技巧1：概率應用的四種求法
技巧2：利用概率判斷游戲規(guī)則的公平性
【題型】一、判斷事件發(fā)生可能性的大小
【題型】二、簡單概率計算
【題型】三、用列舉法求概率
【題型】四、判斷游戲公平性
【題型】五、用頻率估計概率
【考綱要求】
1.了解事件的有關概念及分類．
2.理解概率的概念，并會用列表、畫樹狀圖法求簡單事件發(fā)生的概率．
3.學會用頻率估計概率，并會用概率解決實際問題.
【考點總結】一、事件的有關概念
1．必然事件：
在現(xiàn)實生活中一定會發(fā)生的事件稱為必然事件．
2．不可能事件：
在現(xiàn)實生活中一定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件．
3．不確定事件：
在現(xiàn)實生活中，有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生的事件稱為不確定事件．
4．分類：事件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(確定事件\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(必然事件,不可能事件)),不確定事件))
【考點總結】二、用列舉法求概率
1．在不確定事件中，一件事發(fā)生的可能性大小叫做這個事件的概率．
2．適用條件：
(1)可能出現(xiàn)的結果為有限多個；
(2)各種結果發(fā)生的可能性相等．
3．求法：
(1)利用列表或畫樹狀圖的方法列舉出所有機會均等的結果；
(2)弄清我們關注的是哪個或哪些結果；
(3)求出關注的結果數(shù)與所有等可能出現(xiàn)的結果數(shù)的比值，即關注事件的概率．
【考點總結】三、利用頻率估計概率
1．適用條件：
當試驗的結果不是有限個或各種結果發(fā)生的可能性不相等．
2．方法：
進行大量重復試驗，當事件發(fā)生的頻率越來越靠近一個常數(shù)時，該常數(shù)就可認為是這個事件發(fā)生的概率．
【考點總結】四、概率的應用
概率是和實際結合非常緊密的數(shù)學知識，可以對生活中的某些現(xiàn)象作出評判，如解釋摸獎，配紫色，評判游戲活動的公平性，數(shù)學競賽獲獎的可能性等等，還可以對某些事件作出決策．
【技巧歸納】
技巧1：概率應用的四種求法
【類型】一：用公式法求概率
1．一個不透明的袋中裝有5個黃球，13個黑球和22個紅球，它們除顏色外都相同．
(1)求從袋中摸出一個球是黃球的概率；
(2)現(xiàn)從袋中取出若干個黑球，并放入相同數(shù)量的黃球，攪拌均勻后使從袋中摸出一個球是黃球的概率不小于eq \f(1,3)，問至少取出了多少個黑球？
【類型】二：用列表法求概率
2．某校為了解九年級學生近兩個月“推薦書目”的閱讀情況，隨機抽取了該年級的部分學生，調(diào)查了他們每人“推薦書目”的閱讀本數(shù)．設每名學生的閱讀本數(shù)為n，并按以下規(guī)定分為四檔：當n＜3時，為“偏少”；當3≤n＜5時，為“一般”；當5≤n＜8時，為“良好”；當n≥8時，為“優(yōu)秀”．將調(diào)查結果統(tǒng)計后繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖表：
請根據(jù)以上信息回答下列問題：
(第2題)
(1)分別求出統(tǒng)計表中的x，y的值；
(2)估計該校九年級400名學生中為“優(yōu)秀”檔次的人數(shù)；
(3)從被調(diào)查的“優(yōu)秀”檔次的學生中隨機抽取2名學生介紹讀書體會，請用列表或畫樹形圖的方法求抽取的2名學生中有1名閱讀本數(shù)為9的概率．
【類型】三：用畫樹形圖法求概率
3．體育課上，小明、小強、小華三人在踢足球，足球從一人傳到另一人就記為踢一次．
(1)如果從小強開始踢，經(jīng)過兩次踢球后，足球踢到了小華處的概率是多少？
(2)如果踢三次后，球踢到了小明處的可能性最小，應從誰開始踢？請說明理由．
【類型】四：用頻率估算法求概率
4．一只不透明的袋子中裝有4個球，分別標有數(shù)字2，3，4，x，這些球除數(shù)字外都相同．甲、乙兩人每次同時從袋中各隨機摸出1個球，并計算摸出的這兩個球上數(shù)字之和．記錄后都將球放回袋中攪勻，進行重復試驗．試驗數(shù)據(jù)如下表：
解答下列問題：
(1)如果試驗繼續(xù)進行下去，根據(jù)上表數(shù)據(jù)，出現(xiàn)“和為7”的頻率將穩(wěn)定在它的概率附近，試估計出現(xiàn)“和為7”的概率；
