一個頂點(diǎn)的對角線可以把n邊形分成(n-2)個三角形．
知識點(diǎn)02 多邊形內(nèi)角和
n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)．
特別說明： (1)內(nèi)角和公式的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個內(nèi)角都相等，都等于；
知識點(diǎn)03 多邊形的外角和
多邊形的外角和為360°．
特別說明：(1)在一個多邊形的每個頂點(diǎn)處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān)；
(2)正n邊形的每個內(nèi)角都相等，所以它的每個外角都相等，都等于；
(3)多邊形的外角和為360°的作用是：①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②已知多邊形邊數(shù)求各相等外角的度數(shù)．
題型01 多邊形內(nèi)角和問題
【例題】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）一個八邊形的內(nèi)角和是 ．
【答案】
【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和定理，直接套用多邊形的內(nèi)角和進(jìn)行計(jì)算可求八邊形的內(nèi)角和，
【詳解】解：內(nèi)角和：．
故答案為：
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級下·上海·階段練習(xí)）一個多邊形的內(nèi)角和是，則這個多邊形是 邊形．
【答案】18
【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，熟記多邊形的內(nèi)角和公式為是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式列方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)這個多邊形是n邊形，根據(jù)題意，得
，
∴．
故答案為：18．
2．（2024·河北邯鄲·一模）已知一個正邊形的內(nèi)角和與外角和的差為，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，解一元一次方程，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，外角和等于列出方程求解即可，注意利用多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)，任何多邊形的外角和都是是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題知，正邊形的內(nèi)角和為，正邊形的外角和為，
又∵正邊形的內(nèi)角和與外角和的差為，
∴，
解得：，
故答案為：．
題型02 多邊形對角線的條數(shù)問題
【例題】（23-24七年級下·江蘇泰州·階段練習(xí)）從十邊形的一個頂點(diǎn)畫這個多邊形的對角線，最多可畫 條．
【答案】/七
【分析】此題主要考查了多邊形對角線，根據(jù)邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對角線進(jìn)行計(jì)算即可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握計(jì)算公式．
【詳解】解：從十邊形一個頂點(diǎn)畫對角線能畫（條），
故答案為：．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）六邊形的內(nèi)角和為 ，外角和為 ，它共有 條對角線．
【答案】 /720度 /360度 9
【分析】
本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，外角和定理，多邊形對角線條數(shù)問題，對于n邊形，其內(nèi)角和為，外角和為，對角線條數(shù)為，據(jù)此求解即可．
【詳解】解；六邊形的內(nèi)角和為，外角和為，它有條對角線
故答案為：；；9．
2．（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）八邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)可以畫a條對角線，將這個八邊形分成b個三角形，則 ．
【答案】11
【分析】
本題考查了多邊形的對角線的條數(shù)與邊數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值，根據(jù)多邊形的邊數(shù)與對角線的條數(shù)的關(guān)系求出a，b的值，代入求解即可．
【詳解】解：由題意可知：，，
，
故答案為：11．
題型03 多邊形截角后的邊數(shù)問題
【例題】（22-23八年級上·青海西寧·階段練習(xí)）一個四邊形截去一個角后，所形成的一個新多邊形的邊數(shù)是 ．
【答案】3或4或5
【分析】一個四邊形剪去一個角后，分三種情況求解即可，①邊數(shù)可能減少1，②邊數(shù)可能增加1，③邊數(shù)可能不變．
【詳解】解：一個四邊形截去一個角后得到的多邊形可能是三角形，可能是四邊形，也可能是五邊形．
故答案為：3或4或5．
【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是多邊形的定義，解題關(guān)鍵是列舉出所有可能的情況．
【變式訓(xùn)練】
1．（21-22八年級上·四川綿陽·階段練習(xí)）若一個多邊形截去一個角后，得到的新多邊形為十五邊形，則原來的多邊形邊數(shù)為 ．
【答案】14或15或16
【分析】分三種情況進(jìn)行討論，得出答案即可．
【詳解】解：如圖，一個多邊形減去一個角后，比原來多邊形少了一條邊，
∴此時(shí)原多邊形的邊數(shù)為；
如圖，一個多邊形減去一個角后，與原來多邊形的邊數(shù)相同，
∴此時(shí)原多邊形的邊數(shù)為15；
如圖，一個多邊形減去一個角后，比原來多邊形多了一條邊，
∴此時(shí)原多邊形的邊數(shù)為；
綜上分析可知，原來的多邊形邊數(shù)為14或15或16．
故答案為：14或15或16．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的邊數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，注意進(jìn)行分類討論．
2．（22-23八年級上·黑龍江牡丹江·期末）一個多邊形的外角和是內(nèi)角和的，若這個多邊形截去一個角后，則所形成的多邊形是 邊形．
【答案】六或七或八
【分析】首先求得多邊形的邊數(shù)，再分三種情況討論即可。
【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為，依題意，得：
，
解得：，
如圖，剪切有下列三種情況：
①不經(jīng)過頂點(diǎn)剪，則所形成的多邊形是八邊形；
②只過一個頂點(diǎn)剪，則所形成的多邊形是七邊形；
③過兩個相鄰頂點(diǎn)剪，則所形成的多邊形是六邊形。
故答案為：六或七或八。
【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理，分三種情況解答是關(guān)鍵．
題型04 多邊形截角后的內(nèi)角和問題
【例題】（22-23八年級上·貴州安順·期末）將一個五邊形紙片，剪去一個角后得到另一個多邊形，則得到的多邊形的內(nèi)角和是（ ）
A．B．C．或D．或或
【答案】D
【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，找出五邊形紙片剪去一個角出現(xiàn)的情況，再根據(jù)邊形內(nèi)角和公式得出多邊形的內(nèi)角和，即可解題．
【詳解】解：如圖，將一個五邊形沿虛線裁去一個角后得到的多邊形的邊數(shù)是或或，
其中四邊形內(nèi)角和為，五邊形內(nèi)角和為，六邊形內(nèi)角和為，
得到的多邊形的內(nèi)角和是或或，
故選：D．
【變式訓(xùn)練】
1．（22-23七年級下·江蘇淮安·階段練習(xí)）小明將一個五邊形用剪刀沿直線剪去一個角，將這個五邊形分成兩個多邊形，那么關(guān)于這兩個多邊形所有的內(nèi)角的和與原五邊形的內(nèi)角和相比，下列說法中不可能的是（ ）
A．減少180°B．不變C．增加180°D．增加360°
【答案】A
【分析】按照題意畫出圖形逐一判斷即可解題．
【詳解】如圖，減去一個角，變?yōu)橐粋€三角形和一個六邊形，內(nèi)角和增加；
如圖，減去一個角，變?yōu)橐粋€三角形和一個五邊形，內(nèi)角和增加；

