技巧1：識(shí)別相交線中的幾種角
技巧2：相交線與平行線中的思想方法
技巧3：幾何計(jì)數(shù)的四種常用方法
【題型】一、利用對(duì)頂角相等進(jìn)行相關(guān)計(jì)算
【題型】二、利用鄰補(bǔ)角相等求角的度數(shù)
【題型】三、平行線的性質(zhì)與判定
【題型】四、利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算
【題型】五、平行線性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用
【題型】六、求平行線間的距離
【考綱要求】
1、掌握相交線與平行線的定義，熟練運(yùn)用垂線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定.
【考點(diǎn)總結(jié)】一、相交線
【考點(diǎn)總結(jié)】二、平行線
【主要】
（1）對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角；
（2）如果∠α與∠β是對(duì)頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對(duì)頂角；
（3）如果∠α與∠β互為鄰補(bǔ)角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補(bǔ)角；
（4）兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè).
【技巧歸納】
技巧1：識(shí)別相交線中的幾種角
【類(lèi)型】一、識(shí)別對(duì)頂角
1．下列選項(xiàng)中，∠1與∠2互為對(duì)頂角的是( )
2．下列語(yǔ)句正確的是( )
A. 頂點(diǎn)相對(duì)的兩個(gè)角是對(duì)頂角
B. 有公共頂點(diǎn)并且相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角
C. 兩條直線相交，有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角是對(duì)頂角
D．兩條直線相交，有公共頂點(diǎn)且沒(méi)有公共邊的兩個(gè)角是對(duì)頂角
3．如圖，∠1的對(duì)頂角是( )
A．∠BOF B．∠BOC C．∠BOD D．∠EOC
4．如圖所示，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE，OF是過(guò)點(diǎn)O的射線，其中構(gòu)成對(duì)頂角的是( )
A．∠AOF和∠DOE B．∠EOF和∠BOE
C．∠BOC和∠AOD D．∠COF和∠BOD
【類(lèi)型】二、識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角
5．下列圖形中，∠1和∠2是同旁?xún)?nèi)角的是( )
6．如圖，AB與BC被AD所截得的內(nèi)錯(cuò)角是__________；DE與AC被直線AD所截得的內(nèi)錯(cuò)角是__________；圖中∠4的內(nèi)錯(cuò)角是_______和________．
7．如圖所示，如果∠2＝100°，那么∠1的同位角等于________°，∠1的內(nèi)錯(cuò)角等于________°，∠1的同旁?xún)?nèi)角等于________°。
8．如圖，試判斷∠1與∠2，∠1與∠7，∠1與∠BAD，∠3與∠4，∠2與∠6，∠5與∠8各對(duì)角的位置關(guān)系．
9．如圖，請(qǐng)結(jié)合圖形找出圖中所有的同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁?xún)?nèi)角．
參考答案
1．D 2.D 3.B 4.C 5.A
6．∠1和∠3；∠2和∠4；∠5；∠2
7．80；80；100
8．解：∠1與∠2是同旁?xún)?nèi)角，∠1與∠7是同位角，∠1與∠BAD是同旁?xún)?nèi)角，∠3與∠4是同旁?xún)?nèi)角，∠2與∠6是內(nèi)錯(cuò)角，∠5與∠8是對(duì)頂角．
9．解：當(dāng)直線AB，BE被AC所截時(shí)，所得到的內(nèi)錯(cuò)角有：∠BAC與∠ACE，∠BCA與∠FAC；同旁?xún)?nèi)角有：∠BAC與∠BCA，∠FAC與∠ACE.
當(dāng)直線AD，BE被AC所截時(shí)，內(nèi)錯(cuò)角有：∠ACB與∠CAD；同旁?xún)?nèi)角有：∠DAC與∠ACE.
當(dāng)直線AD，BE被BF所截時(shí)，同位角有：∠FAD與∠B；同旁?xún)?nèi)角有：∠DAB與∠B.
