技巧1：巧用“基本圖形”探索相似條件
技巧2：巧作平行線構(gòu)造相似三角形
技巧3：證比例式或等積式的技巧
【題型】一、相似圖形的概念和性質(zhì)
【題型】二、平行線分線段成比例定理
【題型】三、相似三角形的判定
【題型】四、相似三角形的性質(zhì)
【題型】五、利用相似三角形解決實(shí)際問題
【題型】六、位似圖形的概念與性質(zhì)
【題型】七、平面直角坐標(biāo)系與位似圖形
【考綱要求】
1、了解比例線段的有關(guān)概念及其性質(zhì)，并會(huì)用比例的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的問題．
2、了解相似多邊形，相似三角形的概念，掌握其性質(zhì)和判定并會(huì)運(yùn)用．
3、了解位似變換和位似圖形的概念，掌握并運(yùn)用其性質(zhì).
【考點(diǎn)總結(jié)】一、相似圖形及比例線段
【考點(diǎn)總結(jié)】二、相似三角形
【技巧歸納】
技巧1：巧用“基本圖形”探索相似條件
相似三角形的四類結(jié)構(gòu)圖：
1.平行線型．
2．相交線型．
3．子母型．
4．旋轉(zhuǎn)型．
【類型】一、平行線型
1．如圖，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作ED∥BC交AB于點(diǎn)D.
(1)求證：AE·BC＝BD·AC；
(2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的長(zhǎng)．
【類型】二、相交線型
2．如圖，點(diǎn)D，E分別為△ABC的邊AC，AB上的點(diǎn)，BD，CE交于點(diǎn)O，且eq \f(EO,BO)＝eq \f(DO,CO)，試問△ADE與△ABC相似嗎？請(qǐng)說明理由．
【類型】三、子母型
3．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：eq \f(AB,AC)＝eq \f(DF,AF).
【類型】四、旋轉(zhuǎn)型
4．如圖，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.
求證：(1)△ADE∽△ABC；
(2)eq \f(AD,AE)＝eq \f(BD,CE).
參考答案
1．(1)證明：∵ED∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC.
又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.
∴eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC).
∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC.
∵ED∥BC，∴∠DEB＝∠EBC.
∴∠DBE＝∠DEB.
∴DE＝BD.∴eq \f(AE,AC)＝eq \f(BD,BC).
即AE·BC＝BD·AC.
(2)解：設(shè)h△ADE表示△ADE中DE邊上的高，
h△BDE表示△BDE中DE邊上的高，
h△ABC表示△ABC中BC邊上的高．
∵S△ADE＝3，S△BDE＝2，
∴eq \f(S△ADE,S△BDE)＝eq \f(\f(1,2)·DE·h△ADE,\f(1,2)·DE·h△BDE)＝eq \f(h△ADE,h△BDE)＝eq \f(3,2).[來源:學(xué)*科*網(wǎng)]
∴eq \f(h△ADE,h△ABC)＝eq \f(3,5).
∵△ADE∽△ABC，
∴eq \f(DE,BC)＝eq \f(h△ADE,h△ABC)＝eq \f(3,5).
∵DE＝6，∴BC＝10.
2．解：相似．理由如下：因?yàn)閑q \f(EO,BO)＝eq \f(DO,CO)，∠BOE＝∠COD，∠DOE＝∠COB，所以△BOE∽△COD，△DOE∽△COB.所以∠EBO＝∠DCO，∠DEO＝∠CBO.因?yàn)椤螦DE＝∠DCO＋∠DEO，∠ABC＝∠EBO＋∠CBO，所以∠ADE＝∠ABC.又因?yàn)椤螦＝∠A，所以△ADE∽△ABC.
3．證明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，
∴∠BAC＝∠ADB＝90°.
又∵∠CBA＝∠ABD(公共角)，
∴△ABC∽△DBA.
∴eq \f(AB,AC)＝eq \f(DB,DA)，∠BAD＝∠C.
∵AD⊥BC于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，
∴DE＝EC.
∴∠BDF＝∠CDE＝∠C.
∴∠BDF＝∠BAD.