如圖，減去一個角，變?yōu)橐粋€三角形和一個四邊形，內(nèi)角和，內(nèi)角和不變；

綜上所述內(nèi)角和不會減少180°，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查多邊形截角后的內(nèi)角和問題，分情況畫圖討論是解題的關(guān)鍵．
2．（22-23八年級下·浙江·單元測試）一個四邊形，截一刀后得到的新多邊形的內(nèi)角和將（ ）
A．增加B．減少
C．不變D．不變或增加或減少
【答案】D
【分析】根據(jù)一個四邊形截一刀后得到的多邊形的邊數(shù)即可得出結(jié)果．
【詳解】解：四邊形，截一刀后得到的新多邊形可能是四邊形，五邊形，三角形，
新多邊形的內(nèi)角和將不變或增加或減少．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形．能夠得出一個四邊形截一刀后得到的圖形有三種情形，是解決本題的關(guān)鍵．
題型05 多邊形外角和的實(shí)際應(yīng)用
【例題】（22-23八年級下·浙江杭州·期末）如圖，是五邊形的外角，且，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了多邊形的外角和定理，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，由多邊形的外角和定理可得，進(jìn)而根據(jù)鄰補(bǔ)角性質(zhì)即可求出的度數(shù)，掌握多邊形的外角和等于是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由多邊形的外角和定理可得，，
∵，
∴，
∴，
故選：．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24七年級下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）將等邊三角形、正方形、正五邊形按如圖所示的位置擺放，如果，，那么的度數(shù)等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了等邊三角形、正方形、正五邊形的內(nèi)角和、三角形的外角和，先求出等邊三角形、正方形、正五邊形每個內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角和等于列出等式計(jì)算即可求解，掌握正多邊形的內(nèi)角和公式和外角和等于是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：等邊三角形的每個內(nèi)角為，
正方形的每個內(nèi)角為，
正五邊形的每個內(nèi)角為，
如圖，