(2)根據(jù)(1)，若x是不等于2，3，4的自然數(shù)，試求x的值．
技巧2：利用概率判斷游戲規(guī)則的公平性
【類型】一：利用概率判斷摸球游戲的公平性
1．在一個不透明的口袋里裝有分別標有數(shù)字1，2，3，4的四個球，除數(shù)字不同外，球沒有任何區(qū)別，每次試驗前先攪拌均勻．
(1)若從中任取一球，球上的數(shù)字為偶數(shù)的概率為多少？
(2)若從中任取一球(不放回)，再從中任取一球，請用畫樹形圖或列表格的方法求出兩個球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率．
(3)若設計一種游戲方案：從中任取兩球，兩個球上的數(shù)字之差的絕對值為1時甲勝，否則乙勝，請問這種游戲方案對甲、乙雙方公平嗎？請說明理由．
【類型】二：利用概率判斷轉盤游戲的公平性
2．如圖是一個轉盤，轉盤被平均分成4等份，即被分成4個大小相等的扇形，4個扇形分別標有數(shù)字1，2，3，4，指針的位置固定，轉動轉盤后任其自由停止，每次指針落在每一扇形的機會均等(若指針恰好落在分界線上則重轉)．【導學號：89274041】
(1)圖中標有“1”的扇形至少繞圓心旋轉________度能與標有“4”的扇形的起始位置重合；
(2)現(xiàn)有一本故事書，姐妹倆商定通過轉盤游戲定輸贏(贏的一方先看)，游戲規(guī)則是：姐妹倆各轉動一次轉盤，兩次轉動后，若指針所指扇形上的數(shù)字之積為偶數(shù)，則姐姐贏；若指針所指扇形上的數(shù)字之積為奇數(shù)，則妹妹贏．這個游戲規(guī)則對雙方公平嗎？請利用樹形圖或列表法說明理由．
(第2題)
【類型】三：利用概率判斷統(tǒng)計事件的公平性
3．近年來，我國持續(xù)的大面積的霧霾天氣讓環(huán)境和健康問題成為焦點，為了調(diào)查學生對霧霾天氣知識的了解程度，某校在學生中作了一次抽樣調(diào)查，調(diào)查結果共分為四個等級；A.非常了解；B.比較了解；C.基本了解；D.不了解．根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結果，繪制了如圖所示的不完整的三種統(tǒng)計圖表．
(第3題)
對霧霾天氣了解程度的統(tǒng)計表：
請結合統(tǒng)計圖表，回答下列問題：
(1)本次參與調(diào)查的學生共有________人，n＝________；
(2)扇形統(tǒng)計圖中D部分扇形所對應的圓心角是________度；
(3)請補全條形統(tǒng)計圖；
(4)根據(jù)調(diào)查結果，學校準備開展關于霧霾的知識競賽，某班要從“非常了解”程度的小明和小剛中選一人參加，現(xiàn)設計了如下游戲來確定，具體規(guī)則是：把四個完全相同的乒乓球標上數(shù)字1，2，3，4，然后放到一個不透明的袋中，一個人先從袋中隨機摸出一個球，另一個人再從剩下的三個球中隨機摸出一個球．若摸出的兩個球上的數(shù)字和為奇數(shù)，則小明去，否則小剛去．請用樹形圖或列表法說明這個游戲規(guī)則是否公平．
【題型講解】
【題型】一、判斷事件發(fā)生可能性的大小
例1、下列事件是必然事件的是（ ）
A．任意一個五邊形的外角和為540°
B．拋擲一枚均勻的硬幣100次，正面朝上的次數(shù)為50次
C．13個人參加一個集會，他們中至少有兩個人的出生月份是相同的
D．太陽從西方升起
例2、下列事件中是不可能事件的是( )
A．守株待兔B．甕中捉鱉C．水中撈月D．百步穿楊
【題型】二、簡單概率計算
例3、一個不透明的口袋中有4個紅球、2個白球，這些球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機摸出1個球，則摸到紅球的概率是（ ）
A．B．C．D．
例4、四張背面完全相同的卡片，正面分別印有等腰三角形、圓、平行四邊形、正六邊形，現(xiàn)在把它們的正面向下，隨機的擺放在桌面上，從中任意抽出一張，則抽到的卡片正面是中心對稱圖形的概率是（ ）
A．B．C．D．1
例5、已知電流在一定時間段內(nèi)正常通過電子元件“”的概率是0.5；則在一定時間段內(nèi)，由該元件組成的圖示電路A、B之間，電流能夠正常通過的概率是（ ）
A．0.75B．0.625C．0.5D．0.25
例6、現(xiàn)有4條線段，長度依次是2、4、6、7，從中任選三條，能組成三角形的概率是（ ）