又∵∠F＝∠F，
∴△DBF∽△ADF.
∴eq \f(DB,AD)＝eq \f(DF,AF).∴eq \f(AB,AC)＝eq \f(DF,AF).
(第3題)
點(diǎn)撥：當(dāng)所證等積式或比例式運(yùn)用“三點(diǎn)定型法”不能定型或能定型而不相似，條件又不具備成比例線段時(shí)，可考慮用中間比“搭橋”，稱為“等比替換法”，有時(shí)還可用“等積替換法”，例如：如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，求證：AE·AB＝AF·AC.可由兩組“射影圖”得AE·AB＝AD2，AF·AC＝AD2，∴AE·AB＝AF·AC.
4．證明：(1)∵∠DAB＝∠EAC，
∴∠DAE＝∠BAC.
又∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC.
(2)∵△ADE∽△ABC，∴eq \f(AD,AE)＝eq \f(AB,AC).
∵∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC.∴eq \f(AD,AE)＝eq \f(BD,CE).
技巧2：巧作平行線構(gòu)造相似三角形
【類型】一、巧連線段的中點(diǎn)構(gòu)造相似三角形
1．如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)是邊BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)，BD分別交AE，AF于點(diǎn)P，Q，求BPPQQD.
【類型】二、過頂點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形
2．如圖，在△ABC中，AC＝BC，F(xiàn)為底邊AB上一點(diǎn)，BFAF＝32，取CF的中點(diǎn)D，連接AD并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，求eq \f(BE,EC)的值．
【類型】三、過一邊上的點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形
3．如圖，在△ABC中，AB＞AC，在邊AB上取一點(diǎn)D，在AC上取一點(diǎn)E，使AD＝AE，直線DE和BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P.求證：eq \f(BP,CP)＝eq \f(BD,EC).
【類型】四、過一點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形
4．如圖，在△ABC中，點(diǎn)M為AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，且AE＝eq \f(1,4)AB，連接EM并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.求證：BC＝2CD.
參考答案
1．解：如圖，連接DF，∵E，F(xiàn)是邊BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，
∴BE＝EF＝FC.
∵D是AC的中點(diǎn)，∴AD＝CD.
∴DF是△ACE的中位線．
∴DF∥AE，且DF＝eq \f(1,2)AE.
∴DF∥PE.
∴∠BEP＝∠BFD.
又∵∠EBP為公共角，
∴△BEP∽△BFD.∴eq \f(BE,BF)＝eq \f(BP,BD).
∵BF＝2BE，∴BD＝2BP.∴BP＝PD.∴DF＝2PE.
∵DF∥AE，
∴∠APQ＝∠FDQ，∠PAQ＝∠DFQ.
∴△APQ∽△FDQ.∴eq \f(PQ,QD)＝eq \f(AP,DF).
設(shè)PE＝a，則DF＝2a，AP＝3a.
∴PQQD＝APDF＝32.
∴BPPQQD＝532.

2．解：如圖，過點(diǎn)C作CG∥AB交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.
∵CG∥AB，∴∠DAF＝∠G.
又∵D為CF的中點(diǎn)，∴CD＝DF.
在△ADF和△GDC中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠DAF＝∠G，,∠ADF＝∠CDG，,DF＝CD，))
∴△ADF≌△GDC(AAS)．∴AF＝CG.
∵BFAF＝32，∴ABAF＝52.
∵AB∥CG，∴∠CGE＝∠BAE，∠BCE＝∠ABE.
∴△ABE∽△GCE.
∴eq \f(BE,EC)＝eq \f(AB,CG)＝eq \f(AB,AF)＝eq \f(5,2).
3．證明：如圖，過點(diǎn)C作CF∥AB交DP于點(diǎn)F，
∴∠PFC＝∠PDB，∠PCF＝∠PBD.
∴△PCF∽△PBD.∴eq \f(BP,CP)＝eq \f(BD,CF).
∵AD∥CF，∴∠ADE＝∠EFC.
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.
∵∠AED＝∠CEP，∴∠EFC＝∠CEP.∴EC＝CF.