∵的外角和等于，
∴，
即，
∴，
∵，，
∴，
故選：．
2．（23-24八年級上·貴州黔東南·期中）如圖所示，七邊形中，的延長線相交于點(diǎn)O，若圖中的和為，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了多邊形的外角和，任意多邊形的外角和均為，延長交于點(diǎn)，可得據(jù)此即可求解．
【詳解】解：延長交于點(diǎn)，如圖所示：
∵任意多邊形的外角和均為，
且的和為，
∴
即：
∴
故選：D
題型06 多邊形內(nèi)角和與外角和綜合
【例題】（23-24八年級上·新疆昌吉·期中）如圖，在五邊形中，
(1)若，請求的度數(shù)；
(2)試求出及五邊形外角和的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)，五邊形外角和的度數(shù)是
【分析】本題主要考查多邊形內(nèi)角和、外角和及平行線的性質(zhì)，熟練掌握多邊形內(nèi)角和及平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)多邊形內(nèi)角和、外角和及平行線的性質(zhì)可進(jìn)行求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：五邊形中，，
∵，，，
∴
；
五邊形外角和的度數(shù)是．
【變式訓(xùn)練】
1．（22-23八年級下·河北保定·期末）某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了“多邊形內(nèi)角和與外角和”后深入思考，繼續(xù)探究多邊形的一個外角與它不相鄰的內(nèi)角之和具有的數(shù)量關(guān)系．

(1)如圖1，與，之間的數(shù)量關(guān)系為______．若，，則______．
(2)如圖2，是四邊形ABCD的外角，求證：．
(3)若n邊形的一個外角為，與其不相鄰的內(nèi)角之和為，則x，y與n的數(shù)量關(guān)系是______．
【答案】(1)，；
(2)見解析；
(3)．
【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，解題的關(guān)鍵是掌握n邊形的內(nèi)角和公式：（且n為整數(shù)）．
（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可得出答案；
（2）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)n邊形的內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可得出答案．
【詳解】（1）解：∵，，
∴；
∵，，
∴
故答案為：，；
（2）證明：∵，，
∴，
∴．
（3）解：∵n邊形的某一個外角的度數(shù)是，
∴與這個外角相鄰的內(nèi)角是，
∵與這個外角不相鄰的所有內(nèi)角的和是，
∴，
整理得：，
故答案為：．
2．（23-24九年級上·甘肅蘭州·期中）【題目】如圖①：根據(jù)圖形填空：
（1） ， ；
（2）______ ；
【應(yīng)用】
（3）如圖②．求的度數(shù)；
【拓展】
（4）如圖③，若，則的大小為度．

【答案】（1），；（2）；；（3）；（4）
【分析】本題考查了多邊形的外角和以及外角和的求法，熟練掌握三角形外角性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
（1）利用三角形外角性質(zhì)即可求出；
（2）根據(jù)外角性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化到一個三角形內(nèi)計(jì)算即可；
（3）利用三角形外角性質(zhì)將轉(zhuǎn)化到一個三角形中，再根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得到結(jié)果；
（4）利用外角套外角可得，，根據(jù)對頂角相等，即可計(jì)算出結(jié)果．
【詳解】解：（1）∵是三角形的外角，
∴，
∵是三角形的外角，
∴．
故答案為：，．
（2）∵，，
∴，
故答案為：；．
（3）∵，，
∴；
（4）如圖，連接并延長，

根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得：
，
同理可得：，
∵，
∴，
故答案為：．
題型07 平面鑲嵌
【例題】（2023·山東青島·模擬預(yù)測）如圖是一種特殊的五邊形，3個這樣的五邊形可以密鋪拼成一個正六邊形．若，則 ．

