例1．（2024?香坊區(qū)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣1分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）．
（1）求拋物線解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)Q、點(diǎn)P分別在第一、第二象限內(nèi)的拋物線上，PD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)F在第四象限內(nèi)，連接QF交x軸于點(diǎn)E，連接DF、PE，PE∥DF且PE＝DF，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（3）如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)N在線段EQ上，連接PN，作PM平分∠NPD交線段BE于點(diǎn)M，連接MN，若∠NPM與∠NME的度數(shù)比為2：3，，求Q點(diǎn)的縱坐標(biāo).
二、含特殊角
例2．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，0）．
（1）求此拋物線的函數(shù)解析式．
（2）點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)E，請(qǐng)?zhí)骄?PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒有最大值，請(qǐng)說明理由．
（3）點(diǎn)M為該拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)∠MCB＝45°時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．
對(duì)應(yīng)練習(xí)：
1.（2024春?江北區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，過點(diǎn)A作AD∥BC交y軸于點(diǎn)D，連接BD．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖1，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上，連接PB、PC，當(dāng)四邊形BPCD的面積最大時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)以及S四邊形BPCD的最大值；
（3）如圖2，將拋物線先向左平移3個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到新拋物線，若新拋物線與y軸交于點(diǎn)E，連接AE、BE，點(diǎn)M在新拋物線的對(duì)稱軸上，滿足：∠EBM+∠AEO＝∠OEB，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
三、等角
例3．（2024?沂源縣一模）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+5經(jīng)過A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，連接CD．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．
①當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△PBC的面積的最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②該拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
對(duì)應(yīng)練習(xí)：
1.（2024?萊蕪區(qū)模擬）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，4），與x軸交于A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）如圖，點(diǎn)P在第四象限的拋物線上，連接CD，PD與BC相交于點(diǎn)Q，與x軸交于點(diǎn)G，是否存在點(diǎn)P，使∠PQC＝∠ACD．若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2．（2024?濟(jì)南一模）如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣2mx﹣2m﹣1（m＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，其對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F．連接AC、BD．
（1）若m＝1，求B點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；
3．如圖①，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0）和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是直線下方拋物線上的點(diǎn)，PD⊥AC于點(diǎn)D，PF⊥x軸于點(diǎn)F，交線段AC于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)△PDE的周長最大時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖（2），點(diǎn)M是在直線上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠MAO＝∠OAC時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
4．（2020春?云夢(mèng)縣期中）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c過點(diǎn)x軸上的A（﹣1，0）和B點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是該拋物線上第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且CO＝3AO．
（1）拋物線的解析式為： ；
（2）若sin∠BCP＝，在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使∠QBC＝∠PBC？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
5．（2024春?昆都侖區(qū)校級(jí)月考）如圖，拋物線y＝ax2+2x+c（a＜0）與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，OB＝OC＝3．
（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；
（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠PCO＝∠PCB．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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