當(dāng)直線AC，BE被AB所截時(shí)，同位角有：∠B與∠FAC；同旁?xún)?nèi)角有：∠B與∠BAC.
當(dāng)直線AB，AC被BE所截時(shí)，同位角有：∠B與∠ACE；同旁?xún)?nèi)角有：∠B與∠ACB.
技巧2：相交線與平行線中的思想方法
【類(lèi)型】一、基本圖形(添加輔助線)法
1．已知AB∥CD，探討圖中∠APC與∠PAB、∠PCD的數(shù)量關(guān)系，并請(qǐng)你說(shuō)明成立的理由．
【類(lèi)型】二、分離圖形法
2．若平行直線EF，MN與相交直線AB，CD相交成如圖所示的圖形，則共得出同旁?xún)?nèi)角多少對(duì)？
【類(lèi)型】三、平移法
3．如圖，在水平地面上有幾級(jí)高度和寬度不均勻的臺(tái)階，它們的總寬度是3米，總高度是2米，圖中所成角度均為直角，現(xiàn)要在從A到B的臺(tái)階上鋪上地毯，求地毯的總長(zhǎng)度．
4．如圖，某住宅小區(qū)內(nèi)有一塊長(zhǎng)方形地，想在長(zhǎng)方形地內(nèi)修筑同樣寬的兩條小路，余下部分綠化，小路的寬為2 m，則綠化的面積為多少？
【類(lèi)型】四、方程思想
5．如圖，由點(diǎn)O引出六條射線OA，OB，OC，OD，OE，OF，且AO⊥OB，OF平分∠BOC，OE平分∠AOD，若∠EOF＝170°，求∠COD的度數(shù)．
【類(lèi)型】五、轉(zhuǎn)化思想
6．如圖，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D，試說(shuō)明BE⊥DE.
【類(lèi)型】六、數(shù)形結(jié)合思想
7．如圖，直線AB，CD被EF所截，∠1＝∠2，∠CNF＋∠BMN＝180°.試說(shuō)明：AB∥CD，MP∥NQ.
【類(lèi)型】七、分類(lèi)討論思想
8．如圖，已知直線l1∥l2，直線l3交l1于C點(diǎn)，交l2于D點(diǎn)，P是線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)你探究∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系．
參考答案
1．思路導(dǎo)引：要探究三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，可找出聯(lián)系這三個(gè)角的平行線，因此聯(lián)想到作平行線．
解：∠APC＝∠PAB＋∠PCD.
理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)P向左側(cè)作PE∥AB.
∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD.
∴∠PAB＝∠APE，∠PCD＝∠CPE.
∵∠APC＝∠APE＋∠CPE，
∴∠APC＝∠PAB＋∠PCD.
2．解：如圖，將給出的圖形分離為8個(gè)“三線八角”的基本圖形，由每個(gè)基本圖形都有2對(duì)同旁?xún)?nèi)角，知共有16對(duì)同旁?xún)?nèi)角．
3．解：由平移的性質(zhì)可知，地毯的總長(zhǎng)度為3＋2＝5(米)．
方法規(guī)律：此題運(yùn)用了平移法，這些臺(tái)階不均勻，無(wú)法具體計(jì)算每級(jí)臺(tái)階的寬度和高度，但若把所有臺(tái)階的寬平移至BC上，發(fā)現(xiàn)總和恰好與BC相等，若把所有臺(tái)階的高平移到AC上，發(fā)現(xiàn)總和恰好與AC相等．
4．解：如圖，把兩條小路平移到長(zhǎng)方形地ABCD的最上邊和最左邊，則余下部分EFCG是長(zhǎng)方形，即為綠化的面積．
∵ CF＝32－2＝30(m)，CG＝20－2＝18(m)，
∴長(zhǎng)方形EFCG的面積＝30×18＝540(m2)．
即綠化的面積為540 m2.