∴eq \f(BP,CP)＝eq \f(BD,EC).
4．證明：(方法一)如圖①，過點(diǎn)C作CF∥AB，交DE于點(diǎn)F，
(第4題①)
∴∠FCD＝∠B.
又∵∠D為公共角，
∴△CDF∽△BDE.
∴eq \f(CF,BE)＝eq \f(CD,BD).
∵點(diǎn)M為AC邊的中點(diǎn)，
∴AM＝CM.
∵CF∥AB，
∴∠A＝∠MCF.
又∵∠AME＝∠CMF，
∴△AME≌△CMF.
∴AE＝CF.
∵AE＝eq \f(1,4)AB，BE＝AB－AE，
∴BE＝3AE.∴eq \f(AE,BE)＝eq \f(1,3).
∵eq \f(CF,BE)＝eq \f(CD,BD)，
∴eq \f(AE,BE)＝eq \f(CD,BD)＝eq \f(1,3)，即BD＝3CD.
又∵BD＝BC＋CD，
∴BC＝2CD.
(第4題②)
(方法二)如圖②，過點(diǎn)C作CF∥DE，交AB于點(diǎn)F，
∴eq \f(AE,AF)＝eq \f(AM,AC).
又∵點(diǎn)M為AC邊的中點(diǎn)，
∴AC＝2AM.
∴2AE＝AF.∴AE＝EF.
又∵eq \f(AE,AB)＝eq \f(1,4)，∴eq \f(BF,EF)＝2.
又∵CF∥DE，∴eq \f(BF,FE)＝eq \f(BC,CD)＝2.
∴BC＝2CD.
(第4題③)
(方法三)如圖③，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，∴∠AEF＝∠B.
又∵∠A為公共角，
∴△AEF∽△ABC.
∴eq \f(EF,BC)＝eq \f(AE,AB)＝eq \f(AF,AC).
由AE＝eq \f(1,4)AB，知
eq \f(EF,BC)＝eq \f(AE,AB)＝eq \f(AF,AC)＝eq \f(1,4)，
∴EF＝eq \f(1,4)BC，AF＝eq \f(1,4)AC.
由EF∥CD，易證得△EFM∽△DCM，
∴eq \f(EF,CD)＝eq \f(MF,MC).
又∵AM＝MC，∴MF＝eq \f(1,2)MC，
∴EF＝eq \f(1,2)CD.
∴BC＝2CD.
(第4題④)
(方法四)如圖④，過點(diǎn)A作AF∥BD，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
∴∠F＝∠D，∠FAE＝∠B.
∴△AEF∽△BED.
∴eq \f(AE,BE)＝eq \f(AF,BD).
∵AE＝eq \f(1,4)AB，
∴AE＝eq \f(1,3)BE.∴AF＝eq \f(1,3)BD.
由AF∥CD，易證得△AFM∽△CDM.
又∵AM＝MC，∴AF＝CD.
∴CD＝eq \f(1,3)BD.∴BC＝2CD.
點(diǎn)撥：由已知線段的比，求證另外兩線段的比，通常添加平行線，構(gòu)造相似三角形來求解．
技巧3：證比例式或等積式的技巧
【類型】一、構(gòu)造平行線法
1．如圖，在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
求證：AE·CF＝BF·EC.
2．如圖，已知△ABC的邊AB上有一點(diǎn)D，邊BC的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)E，且AD＝CE，DE交AC于點(diǎn)F，
求證：AB·DF＝BC·EF.
【類型】二、三點(diǎn)定型法
3．如圖，在?ABCD中，E是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，DE交BC于F.
求證：eq \f(DC,AE)＝eq \f(CF,AD).
4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，M為BC的中點(diǎn)，DM⊥BC交CA的延長(zhǎng)線于D，交AB于E.
求證：AM2＝MD·ME.
【類型】三、構(gòu)造相似三角形法
5．如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)，AP的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)M，N.
求證：BP·CP＝BM·CN.
【類型】四、等比過渡法
6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，點(diǎn)F在邊AC上，DF與BE相交于點(diǎn)G，且∠EDF＝∠ABE.