【答案】/95度
【分析】
本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理分別求得和的度數(shù)，進(jìn)一步計(jì)算即可求解．
【詳解】解：根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得，
∴3個這樣的五邊形可以密鋪，
∴，
∵五邊形的內(nèi)角和為，
∵，
∴，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24八年級上·江西南昌·階段練習(xí)）如圖所示，是工人師傅用邊長均為a的一塊正六邊形和一塊正方形地磚繞著點(diǎn)B進(jìn)行的鋪設(shè)，若將一塊邊長為a的正多邊形地磚恰好能無空隙、不重疊地拼在處，則這塊正多邊形地磚的邊數(shù)是 ．
【答案】
【分析】本題考查正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的每一個內(nèi)角都相等，根據(jù)題意得到的大小，結(jié)合多邊形內(nèi)角和列式求解即可得到答案；
【詳解】解：∵一塊正六邊形和一塊正方形地磚繞著點(diǎn)B進(jìn)行的鋪設(shè)，
∴，
∴這塊正多邊形地磚的邊數(shù)是：，
解得：，
故答案為：．
2．（23-24八年級上·山東煙臺·期末）小穎家買了新樓，她想在邊長相同的①正三角形、②正方形、③正五邊形、④正六邊形四種瓷磚中，選擇一些瓷磚進(jìn)行地面的鑲嵌（彼此之間不留空隙、不重疊）．
(1)她想選用兩種瓷磚，若已選用正三角形瓷磚，則可以再選擇的是______瓷磚（填寫序號）；
(2)她發(fā)現(xiàn)僅用正五邊形瓷磚不能鑲嵌地面，若將三塊相同的正五邊形瓷磚按如圖所示放置，求的度數(shù)．
【答案】(1)②或④，
(2)．
【分析】此題考查鑲嵌問題，正確掌握各正多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)及鑲嵌的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．
（1）進(jìn)行平面鑲嵌就是在同一頂點(diǎn)處的幾個多邊形的內(nèi)角和應(yīng)是，因此我們只需要驗(yàn)證是不是上面所給的幾個正多邊形的一個內(nèi)角度數(shù)的整數(shù)倍即可；
（2）求出正五邊形的三個內(nèi)角和，再用減掉即可．
【詳解】（1）解：正三角形一個內(nèi)角是，
正方形的一個內(nèi)角是，
正五邊形的一個內(nèi)角是，
正六邊形的一個內(nèi)角是，
∴可以進(jìn)行地面的鑲嵌是②或④．
（2）解：正五邊形的每個內(nèi)角度數(shù)為．
所以，．
一、單選題
1．（2024·北京東城·一模）正八邊形每個內(nèi)角的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了正多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系．根據(jù)正多邊形的每一個內(nèi)角相等，則對應(yīng)的外角也相等，根據(jù)多邊形的外角和為，進(jìn)而求得一個外角的度數(shù)，即可求得正八邊形每個內(nèi)角度數(shù)．
【詳解】解：∵正多邊形的每一個內(nèi)角相等，則對應(yīng)的外角也相等，
一個外角等于：，
∴內(nèi)角為，
故選：B．
2．（23-24八年級上·安徽淮南·期末）若一個多邊形的外角和與它的內(nèi)角和相等，則這個多邊形是（ ）邊形
A．六B．五C．四D．三
【答案】C
【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式的應(yīng)用，多邊形的外角和，解題的關(guān)鍵是要能列出一元一次方程．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式與多邊形的外角和定理列出方程，然后解方程即可求出多邊形的邊數(shù)．
【詳解】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，則
，
解得，
即這個多邊形是四邊形．
故選：C．
3．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）如果一個多邊形的每個內(nèi)角都相等，且內(nèi)角和為，那么這個多邊形的一個外角的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和與外角和公式的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式為列出方程，求出邊數(shù)，再根據(jù)外角和定理求出這個多邊形的一個外角．
【詳解】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，
根據(jù)題意列方程：
解得，
，
故選：A．
4．（2024·河北保定·一模）如圖，將五邊形沿虛線裁去一個角，得到六邊形，則下列說法正確的是（ ）
A．外角和減少B．外角和增加C．內(nèi)角和減少D．內(nèi)角和增加
【答案】D
【分析】本題考查了多邊形外角與內(nèi)角．此題比較簡單，熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式，多邊形外角和都是，求解即可．
【詳解】解：將五邊形沿虛線裁去一個角，得到六邊形，
則五邊形的內(nèi)角和為：
六邊形的內(nèi)角和為：，
，
五邊形六邊形的外角和都是，
將五邊形沿虛線裁去一個角，得到六邊形，內(nèi)角和增加，外角和不變，
故選：D．
5．（22-23七年級下·江蘇蘇州·期中）如圖，在四邊形中，的角平分線與的外角平分線相交于點(diǎn)P，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和、角平分線的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為求得，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角得得度數(shù)，進(jìn)而可求解，熟練掌握四邊形的內(nèi)角和為是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，，
．
又的角平分線與的外角平分線相交于點(diǎn)P，
，
，
故選B．
二、填空題
6．（2024·廣東潮州·一模）圖（1）是一張六角発，其俯視圖為正六邊形[圖（2）]，則該六邊形的每個內(nèi)角為 ．