5．解：設(shè)∠COD＝x.因?yàn)镺F平分∠BOC，OE平分∠AOD，所以∠COF＝eq \f(1,2)∠BOC，∠EOD＝eq \f(1,2)∠AOD.因?yàn)椤螮OF＝x＋∠COF＋∠EOD＝170°，所以∠COF＋∠EOD＝170°－x.又因?yàn)閤＋2∠COF＋2∠EOD＋90°＝360°，所以x＋2(170°－x)＋90°＝360°，所以x＝70°，即∠COD＝70°.
方法規(guī)律：有些復(fù)雜的求角度的問(wèn)題用方程思想求解非常簡(jiǎn)單，注意方程思想的應(yīng)用．
6．解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB.∵EF∥AB，AB∥CD，∴EF∥CD.
∴∠DEF＝∠D.又∵∠D＝∠2，∴∠DEF＝∠2.
同理：由EF∥AB，∠1＝∠B，可得∠BEF＝∠1.
又∵∠1＋∠2＋∠BEF＋∠DEF＝180°，
∴∠1＋∠2＝∠BEF＋∠DEF＝∠BED＝90°.∴BE⊥DE.
方法規(guī)律：解該類(lèi)問(wèn)題需轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單、熟悉的幾何問(wèn)題，通過(guò)點(diǎn)E作平行線，把一個(gè)大角分成兩個(gè)小角，分別與已知角建立聯(lián)系，這種轉(zhuǎn)化思想在解題時(shí)經(jīng)常用到．
7．解：由對(duì)頂角相等，得∠CNF＝∠END.
又∠CNF＋∠BMN＝180°，
所以∠END＋∠BMN＝180°.所以AB∥CD.[來(lái)源:學(xué)&科&網(wǎng)]
所以∠EMB＝∠END.又因?yàn)椤?＝∠2，
所以∠EMB＋∠1＝∠END＋∠2，
即∠EMP＝∠ENQ.所以MP∥NQ.
點(diǎn)撥：平行線的判定是由角與角的數(shù)量關(guān)系到“形”的判定，而性質(zhì)則是由“形”到“數(shù)”的說(shuō)理，研究?jī)蓷l直線的垂直或平行的共同點(diǎn)是把研究它們的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為研究角和角之間的數(shù)量關(guān)系．
8．解：當(dāng)點(diǎn)P在C，D之間時(shí)，
過(guò)P點(diǎn)作PE∥AC，則PE∥BD，如圖①.
∵PE∥AC, ∴∠APE＝∠1.
∵PE∥BD，∴∠BPE＝∠3.
∵∠2＝∠APE＋∠BPE，∴∠2＝∠1＋∠3.
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，∠1＝0°，如圖②.
∵l1∥l2，∴∠2＝∠3.
∵∠1＝0°， ∴∠2＝∠1＋∠3.
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，∠3＝0°，如圖③.
∵l1∥l2，∴∠2＝∠1.
∵∠3＝0°，∴∠2＝∠1＋∠3.
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系為∠2＝∠1＋∠3.