求證：(1)△DEF∽△BDE；
(2)DG·DF＝DB·EF.
7．如圖，CE是Rt△ABC斜邊上的高，在EC的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)P，連接AP，作BG⊥AP于點(diǎn)G，交CE于點(diǎn)D.
求證：CE2＝DE·PE.
【類型】五、兩次相似法
8．如圖，在Rt△ABC中，AD是斜邊BC上的高，∠ABC的平分線BE交AC于E，交AD于F.
求證：eq \f(BF,BE)＝eq \f(AB,BC).
9．如圖，在?ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分別為M，N.求證：
(1)△AMB∽△AND；
(2)eq \f(AM,AB)＝eq \f(MN,AC).
【類型】六、等積代換法
10．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求證：eq \f(AE,AF)＝eq \f(AC,AB).
【類型】七、等線段代換法
11．如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是AD上一點(diǎn)，CF∥AB，延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)E，交CF于點(diǎn)F，
求證：BP2＝PE·PF.
12．如圖，已知AD平分∠BAC，AD的垂直平分線EP交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.
求證：PD2＝PB·PC.
參考答案
1．證明：如圖，過點(diǎn)C作CM∥AB交DF于點(diǎn)M.
∵CM∥AB，∴∠FCM＝∠B，∠FMC＝∠FDB.∴△CMF∽△BDF.
∴eq \f(BF,CF)＝eq \f(BD,CM).
又∵CM∥AD，
∴∠A＝∠ECM，∠ADE＝∠CME.
∴△ADE∽△CME.∴eq \f(AE,EC)＝eq \f(AD,CM).
∵D為AB的中點(diǎn)，∴BD＝AD.
∴eq \f(BD,CM)＝eq \f(AD,CM).∴eq \f(BF,CF)＝eq \f(AE,EC).
即AE·CF＝BF·EC.
2．證明：過點(diǎn)D作DG∥BC，交AC于點(diǎn)G，
易知△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC.
∴eq \f(EF,DF)＝eq \f(CE,DG)，eq \f(AB,BC)＝eq \f(AD,DG).
∵AD＝CE，∴eq \f(CE,DG)＝eq \f(AD,DG).∴eq \f(AB,BC)＝eq \f(EF,DF).
即AB·DF＝BC·EF.
點(diǎn)撥：過某一點(diǎn)作平行線，構(gòu)造出“A”型或“X”型的基本圖形，通過相似三角形轉(zhuǎn)化線段的比，從而解決問題．
3．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AE∥DC，∠A＝∠C.
∴∠CDF＝∠E.
∴△FCD∽△DAE.∴eq \f(DC,AE)＝eq \f(CF,AD).
4．證明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°.
∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.
又∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∠BAC＝90°，
∴BM＝AM.
∴∠B＝∠BAM.
∴∠BAM＝∠D.即∠EAM＝∠D.
又∵∠AME＝∠DMA.
∴△AME∽△DMA.
∴eq \f(AM,MD)＝eq \f(ME,AM).即AM2＝MD·ME.
5．證明：如圖，連接PM，PN.
∵M(jìn)N是AP的垂直平分線，
∴MA＝MP，
NA＝NP.
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
又∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.
∴∠2＋∠4＝60°.
∴∠5＋∠6＝120°.
又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°，
∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP.
∴eq \f(BP,CN)＝eq \f(BM,CP).即BP·CP＝BM·CN.
6．證明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，
∴∠ABC＋∠EDB＝180°，∠ACB＋∠FED＝180°.∴∠FED＝∠EDB.
又∵∠EDF＝∠DBE，
∴△DEF∽△BDE.
(2)由△DEF∽△BDE得eq \f(DE,BD)＝eq \f(EF,DE).即DE2＝DB·EF.又由△DEF∽△BDE，得∠GED＝∠EFD.∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF.
∴eq \f(DG,DE)＝eq \f(DE,DF).即DE2＝DG·DF.
∴DG·DF＝DB·EF.
7．證明：∵BG⊥AP，PE⊥AB，
∴∠AEP＝∠DEB＝∠AGB＝90°.