A．B．C．D．
【題型】三、用列舉法求概率
例7、不透明的袋子中裝有兩個小球，上面分別寫著“1”，“2”，除數(shù)字外兩個小球無其他差別．從中隨機摸出一個小球，記錄其數(shù)字，放回并搖勻，再從中隨機摸出一個小球，記錄其數(shù)字，那么兩次記錄的數(shù)字之和為3的概率是（ ）
A．B．C．D．
例8、將一個籃球和一個足球隨機放入三個不同的籃子中，則恰有一個籃子為空的概率為（ ）
A．B．C．D．
例9、現(xiàn)有兩個不透明的袋子，一個裝有2個紅球、1個白球，另一個裝有1個黃球、2個紅球，這些球除顏色外完全相同，從兩個袋子中各隨機摸出1個球，摸出的兩個球顏色相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
【題型】四、判斷游戲公平性
例10、小偉和小梅兩位同學玩擲骰子的游戲，兩人各擲一次均勻的骰子，以擲出的點數(shù)之差的絕對值判斷輸贏．若所得數(shù)值等于，，，則小偉勝：若所得數(shù)值等于，，，則小梅勝
（1）請利用表格分別求出小偉、小梅獲勝的概率
（2）判斷上述游戲是否公平．如果公平，請說明理由；如果不公平，請利用上表修改游戲規(guī)則，以確保游戲的公平性
【題型】五、用頻率估計概率
例11、為慶祝建黨99周年，某校八年級（3）班團支部為了讓同學們進一步了解中國科技的發(fā)展，給班上同學布置了一項課外作業(yè)，從選出的以下五個內(nèi)容中任選部分內(nèi)容進行手抄報的制作：、“北斗衛(wèi)星”：、“時代”；、“智軌快運系統(tǒng)”；、“東風快遞”；、“高鐵”．統(tǒng)計同學們所選內(nèi)容的頻數(shù)，繪制如圖所示的折線統(tǒng)計圖，則選擇“時代”的頻率是（ ）
A．0.25B．0.3C．25D．30
例12、為了解某地區(qū)九年級男生的身高情況，隨機抽取了該地區(qū)1000名九年級男生的身高數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結果如下．
根據(jù)以上統(tǒng)計結果，隨機抽取該地區(qū)一名九年級男生，估計他的身高不低于的概率是（ ）
A．0.32B．0.55C．0.68D．0.87
例13、如圖①所示，平整的地面上有一個不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法：用一個長為，寬為的長方形，將不規(guī)則圖案圍起來，然后在適當位置隨機地朝長方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（球扔在界線上或長方形區(qū)域外不計實驗結果），他將若干次有效實驗的結果繪制成了②所示的折線統(tǒng)計圖，由此他估計不規(guī)則圖案的面積大約為（ ）
A．B．C．D．
概率（達標訓練）
一、單選題
1．下列所給的事件中，是必然事件的是（ ）
A．某校的300名學生中，至少有2名學生的生日是同一天．
B．正方形的對角線互相垂直
C．某抽獎活動的中獎概率是，那么連續(xù)抽10次，必然會中獎．
D．2023年的元旦順德會下雪．
2．縣氣象站天氣預報稱，明天千島湖鎮(zhèn)的降水概率為，下列理解正確的是（ ）
A．明天千島湖鎮(zhèn)下雨的可能性較大
B．明天千島湖鎮(zhèn)有的地方會下雨
C．明天千島湖鎮(zhèn)全天有的時間會下雨
D．明天千島湖鎮(zhèn)一定會下雨
3．下列成語所描述的事件屬于不可能事件的是（ ）
A．守株待兔B．水中撈月C．水滴石穿D．百發(fā)百中
4．如圖，電路圖上有4個開關A、B、C、D和1個小燈泡，同時閉合開關A、B或同時閉合開關C、D都可以使小燈泡發(fā)光，下列操作中，“小燈泡發(fā)光”這個事件是隨機事件的是（ ）
A．只閉合4個開關B．只閉合3個開關C．只閉合2個開關D．閉合1個開關
5．袋子中裝有個紅球、個綠球，從袋子中隨機摸出一個球，是綠球的概率為（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，一個可以自由轉動的轉盤被等分成個扇形區(qū)域，并涂上了相應的顏色，轉動轉盤，轉盤停止后，指針指向紅色區(qū)域的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．某校舉行春季運動會，需要在初一年級選取一名志愿者．初一（1）班、初一（2）班、初一（3）班各有名同學報名參加．現(xiàn)從這名同學中隨機選取一名志愿者，則被選中的這名同學恰好是初一（3）班同學的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．宋代程顥的《秋月》有四句古詩如下：