技巧3：幾何計(jì)數(shù)的四種常用方法
【類(lèi)型】一、按順序計(jì)數(shù)問(wèn)題
1．(1)如圖①，直線l上有2個(gè)點(diǎn)，則圖中有2條可用圖中字母表示的射線，有1條線段；
(2)如圖②，直線l上有3個(gè)點(diǎn)，則圖中有________條可用圖中字母表示的射線，有________條線段；
(3)如圖③，直線上有n個(gè)點(diǎn)，則圖中有_______條可用圖中字母表示的射線，有__________條線段；
(4)應(yīng)用(3)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題：某校七年級(jí)共有6個(gè)班進(jìn)行足球比賽，準(zhǔn)備進(jìn)行循環(huán)賽(即每?jī)申?duì)之間賽一場(chǎng))，預(yù)計(jì)全部賽完共需________場(chǎng)比賽．
【類(lèi)型】二、按畫(huà)圖計(jì)數(shù)問(wèn)題
2．請(qǐng)你畫(huà)圖說(shuō)明同一平面內(nèi)的4條直線的位置關(guān)系，它們分別有幾個(gè)交點(diǎn)？
3．平面內(nèi)有10條直線，無(wú)任何三線共點(diǎn)，要使它們恰好有31個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)你畫(huà)出示意圖．
【類(lèi)型】三、按基本圖形計(jì)數(shù)問(wèn)題
4．如圖，一組互相平行的直線有6條，它們和兩條平行線a，b都相交，構(gòu)成若干個(gè)“#”形，則此圖中共有多少個(gè)“#”形？
【類(lèi)型】四、按從特殊到一般的思想方法計(jì)數(shù)問(wèn)題
5．觀察如圖所示的圖形，尋找對(duì)頂角(不含平角)．
(1)兩條直線相交于一點(diǎn)，如圖①，共有________對(duì)對(duì)頂角；
(2)三條直線相交于一點(diǎn)，如圖②，共有________對(duì)對(duì)頂角；
(3)四條直線相交于一點(diǎn)，如圖③，共有________對(duì)對(duì)頂角；….
(4)根據(jù)以上結(jié)果探究：當(dāng)n條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，所構(gòu)成的對(duì)頂角有____________對(duì)；
(5)根據(jù)探究結(jié)果，求2 018條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，所構(gòu)成的對(duì)頂角的對(duì)數(shù)．
6．平面內(nèi)n條直線最多將平面分成多少個(gè)部分？
參考答案
1．解：(2)4；3 (3)2(n－1)；eq \f(n,2)(n－1) (4)15
2．解：如圖所示，圖①有0個(gè)交點(diǎn)，圖②有1個(gè)交點(diǎn)，圖③、圖④有3個(gè)交點(diǎn)，圖⑤、圖⑥有4個(gè)交點(diǎn)，圖⑦有5個(gè)交點(diǎn)，圖⑧有6個(gè)交點(diǎn)．
3．解：如圖所示．
4．解：以一個(gè)“#”形為基本圖形的有5個(gè)，以?xún)蓚€(gè)“#”形為基本圖形的有4個(gè)，以三個(gè)“#”形為基本圖形的有3個(gè)，以四個(gè)“#”形為基本圖形的有2個(gè)，以五個(gè)“#”形為基本圖形的有1個(gè)，所以共有5＋4＋3＋2＋1＝15(個(gè))．
5．解：(1)2 (2)6 (3)12 (4)n(n－1)
(5)當(dāng)2 018條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，所構(gòu)成的對(duì)頂角的對(duì)數(shù)為2 018×(2 018－1)＝2 018×2 017＝4 070 306.
方法規(guī)律：本題運(yùn)用了從特殊到一般的思想，前三題可以直接數(shù)出對(duì)頂角的對(duì)數(shù)．根據(jù)前三題中的結(jié)果，探究出一般規(guī)律，再運(yùn)用規(guī)律來(lái)解決最后一個(gè)問(wèn)題．
6．解：首先畫(huà)圖如下，列表如下：
當(dāng)n＝1時(shí)，平面被分成2個(gè)部分；
當(dāng)n＝2時(shí)，增加2個(gè)，最多將平面分成2＋2＝4(個(gè))部分；
當(dāng)n＝3時(shí)，增加3個(gè)，最多將平面分成2＋2＋3＝7(個(gè))部分；
當(dāng)n＝4時(shí)，增加4個(gè)，最多將平面分成2＋2＋3＋4＝11(個(gè))部分；…；
所以當(dāng)有n條直線時(shí)，最多將平面分成2＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋eq \f(n（n＋1）,2)＝eq \f(n2＋n＋2,2)(個(gè))部分．
【題型講解】
【題型】一、利用對(duì)頂角相等進(jìn)行相關(guān)計(jì)算
例1、如圖，直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【提示】根據(jù)對(duì)頂角相等求出∠1，再根據(jù)互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角的和等于180°列式計(jì)算即可得解．
【詳解】解：∵∠1＋∠2＝60°，∠1＝∠2（對(duì)頂角相等），
∴∠1＝30°，
∵∠1與∠3互為鄰補(bǔ)角，
∴∠3＝180°?∠1＝180°?30°＝150°．
故選：A．
【題型】二、利用鄰補(bǔ)角相等求角的度數(shù)
例2、如圖，直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，垂足為點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【提示】
已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)鄰補(bǔ)角定義即可求出 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)．
【詳解】
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
故選：B
【題型】三、平行線的性質(zhì)與判定
例3、如圖，平行線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 被直線 SKIPIF 1 < 0 所截．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
直接利用平行線的性質(zhì)得出答案．
【詳解】
解：∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠2=75°，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【題型】四、利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算
例4、如圖，直線 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)是（ ）
A．120°B．100°C．150°D．160°
【答案】C