∴∠P＋∠PAB＝90°，
∠PAB＋∠ABG＝90°.
∴∠P＝∠ABG.∴△AEP∽△DEB.
∴eq \f(AE,DE)＝eq \f(PE,BE).即AE·BE＝PE·DE.
又∵∠CEA＝∠BEC＝90°，
∴∠CAB＋∠ACE＝90°.
又∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB＋∠CBE＝90°.
∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.
∴eq \f(AE,CE)＝eq \f(CE,BE).即CE2＝AE·BE.
∴CE2＝DE·PE.
8．證明：由題意得∠BDF＝∠BAE＝90°.
∵BE平分∠ABC，∴∠DBF＝∠ABE.
∴△BDF∽△BAE.∴eq \f(BD,AB)＝eq \f(BF,BE).
∵∠BAC＝∠BDA＝90°，
∠ABC＝∠DBA.
∴△ABC∽△DBA.∴eq \f(AB,BC)＝eq \f(BD,AB).
∴eq \f(BF,BE)＝eq \f(AB,BC).
9．證明：(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠B＝∠D.
∵AM⊥BC，AN⊥CD，
∴∠AMB＝∠AND＝90°.
∴△AMB∽△AND.
(2)由△AMB∽△AND得eq \f(AM,AN)＝eq \f(AB,AD)，∠BAM＝∠DAN.
又AD＝BC，∴eq \f(AM,AN)＝eq \f(AB,BC).
∵AM⊥BC，AD∥BC，
∴∠MAD＝∠AMB＝90°.
∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90°.∴∠B＝∠MAN.
∴△AMN∽△BAC.∴eq \f(AM,AB)＝eq \f(MN,AC).
10．證明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AED＝90°.
又∵∠BAD＝∠DAE，
∴△ABD∽△ADE.
∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AD).即AD2＝AE·AB.
同理可得AD2＝AF·AC.
∴AE·AB＝AF·AC.∴eq \f(AE,AF)＝eq \f(AC,AB).
11．證明：連接PC，如圖所示．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，∠ABC＝∠ACB.
∴BP＝CP.∴∠1＝∠2
∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，
即∠3＝∠4.
∵CF∥AB，∴∠3＝∠F.∴∠4＝∠F.
又∵∠CPF＝∠CPE，
∴△CPF∽△EPC.
∴eq \f(CP,PE)＝eq \f(PF,CP)，即CP2＝PF·PE.
∵BP＝CP，∴BP2＝PE·PF.
12．證明：如圖，連接PA，
∵EP是AD的垂直平分線，
∴PA＝PD.
∴∠PDA＝∠PAD.
∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP.
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC.∴∠B＝∠CAP.
又∵∠APC＝∠BPA，
∴△PAC∽△PBA.∴eq \f(PA,PB)＝eq \f(PC,PA).
即PA2＝PB·PC.
∵PA＝PD，∴PD2＝PB·PC.