①空水澄鮮一色秋；②白云紅葉兩悠悠；
③清溪流過碧山頭；④隔斷紅塵三十里
這四句古詩的順序被打亂了，敏敏想把這四句古詩調(diào)整為正確位置，則她第一次就調(diào)整正確的可能性是（ ）
A．B．C．D．
9．下列事件是隨機事件的是（ ）
A．打開電視，正在播放《中國機長》
B．白發(fā)三千丈，緣愁似個長
C．離離原上草，一歲一枯榮
D．鈍角三角形的內(nèi)角和大于
二、填空題
10．某射擊運動員在同一條件下的射擊成績記錄如下：
根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計這名運動員射擊一次時“中九環(huán)以上”的概率約是_______.（精確到0.01）
11．如圖，若隨機閉合開關，，中的兩個，則能讓兩燈泡同時發(fā)光的概率為______
三、解答題
12．某校為了解九年級男同學的體育考試準備情況，隨機抽取部分男同學進行了米跑步測試．按照成績分為優(yōu)秀、良好、合格與不合格四個等級，學校繪制了如圖不完整的統(tǒng)計圖．
(1)根據(jù)給出的信息，補全兩幅統(tǒng)計圖；
(2)該校九年級有名男生，請估計成績達到良好及以上等級的有多少名？
(3)某班甲、乙兩位成績優(yōu)秀的同學被選中參加即將舉行的學校運動會米比賽．預賽分別為三組進行，選手由抽簽確定分組．甲、乙兩人恰好分在同一組的概率是多少？
13．某學校準備組織學生參加唱歌、舞蹈、書法、朗誦活動，為了解學生的參與情況，該校隨機抽取了部分學生進行“你愿意參加哪一項活動”（必選且只選一種）的問卷調(diào)查．根據(jù)調(diào)查結果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
(1)本次抽樣調(diào)查的總人數(shù)為______，扇形統(tǒng)計圖中“舞蹈”對應的圓心角的度數(shù)為______．
(2)若該校有1400名學生，估計選擇參加“書法”的有多少人？
(3)學校準備從推薦的4位同學（兩男兩女）中隨機選取兩人當正式活動的主持人，利用畫樹狀圖法或列表法求選取的兩人恰為一男一女的概率．
概率（提升測評）
一、單選題
1．將一枚飛鏢任意投擲到如圖所示的正六邊形鏢盤上，飛鏢落在白色區(qū)域的概率為( )
A．B．C．D．
2．活動課上，小林、小軍、小強3位同學和其他6位同學一起進行3人制籃球賽，他們將9人隨機抽簽分成三組，則小林、小軍、小強三人恰好分在3個不同組的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．如圖，點D在的邊上，連接，點P的位置如圖所示，在圖中隨機選擇一個三角形，則點P在選擇的三角形內(nèi)部的概率是（ ）
A．B．C．D．1
4．現(xiàn)有3包同一品牌的餅干，其中2包已過期，隨機抽取2包，2包都過期的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，若隨意拋出一粒石子在這個圓面上，則石子落在正方形ABCD內(nèi)概率是（ ）
A．B．C．D．
6．孔明給弟弟買了一些糖果，放到一個不透明的袋子里，這些糖果除了口味和外包裝的顏色外其余都相同，袋子里各種口味糖果的數(shù)量統(tǒng)計如圖所示，他讓弟弟從袋子里隨機摸出一顆糖果．則弟弟恰好摸到蘋果味糖果的概率是（ ）．
A．B．C．D．
7．在一個不透明的口袋中裝有 個紅球和若干個白球，他們除顏色外其他完全相同．通過多次摸球實驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在 附近，則口袋中白球可能有（ ）
A．1 個B．1 個C．1 個D．1 個
8．4件外觀相同的產(chǎn)品中只有1件不合格，現(xiàn)從中一次抽取2件進行檢測，抽到的兩件產(chǎn)品中有一件產(chǎn)品合格而另一件產(chǎn)品不合格的概率是( )
A．B．C．D．
9．如圖，電路連接完好，且各元件工作正常．隨機閉合開關，，中的兩個，能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的概率為（ ）
A．B．C．D．