【提示】延長(zhǎng)AE，與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，根據(jù)平行線的性質(zhì)，求出∠AFC的度數(shù)，再利用外角的性質(zhì)求出∠ECF，從而求出∠ECD．
【詳解】解：延長(zhǎng)AE，與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠AFC=180°，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠AFC=60°，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=90°，
而∠AEC=∠AFC+∠ECF，
∴∠ECF=∠AEC-∠F =30°，
∴∠ECD=180°-30°=150°，
故選：C．
【題型】五、平行線性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用
例5、如圖，直線 SKIPIF 1 < 0 分別與直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】證明見(jiàn)解析．
【提示】
先根據(jù)角平分線的定義可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，從而可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后根據(jù)平行線的判定即可得證．
【詳解】
SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【題型】六、求平行線間的距離
例6、如圖，直線 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，△ABC的面積為10，則△DBC的面積( )
A．大于10B．小于10C．等于10D．不確定
【答案】C
【提示】
根據(jù)等底同高的三角形面積相等即可解題.
【詳解】
∵平行線之間的距離是相等的,,
∴以BC為底邊的三角形△ABC和△DBC等底同高,
∴△DBC的面積等于△ABC的面積等于10,
故選C.
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形的面積,屬于簡(jiǎn)單題,明確等底同高的三角形面積相等是解題關(guān)鍵.
相交線與平行線（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）
一、單選題
1．如圖，直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則∠3的度數(shù)等于（ ）
A．40°B．60°C．80°D．100
【答案】D
【分析】由兩直線平行，同位角相等得到∠4＝50°，再根據(jù)平角的定義即可得解．
【詳解】解：如圖，∵直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠4＝∠1＝50°，
∵∠2＝30°，
∴∠3＝180°－∠2－∠4＝180°－30°－50°＝100°，
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，能判定 SKIPIF 1 < 0 的條件是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】直接根據(jù)平行線的判定定理對(duì)各選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析即可．
【詳解】解：A、∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 不是同位角，
∴ SKIPIF 1 < 0 不能判定任何直線平行，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 不是內(nèi)錯(cuò)角，
∴ SKIPIF 1 < 0 不能判定任何直線平行，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 不是同位角，
∴ SKIPIF 1 < 0 不能判定任何直線平行，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是內(nèi)錯(cuò)角，
∴當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)能判定 SKIPIF 1 < 0 ，故此選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定．正確識(shí)別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角是正確答題的關(guān)鍵，只有同位角相等或內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)才能判斷兩直線平行．
3．如圖，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則∠1的度數(shù)為（ ）
A．110°B．100°C．80°D．70°
【答案】D
【分析】先證明 SKIPIF 1 < 0 再利用鄰補(bǔ)角的含義可得答案．
【詳解】解：如圖， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義，掌握“平行線的性質(zhì)”是解本題的關(guān)鍵．
4．三角板是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好幫手．將一對(duì)直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)B在ED上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180o求出∠ABC和∠EDF的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABD=∠EDF，利用角的和差即可求出∠CBD的度數(shù)．
【詳解】∵△ABC中，∠ACB=90o，∠A=60o，
∴∠ABC=180o-90o-60o=30o．
∵△DEF中，∠F=90o，∠E=45o，
∴∠EDF=180o-90o-45o=45o．
∵AB∥CF，
∴∠ABD=∠EDF=45o．
∴∠CBD=∠ABD-∠ABC
=45o-30o
=15o．
故選B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
5．如圖， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：如圖：

SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，熟知兩直線平行，同位角相等；三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解本題的關(guān)鍵．
二、填空題
6．如圖，直線a與b相交， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】60°##60度
【分析】先根據(jù)∠1=∠2，∠1+∠2=240°，求出∠1的度數(shù)，再根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求解即可．
【詳解】解：∵∠·1+∠2=240°，∠1=∠2，
∴∠1=∠2=120°，