【題型講解】
【題型】一、相似圖形的概念和性質(zhì)
例1、如圖，在△ABC中，DE∥AB，且 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【提示】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到比例式即可解答．
【詳解】
解：∵DE//AB，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 的值為 SKIPIF 1 < 0 ．故答案為A．
【題型】二、平行線分線段成比例定理
例2、如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)為（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【提示】根據(jù)平行線分線段成比例定理，由DE∥BC得 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用比例性質(zhì)求EC和AE的值即可
【詳解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故選C．
【題型】三、相似三角形的判定
例3、如圖，已知 SKIPIF 1 < 0 ，那么添加下列一個(gè)條件后，仍然無法判定 SKIPIF 1 < 0 的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【提示】利用相似三角形的判定依次判斷可求解．
【詳解】解：∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAE=∠BAC，
A、若 SKIPIF 1 < 0 ，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故選項(xiàng)A不符合題意；
B、若 SKIPIF 1 < 0 ，且∠DAE=∠BAC，無法判定△ABC∽△ADE，故選項(xiàng)B符合題意；
C、若∠B=∠D，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故選項(xiàng)C不符合題意；
D、若∠C=∠AED，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故選項(xiàng)D不符合題意；
故選：B．
【題型】四、相似三角形的性質(zhì)
例4、如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中，D、E分別是AB和AC的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．30B．25C．22．5D．20
【答案】D
【提示】
首先判斷出△ADE∽△ABC，然后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求出△ABC的面積．
【詳解】
解：根據(jù)題意，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別是AB和AC的中點(diǎn)，則DE∥BC且DE= SKIPIF 1 < 0 BC，故可以判斷出△ADE∽△ABC,根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可知 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 =1：4，則 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 =3：4，題中已知 SKIPIF 1 < 0 ，故可得 SKIPIF 1 < 0 =5， SKIPIF 1 < 0 =20
故本題選擇D
【題型】五、利用相似三角形解決實(shí)際問題
例5、為測(cè)量某河的寬度，小軍在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，再在他所在的這一側(cè)選點(diǎn)B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD與BC的交點(diǎn)E，如圖所示．若測(cè)得BE＝90 m，EC＝45 m，CD＝60 m，則這條河的寬AB等于( )
A．120 mB．67.5 mC．40 mD．30 m
【答案】A
【解析】
∵∠ABE=∠DCE, ∠AEB=∠CED,
∴△ABE∽△DCE,
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵BE=90m，EC=45m，CD=60m，
∴ SKIPIF 1 < 0
故選A.
【物高問題】
【題型】六、位似圖形的概念與性質(zhì)
例6、如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心．已知OA∶OD=1∶2，則△ABC與△DEF的面積比為（ ）
A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶5
【答案】C
【提示】
根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可得出答案．
【詳解】
由位似變換的性質(zhì)可知， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 △ABC與△DEF的相似比為：1∶2
SKIPIF 1 < 0 △ABC與△DEF的面積比為：1∶4
故選C．
【題型】七、平面直角坐標(biāo)系與位似圖形
例7、如圖，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為2：5，且三角板的一邊長(zhǎng)為8cm．則投影三角板的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)為（ ）
A．20cmB．10cmC．8cmD．3.2cm
【答案】A
【提示】
根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比列式進(jìn)行計(jì)算即可得解.
【詳解】
解：設(shè)投影三角尺的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)為xcm,
∵三角尺與投影三角尺相似,
∴8：x＝2：5,
解得x＝20.
故選:A.
相似三角形（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）
一、單選題
1．如圖，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的周長(zhǎng)之比為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，且周長(zhǎng)比等于相似比，據(jù)此即可解答．
【詳解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵AD：DB=1：2，
∴AD：AB=1：3，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的周長(zhǎng)比為1：3．
故選：D．
【點(diǎn)睛】題目主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理及其性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
2．如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中，高 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 圖中與 SKIPIF 1 < 0 一定相似的三角形有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 個(gè)B． SKIPIF 1 < 0 個(gè)C． SKIPIF 1 < 0 個(gè)D． SKIPIF 1 < 0 個(gè)
【答案】C
【分析】利用相似三角形的判定方法可得 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，可求解．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，
故選C
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
3．在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，則△ADE與△ABC的面積之比為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】容易證明兩個(gè)三角形相似，求出相似比，相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比，面積比等于相似比的平方．
【詳解】解：由題意得DE為△ABC的中位線，那么DE∥BC，DE：BC=1：2．
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE與△ABC的周長(zhǎng)之比為1：2，
∴△ADE與△ABC的面積之比為1：4，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，掌握相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比，面積比等于相似比的平方是解決此題關(guān)鍵．
4．如圖，D是 SKIPIF 1 < 0 的邊BC上的一點(diǎn)，那么下列四個(gè)條件中，不能夠判定△ABC與△DBA相似的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由相似三角形的判定定理即可得到答案．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，故選項(xiàng)A不符合題意；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，故選項(xiàng)B不符合題意；
SKIPIF 1 < 0 ，但無法確定 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 是否相等，所以無法判定兩三角形相似，故選項(xiàng)C符合題意；
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，故選項(xiàng)D不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定定理，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．
5．已知 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是它們的對(duì)應(yīng)角平分線，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的面積比是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方求解即可．