10．有兩個可以自由轉動的轉盤，每個轉盤被分成如圖所示的幾個扇形，游戲者同時轉動兩個轉盤，如果一個轉盤轉出了紅色，另一個轉盤轉出了藍色，游戲者就配成了紫色，下列說法正確的是（ ）
A．兩個轉盤轉出藍色的概率一樣大
B．如果A轉盤轉出了藍色，那么B轉盤轉出藍色的可能性變小了
C．先轉動A轉盤再轉動B轉盤和同時轉動兩個轉盤，游戲者配成紫色的概率不同
D．游戲者配成紫色的概率為
二、填空題
11．現(xiàn)有張正面分別標有數(shù)字，，，的不透明卡片，它們除了數(shù)字外其余完全相同，將它們背面朝上洗均勻，隨機抽取一張，將該卡片上的數(shù)字記為，放回后再洗勻并隨機抽取一張，將該卡片上的數(shù)字記為，則滿足方程的解是負數(shù)的概率為________．
12．如圖，A、B是正方形網(wǎng)格中的兩個格點，在格點上任意放置點C，恰好能使的面積為1的概率是______．
三、解答題
13．為增強學生愛國意識，激發(fā)愛國情懷，某校9月開展了“喜迎二十大、永遠跟黨走、奮進新征程”主題教育活動，活動方式有：A.主題征文，B.書法繪畫，C.紅歌傳唱，D.經(jīng)典誦讀．為了解最受學生喜愛的活動方式，現(xiàn)隨機抽取若干名學生進行調(diào)查，并將調(diào)查結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
(1)參與此次抽樣調(diào)查的學生人數(shù)是_______，扇形統(tǒng)計圖中A部分圓心角的度數(shù)是_______；
(2)學校從1班，2班，3班，4班中隨機選取兩個班參加“紅歌傳唱”的活動，求恰好選中2班和3班的概率．
14．某校為落實“雙減”工作，增強課后服務的吸引力，充分用好課后服務時間，為學有余力的學生拓展學習空間，成立了5個活動小組（每位學生只能參加一個活動小組）：．音樂；．體育；．美術；．閱讀；．人工智能．為了解學生對以上活動的參與情況，隨機抽取部分學生進行了調(diào)查統(tǒng)計，并根據(jù)統(tǒng)計結果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．
根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
(1)①此次調(diào)查一共隨機抽取了______名學生；
②補全條形統(tǒng)計圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；
③扇形統(tǒng)計圖中圓心角______度；
(2)若該校有2800名學生，估計該校參加組（閱讀）的學生人數(shù)；
(3)學校計劃從組（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位學生中隨機抽取兩人參加市青少年機器人競賽，請用樹狀圖法或列表法求出恰好抽中甲、乙兩人的概率．
閱讀本數(shù)
n/本
1
2
3
4
5
6
7
8
9
人數(shù)/人
1
2
6
7
12
x
7
y
1
摸球總
次數(shù)
10
20
30
60
90
120
180
240
330
450
“和為7”出
現(xiàn)的頻數(shù)
1
9
14
24
26
37
58
82
109
150
“和為7”出
現(xiàn)的頻率
0.10
0.45
0.47
0.40
0.29
0.31
0.32
0.34
0.33
0.33
對霧霾天氣的了解程度
百分比
A.非常了解
5%
B.比較了解
15%
C.基本了解
45%
D.不了解
n
身高
人數(shù)
60
260
550
130
射擊次數(shù)
20
80
100
200
400
800
1000
射中九環(huán)以上次數(shù)
18
68
82
166
330
664
832
射中九環(huán)以上的頻率
0.90
0.85
0.82
0.83
0.825
0.83
0.832

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中考數(shù)學一輪復習考點題型歸納與分層訓練專題32 統(tǒng)計（2份打包，原卷版+解析版）

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中考數(shù)學一輪復習考點題型歸納與分層訓練專題26 旋轉（2份打包，原卷版+解析版）

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