∴∠3=180°-∠1=60°，
故答案為：60°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，正確求出∠1的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，已知射線 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為_(kāi)_____．
【答案】56°##56度
【分析】依據(jù)平行線的性質(zhì)，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)角平分線的定義，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
三、解答題
8．如圖，在△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ，D，E分別是邊BC，CA上的點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求∠BDE的大?。?br>(2) SKIPIF 1 < 0 交AB于點(diǎn)F，若DF平分∠BDE，求∠A的大?。?br>【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）先證明 SKIPIF 1 < 0 ，利用同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)即可求解；
（2）先求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．
(1)
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
∵DF平分∠BDE
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】此題主要考查平行線的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是熟知同位角相等，兩直線平行．
相交線與平行線（提升測(cè)評(píng)）
一、單選題
1．如圖，已知AB SKIPIF 1 < 0 CD，EB交CD于F，∠DFE＝135°，則∠ABE的度數(shù)為（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】B
【分析】先根據(jù)兩角互補(bǔ)的性質(zhì)得出∠CFE的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵∠DFE=135°，
∴∠CFE=180°-135°=45°，
∵AB SKIPIF 1 < 0 CD，
∴∠ABE=∠CFE=45°．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同位角相等是解題關(guān)鍵．
2．如圖，直線a SKIPIF 1 < 0 b，將一個(gè)含30°角的三角尺按如圖所示的位置放置，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．150°B．140°C．130°D．120°
【答案】B
【分析】由題意得∠CAD=90°，∠C=30°，從而求得∠CAE=70°，由平行線的性質(zhì)得∠CBF=∠CAE=70°，利用三角形的外角性質(zhì)求得∠CHB=40°，從而可求∠2的度數(shù)．
【詳解】解：如圖，
由題意得：∠CAD=90°，∠C=30°，
∵∠1=20°，
∴∠CAE=180°-∠CAD-∠1=70°，
∵a SKIPIF 1 < 0 b,
∴∠CBF=∠CAE=70°，
∵∠CBF是△CBH的外角，
∴∠CHB=∠CBF-∠C=40°，
∴∠2=180°-∠CHB=140°．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等．
3．如圖，直線a、b被直線c所截，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則∠2的度數(shù)是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】先根據(jù)鄰補(bǔ)角性質(zhì)求得 SKIPIF 1 < 0 ，然后再根據(jù)兩直線平行、內(nèi)錯(cuò)角相等即可解答．
【詳解】解：如圖：
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握“兩直線平行、內(nèi)錯(cuò)角相等”是解答本題的關(guān)鍵．
4．如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)E，EF平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．40°B．70°C．100°D．140°
【答案】B
【分析】先利用角平分線的定義和平角的定義計(jì)算出∠2，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠F的度數(shù)．
【詳解】∵EF平分∠CEB，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠2+∠3=180°， SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠2= SKIPIF 1 < 0 （180°-40°）=70°，
∵FM∥AB，
∴∠F=∠2=70°．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平角的定義，角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
5．如圖， SKIPIF 1 < 0 ，EF交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，EH為 SKIPIF 1 < 0 的平分線，GH交AB于點(diǎn)G， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為（ ）
A．80°B．76°C．75°D．70°
【答案】B
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而即可求解．
【詳解】如圖，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 EH為 SKIPIF 1 < 0 的平分線，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
6．如圖，AB SKIPIF 1 < 0 CD， SKIPIF 1 < 0 分別與 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】通過(guò)兩直線平行，同位角相等，求出∠ABE的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理求解．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在△ABE中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，DE SKIPIF 1 < 0 AC，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 __．