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是它們的對(duì)應(yīng)角平分線， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 兩三角形的相似比為： SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的面積比是： SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ．
故選： SKIPIF 1 < 0
【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵．
二、填空題
6．如圖所示，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用標(biāo)桿BE測(cè)量建筑物的高度，已知標(biāo)桿BE高為1.5m，測(cè)得AB＝3m，AC＝10m，則建筑物CD的高是_____m．
【答案】5
【分析】根據(jù)題意和圖形，利用三角形相似的性質(zhì)，可以計(jì)算出CD的長(zhǎng)，從而可以解答本題．
【詳解】∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ABE∽△ACD，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵BE＝1.5m，AB＝3m，AC＝10m，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得， SKIPIF 1 < 0 ，
即建筑物CD的高是5m，
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用、相似比等知識(shí)，正確得出相似三角形是解題的關(guān)鍵．
7．如圖所示，要使 SKIPIF 1 < 0 ，需要添加一個(gè)條件__________（填寫一個(gè)正確的即可）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)已有條件，加上一對(duì)角相等就可以證明 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相似，依據(jù)是：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．
【詳解】解：添加 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形相似的判定方法，牢記三角形相似的判定方法是做出本題的關(guān)鍵．
三、解答題
8．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，且AD:AB=AE:AC=2:3．
(1)求證：△ADE∽△ABC；
(2)若DE=4，求BC的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)BC=6．
【分析】（1）直接根據(jù)相似三角形的判定方法判定即可；
（2）利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．
（1）
證明：∵∠A=∠A，AD:AB=AE:EC=2:3，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ADE∽△ABC；
（2）
解：∵△ADE∽△ABC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴BC=6．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的判定和性質(zhì)，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．
相似三角形（提升測(cè)評(píng)）
一、單選題
1．如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E在AD邊上，EF∥CD，交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根據(jù)已知及平行線分線段成比例定理進(jìn)行分析，可得CD∥BF，依據(jù)平行線成比例的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)即可得到答案．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵EF∥CD，
∴EF∥AB，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，△DEF∽△DAB，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵AB=AD=CD，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴選項(xiàng)A、B、D正確；選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．
2．如圖1為一張正三角形紙片 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)在 SKIPIF 1 < 0 上．今以 SKIPIF 1 < 0 為折線將 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)往右折后， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別與 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)、 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)，如圖2所示．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)度為多少？（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形ABC是正三角形，可得∠A=∠B=60°，△AFD∽△BFG，即可求出FG=7，而AD=10，DF=14，BF=8，可得AB=32=AC，故CG=AC-AF-FG=9．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 三角形 SKIPIF 1 < 0 是正三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
故選： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形中的翻折問題，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，證明 SKIPIF 1 < 0 ，從而求出 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)度．
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有A， SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，1），點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的橫坐標(biāo)是 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 已知 SKIPIF 1 < 0 ，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】先過點(diǎn)A作 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，構(gòu)造相似三角形，再利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：過點(diǎn)A作 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn)B作 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)是 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的橫坐標(biāo)是 SKIPIF 1 < 0 ，
∴AC＝1，CO＝2，OD＝2，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 :B的縱坐標(biāo)是 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，通過作垂線構(gòu)造相似三角形是解決問題的關(guān)鍵．
4．如圖，D是 SKIPIF 1 < 0 的邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作 SKIPIF 1 < 0 的平行線交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)E，連接 SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn)D作 SKIPIF 1 < 0 的平行線交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)F，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 找到對(duì)應(yīng)線段成比例或相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比相等，判斷即可．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故A選項(xiàng)比例式正確，不符合題意；
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故B選項(xiàng)比例式正確，不符合題意；
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故C選項(xiàng)比例式正確，不符合題意；
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
故D選項(xiàng)比例式不正確，符合題意．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段．
二、填空題
5．如圖，小明想測(cè)量一棵樹的高度，他發(fā)現(xiàn)樹的影子落在了地上和墻上，此時(shí)測(cè)得地面上的影長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 為4m，墻上的影子 SKIPIF 1 < 0 長(zhǎng)為1m，同一時(shí)刻一根長(zhǎng)為1m的垂直于地面上的標(biāo)桿的影長(zhǎng)為0.5m，則樹的高度為______m．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】設(shè)地面影長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的樹高為 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)同時(shí)同地物高與影長(zhǎng)成正比列出比例式求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后加上墻上的影長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 即為樹的高度．