【答案】120
【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，先求出正六邊形的內(nèi)角和，然后求出每個內(nèi)角的度數(shù)即可．
【詳解】解：該六邊形的每個內(nèi)角為：
．
故答案為：120．
7．（2024·陜西咸陽·二模）已知一個正多邊形的內(nèi)角和與其外角和的和為，那么從這個正多邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，可以作 條對角線．
【答案】9
【分析】此題主要考查了多邊形的外角和以及內(nèi)角和計(jì)算公式求多邊形的邊數(shù)，關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和公式．首先根據(jù)多邊形外角和求出內(nèi)角和的度數(shù)，再利用內(nèi)角和公式可得多邊形的邊數(shù)，再計(jì)算出對角線的條數(shù)．
【詳解】解：多邊形的外角和都是，
內(nèi)角和等于，
設(shè)這個多邊形有條邊，
，解得：，
從這個正多邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，可以作條對角線．
故答案為：9．
8．（2024·陜西榆林·二模）某廣場的地面是由相同的正五邊形與相同的四角星形（四個尖角的度數(shù)相同）鋪成的無縫隙，不重疊的圖形，如圖是該廣場地面的一部分，則圖中四角星形的尖角的度數(shù)為 °．
【答案】
【分析】本題考查平面鑲嵌（密鋪），關(guān)鍵是求出正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)．
先算出正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)，讓減去個內(nèi)角的度數(shù)和的差除以即可．
【詳解】正五邊形內(nèi)角和為，
正五邊形每個內(nèi)角是，
∴．
故答案為．
9．（2024·廣東江門·模擬預(yù)測）春節(jié)期間，小宇去表哥家拜年，好學(xué)的他發(fā)現(xiàn)在表哥新裝修的房子里，鋼琴房的背景墻上有用巖板作的幾何圖案造型．如圖，這個圖案是由正六邊形、正方形及拼成的（不重疊，無縫隙），則的度數(shù)是 ．
【答案】/15度
【分析】本題考查了平面鑲嵌（密鋪）和正多邊形的內(nèi)角和，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正六邊形的每個內(nèi)角為，即可求，正方形每個內(nèi)角為，即可求，進(jìn)而求的大小，根據(jù)即可求的度數(shù)．
【詳解】解：∵正六邊形的每個內(nèi)角為，正方形每個內(nèi)角為，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：．
10．（2024·河北邢臺·一模）如圖，在正六邊形中，P、Q點(diǎn)分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)P出發(fā)，沿向終點(diǎn)Q運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，若
（1）點(diǎn)M在邊 上；
（2）若，則 ．
【答案】 3
【分析】本題考查正多邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理：
（1）根據(jù)點(diǎn)的移動路線，結(jié)合正六邊形的特點(diǎn)，即可得出答案；
（2）過點(diǎn)作，利用三線合一和含30度角的直角三角形，求出的長，再過點(diǎn)作，利用三線合一和含30度角的直角三角形，求出的長，即可．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，理由如下：
當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，
∵正六邊形，
∴，，
∵P、Q點(diǎn)分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴；
故答案為：；
（2）過點(diǎn)作，點(diǎn)作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同法可得：；
故答案為：3．
三、解答題
11．（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）（1）已知一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍還多，求這個多邊形的邊數(shù)；
（2）已知一個多邊形的每一個外角都相等，一個內(nèi)角與一個外角的度數(shù)之比為，求這個多邊形的邊數(shù)．
【答案】（1）9（2）11
【分析】本題主要考查了求多邊形的邊數(shù)，多邊形內(nèi)角和和外角和定理以及一元一次方程的應(yīng)用．
（1）設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，利用一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍還多列一元一次方程求解即可得出答案．
（2）設(shè)這個多邊形一個內(nèi)角的度數(shù)為，則一個外角的度數(shù)為，根據(jù)題意，列一元一次方程求解出x，再利用多邊形外角為即可求出答案．
【詳解】解：（1）設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，
根據(jù)題意，得，
解得，
所以這個多邊形的邊數(shù)為9．
（2）設(shè)這個多邊形一個內(nèi)角的度數(shù)為，則一個外角的度數(shù)為，
根據(jù)題意，得，解得．
∴，
所以這個多邊形的邊數(shù)為11．
12．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，在五邊形中，．
(1)求的度數(shù)；
(2)試說明：．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】本題考查了n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為以及平行線的判定．
（1）利用n邊形的內(nèi)角和定理得到，再把已知角代入得到，而，即可求出的度數(shù)；
（2）易得，根據(jù)平行線的判定即可得到．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
而，且，
∴，
∵．
∴；
（2）解：．理由如下：
∵，
∴，
∴．
13．（23-24八年級上·陜西安康·期中）如圖，小東在操場的中心位置，從點(diǎn)出發(fā)，每走向左轉(zhuǎn)，