【答案】30°##30度
【分析】由三角形的內(nèi)角和定理可求解∠BAC的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義可得∠CAD的度數(shù)，利用平行線的性質(zhì)可求解．
【詳解】解：∵∠C＝75°，∠B＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD SKIPIF 1 < 0 ∠BAC＝30°，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠CAD＝30°．
故答案為30°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，求解∠CAD的度數(shù)．
三、解答題
8．如圖， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】
根據(jù)已知條件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，從而得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可證明 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】
證明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查平行線的性質(zhì)和判定．平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．平行線的判定：同位角相等，兩直線平行．

相
交
線
直線的位置關(guān)系
在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線之間的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行。
垂線的概念
當(dāng)兩條相交直線所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，交點(diǎn)叫做垂足。
垂線的性質(zhì)
在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。
垂線段最短定理
連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。
垂線段公理
直線外一點(diǎn)與已知線段連接的所有線段中，垂線段最短.
線段垂直平分線
鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角的知識(shí)點(diǎn)
兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系的角，它們的概念及性質(zhì)如下表：
圖形
頂點(diǎn)
邊的關(guān)系
大小關(guān)系
對(duì)頂角
1
2
∠1與∠2
有公共頂點(diǎn)
∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長(zhǎng)線
對(duì)頂角相等
即∠1=∠2
鄰補(bǔ)角
4
3
∠3與∠4
有公共頂點(diǎn)
∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長(zhǎng)線.
∠3+∠4=180°
同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁?xún)?nèi)角的知識(shí)點(diǎn)
同位角：在兩條直線的上方，又在直線EF的同側(cè)，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角叫同位角。（同旁同側(cè)）
如：∠1和∠5。
內(nèi)錯(cuò)角：在在兩條直線之間，又在直線EF的兩側(cè)，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角叫內(nèi)錯(cuò)角。（內(nèi)部異側(cè)）
如：∠3和∠5。
同旁?xún)?nèi)角：在在兩條直線之間，又在直線EF的同側(cè)，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角叫同旁?xún)?nèi)角。（同旁?xún)?nèi)側(cè)）如：∠3和∠6。
三線八角
指的是兩條直線被第三條直線所截而形成的八個(gè)角，其中同位角4對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有2對(duì)，同旁?xún)?nèi)角有2對(duì)，同旁?xún)?nèi)角有2對(duì)。
平
行
線
平行線的概念
在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，平行用符號(hào)“∥”表示，
如：直線 SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 互相平行，記作 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，讀作a平行于b。
平行線的畫(huà)法：一落、二靠、三移、四畫(huà)。
判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)它們的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)確定：
①有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩直線相交；
②無(wú)公共點(diǎn)，則兩直線平行；
③兩個(gè)或兩個(gè)以上公共點(diǎn)，則兩直線重合
平行公理（唯一性）：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。
平行線的判定
判定方法 1 ：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行
簡(jiǎn)稱(chēng)：同位角相等，兩直線平行
判定方法 2 ：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行
簡(jiǎn)稱(chēng)：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
判定方法 3： 兩條直線被第三條直線所截，如果同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行
簡(jiǎn)稱(chēng)：同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行
平行線的性質(zhì)
性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；
性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；
性質(zhì)3：兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)。
直線條數(shù)
1
2
3
4
…
平面最多被分成的部分個(gè)數(shù)
2
4
7
11
…

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