【詳解】解：設(shè)地面影長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的樹高為 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意得， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 墻上的影子 SKIPIF 1 < 0 長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 樹的高度為 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查利用投影求物高．熟練掌握同時(shí)同地物高與影長(zhǎng)成正比是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線上， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，與 SKIPIF 1 < 0 邊相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的面積之比等于______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例和相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求解．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的面積之比 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的面積之比是 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的面積之比是 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握并運(yùn)用：相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例、相似三角形的面積比等于相似比的平方等性質(zhì)，是解此題的關(guān)鍵．
三、解答題
7．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=1，CE=3，連接AF交CG于點(diǎn)K，H是AF的中點(diǎn)，連接CH．
(1)求tan∠GFK的值；
(2)求CH的長(zhǎng)．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3， SKIPIF 1 < 0 ，∠G=90°，證出 SKIPIF 1 < 0 ，得出比例式求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出結(jié)果；
（2）由正方形的性質(zhì)求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延長(zhǎng)AD交EF于M，連接AC、CF，求出AM=4，F(xiàn)M=2，∠AMF=90°，根據(jù)正方形性質(zhì)求出∠ACF=90°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)勾股定理求出AF，即可得出結(jié)果．
（1）
解：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，
∴AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3， SKIPIF 1 < 0 ，∠G=90°，
∴DG=CG-CD=2， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴DK：GK=AD：GF=1：3，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=1，CE=3，
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，
延長(zhǎng)AD交EF于M，連接AC、CF，如圖所示：
則AM=BC+CE=1+3=4，F(xiàn)M=EF-AB=3 SKIPIF 1 < 0 1=2，∠AMF=90°，
∵四邊形ABCD和四邊形GCEF是正方形，
∴∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
∵H為AF的中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△AMF中，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理，正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；本題有一定難度，特別是（2）中，需要通過作出輔助線運(yùn)用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)才能得出結(jié)果．
8．如圖所示， SKIPIF 1 < 0 的頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在矩形 SKIPIF 1 < 0 對(duì)角線 SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線上， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，滿足 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 其中 SKIPIF 1 < 0 對(duì)應(yīng) SKIPIF 1 < 0 對(duì)應(yīng) SKIPIF 1 < 0 對(duì)應(yīng) SKIPIF 1 < 0
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ．
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1)見解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由相似可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由矩形的性質(zhì)得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，從而可求得 SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)；
（2）結(jié)合（1）可求得 SKIPIF 1 < 0 ，再由相似的性質(zhì)求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求 SKIPIF 1 < 0 的值．
（1）
SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）得： SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形及相應(yīng)的性質(zhì)求得 SKIPIF 1 < 0 ．
解直角三角形的應(yīng)用
相似圖形
在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形.
相似多邊形
若兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，它們的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例，則這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。
特征：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。
比例線段的定義
在四條線段a，b，c，d中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，即 SKIPIF 1 < 0 (或a∶b＝c∶d)，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．
比例線段的性質(zhì)
(1)基本性質(zhì)：eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)ad＝bc；
(2)合比性質(zhì)：eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)eq \f(a＋b,b)＝eq \f(c＋d,d)；
(3)等比性質(zhì)：
若eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)＝…＝eq \f(m,n)(b＋d＋…＋n≠0)，那么eq \f(a＋c＋…＋m,b＋d＋…＋n)＝eq \f(a,b).
黃金分割
點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果eq \f(AC,AB)＝eq \f(BC,AC)，則線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比．
相似三角形
定義
各角對(duì)應(yīng)相等，各邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形．
判定
(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；
(2)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；
(3)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；
(4)三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似；
(5)斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似．
性質(zhì)
(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；
(2)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；
(3)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；
(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方

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