(1)小東能否走回點(diǎn)處？若能，請求出小東一共走了多少米；若不能，請說明理由．
(2)小東走過的路徑是一個什么幾何圖形？并求這個幾何圖形的內(nèi)角和．
【答案】(1)能，小東一共走了
(2)正六邊形，正六邊形的內(nèi)角和為
【分析】本題考查的是多邊形的外角和定理應(yīng)用，內(nèi)角和定理的應(yīng)用，理解題意是解本題的關(guān)鍵；
（1）由每次向左轉(zhuǎn)，結(jié)合回到出發(fā)點(diǎn)共轉(zhuǎn)過可得答案；
（2）由形成的六邊形的每一條邊都相等，每一個角都相等，可得多邊形的形狀，再求解內(nèi)角和即可．
【詳解】（1）解：∵從點(diǎn)出發(fā)，每走向左轉(zhuǎn)，
，
小東一共走了：（）；
（2）∵由（1）得多邊形有六條邊，且每一條邊都相等，
由每個外角都為，可得六邊形的每一個角都相等，
∴走過的路徑是一個邊長為的正六邊形；
∴正六邊形的內(nèi)角和為：．
14．（23-24八年級下·浙江紹興·階段練習(xí)）已知：如圖，四邊形中，，平分，交于點(diǎn)E，，交于點(diǎn)F．
(1)求的度數(shù)；
(2)寫出圖中與相等的角并說明理由．
【答案】(1)
(2)，理由見解析
【分析】本題主要查了四邊形內(nèi)角和定理，三角形內(nèi)角和定理：
（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理可得，再由角平分線的定義，即可求解；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，再由，可得，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴；
（2）解：．理由如下：
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴．
15．“轉(zhuǎn)化”是數(shù)學(xué)中的一種重要思想，即把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題．

(1)請你根據(jù)已經(jīng)學(xué)過的知識求出下面星形圖①中的度數(shù)；
(2)若將圖①中的星形截去一個角，如圖②，請你求出的度數(shù)；
(3)若再將圖②中的星形進(jìn)一步截去角，你能由題(2)中所得的方法或規(guī)律，猜想出圖③中的的度數(shù)嗎？(只要寫出結(jié)論，不需要寫出解題過程)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角之間的關(guān)系． 三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理．
（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得的度數(shù)；
（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和等于可得的度數(shù)；
（3）根據(jù)圖中可找出規(guī)律，并且每截去一個角則會增加，由此即可求出答案．
【詳解】（1）解：∵，
∴；

（2）∵，，
∴；

（3）觀察可以發(fā)現(xiàn)圖（1）到圖（2）可以發(fā)現(xiàn)每截去一個角，則會增加，
所以當(dāng)截去5個角時(shí)增加了，
則
16．（23-24八年級下·湖北武漢·開學(xué)考試）在四邊形中，O在其內(nèi)部，滿足，．
(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，如果，直接寫出的度數(shù)______；
(2)當(dāng)時(shí)，M、N分別在、的延長線上，下方一點(diǎn)P，滿足，，
①如圖2，判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
②如圖3，延長線段、交于點(diǎn)Q，中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，直接寫出的度數(shù)為______．
【答案】(1)
(2)①見解析②或
【分析】
本題考查四邊形的內(nèi)角和及角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，熟知四邊形的內(nèi)角和是是解題的關(guān)鍵．
（1）首先根據(jù)四邊形的內(nèi)角和及角平分線的定義，求出，進(jìn)而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解；
（2）①首先由已知求出，，根據(jù)平角的定義得出，同理，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可求解；②在中，由①得，根據(jù)題意分二種情況進(jìn)行討論：，，分別求解即可．
【詳解】（1）解：，，
當(dāng)時(shí)，，，
，，
，，
，
，
；
故答案為：；
（2）①．
證明：，，
當(dāng)時(shí)，，，
，，
，，
，
同理，
，
．
②由①得：，，
如果中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，那么分二種情況：
當(dāng)，
，
，則，
，
，
，，
，
；
當(dāng)，
，
，則，
，
，
，，
，
．
綜上所述，的度數(shù)為：或．
故答案為：或．

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4 多邊形的內(nèi)角與外角和

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