三角形面積之比：
一、平行轉化法：
例1．（2024?酒泉二模）如圖，平面直角坐標系中，已知二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．點D為直線BC上的一動點．
（1）求此二次函數的表達式；
（2）如圖1，當點D在線段BC上時，過動點D作DP∥AC交拋物線第一象限部分于點P，連接PA，PB，記△PAD與△PBD的面積和為S，當S取得最大值時，求點P的坐標；
【解答】解：（1）由題意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
則﹣3a＝3，則a＝﹣1，
則拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x+3；
（2）連接CP，
∵DP∥AC，則S△PDA＝S△PCD，
則S＝S△PAD+S△PBD＝S△PBC，
過點P作y軸的平行線交BC于點E，
由點B、C的坐標得，直線BC的表達式為：y＝﹣x+3，
設點P（x，﹣x2+2x+3），則點E（x，﹣x+3），
則S＝PE×OB＝3×（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝﹣（x﹣）2+≤，
故S的最大值為，此時x＝1.5，則點P（，）；
對應練習：已知：如圖所示，拋物線y=ax2-2ax-3a的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OC=3OA．
（1）求此拋物線解析式；
（2）在點P為拋物線上一動點，若△ACP的面積是6，求點P的坐標.
二、三角形面積之比：
例2．（2024?濟寧二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸交于A（﹣2，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，且OC＝2OA．
（1）試求拋物線的解析式；
（2）直線y＝kx+1（k＞0）與y軸交于點D，與拋物線在第一象限交于點P，與直線BC交于點M，記，試求m的最大值及此時點P的坐標；
【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∵OC＝2OA，
∴OC＝4，
∴C（0，4），
∵拋物線y＝ax2+bx+c經過點A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，4），
∴，
解得：，
∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4；
（2）如圖1，過點P作PE∥y軸交直線BC于E，連接CP，
設直線BC的解析式為y＝kx+d，
∵B（4，0）、C（0，4），
∴，
解得：，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4，
設P（t，﹣t2+t+4），則E（t，﹣t+4），
∴PE＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+2t，
∵直線y＝kx+1（k＞0）與y軸交于點D，
∴D（0，1），
∴CD＝4﹣1＝3，
∵PE∥y軸，即PE∥CD，
∴△EMP∽△CMD，
∴＝＝＝﹣t2+t，
∵m＝＝，
∴m＝﹣t2+t＝﹣（t﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴當t＝2時，m取得最大值，此時點P的坐標為（2，4）；
對應練習：
1．（2024?單縣三模）已知拋物線y＝ax2+bx+3的頂點坐標為（﹣1，4），與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，點P為第二象限內拋物線上的動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，連接OP交BC于點D，當S△CPD：S△BPD＝1：2時，請求出點D的坐標；
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3的頂點坐標為（﹣1，4），
∴，
解得：，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）令y＝0，得﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
令x＝0，則y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴，∠CBO＝45°，
∵S△CPD：S△BPD＝1：2，設點P到BC的距離為h，
∴＝＝，
∴，
過點D作DK⊥x軸于點K，則△BDK是等腰直角三角形，如圖1，
∴，
∴OK＝1，
∴D（﹣1，2）；
2．（2023?懷遠縣校級模擬）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0），C（3，0），與y軸交于點B，P是第一象限內拋物線上的點，連接OP交BC于點M，連接PC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在點P，使得S△PCM：S△CMO＝2：3？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）把點A（﹣1，0），C（3，0）代入y＝ax2+bx+4（a≠0），得：
，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）存在．如圖，過點P作PQ∥BC交x軸于點Q，
∴△CMO∽△QPO，
∴，
設△OPC的邊OP上的高為h，
∴，，
∵S△PCM：S△CMO＝2：3，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵OC＝3，
∴OQ＝5，
∴點Q的坐標為（5，0），
由拋物線的解析式知B（0，4），
設直線BC的解析式為y＝k1x+b1，
把B（0，4），C（3，0）代入得，，
解得，
∴直線BC的解析式為，
∵PQ∥BC，
∴設直線PQ的解析式為，
代入Q（5，0）得，
解得，
∴直線PQ的解析式為，
∵點P在拋物線，
∴聯立得，解得x1＝1，x2＝2，
把x1＝1，x2＝2代入，得，
∴點P的坐標為或（2，4）；
3.（2024春?昆都侖區(qū)校級月考）如圖，拋物線y＝ax2+2x+c（a＜0）與x軸交于點A和點B（點A在原點的左側，點B在原點的右側），與y軸交于點C，OB＝OC＝3．
（1）求該拋物線的函數解析式；
（2）如圖①，連接BC，點D是直線BC上方拋物線上的點，連接OD，CD．OD交BC于點F，當S△COF：S△CDF＝3：2時，求點D的坐標；
【解答】解：（1）∵OC＝OB＝3，
∴C（0，3），B（3，0），
將C（0，3），B（3，0）代入y＝ax2+2x+c，得：
，
∴，
∴拋物線解析式為：y＝﹣x2+2x+3；
（2）設BC的解析式為y＝kx+m，將C（0，3），B（3，0）代入，得：
，
∴，
∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3．
∵△CDF與△COF高相同，
∴S△COF：S△CDF＝OF：FD＝3：2．
作DG∥y軸，交BC于點G，設點D的橫坐標為t，則G（t，﹣t+3），D（t，﹣t2+2t+3），
∴DG＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t．
∵DG∥CO，
∴△GDF∽△COF，
∴OF：DF＝OC：DG，
∴DG＝2，
∴﹣t2+3t＝2，
∴t1＝1，t2＝2，
∴當t＝1時，
∴y＝4，
當t＝2時，
∴y＝3，
∴點D的坐標（1，4）或（2，3）；
4．（2024?濟寧）已知二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過（0，﹣3），（﹣b，c）兩點，其中a，b，c為常數，且ab＞0．
（1）求a，c的值；
（2）若該二次函數的最小值是﹣4，且它的圖象與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C．
①求該二次函數的解析式，并直接寫出點A，B的坐標；
②如圖，在y軸左側該二次函數的圖象上有一動點P，過點P作x軸的垂線，垂足為D，與直線AC交于點E，連接PC，CB，BE．是否存在點P，使若存在，求此時點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵函數過（0，﹣3），（﹣b，c）
∴c＝﹣3，ab2﹣b2+c＝c，
∴（a﹣1）b2＝0，
∵ab＞0，
∴a≠0，b≠0，
∴a﹣1＝0，
∴a＝1．
（2）①由（1）知該函數的解析式為：y＝x2+bx﹣3＝（x+）2﹣，
∵a＝1＞0，
∴當x＝﹣時，函數最小值為y＝﹣，
∵二次函數最小值為﹣4，
∴﹣＝﹣4，
解得b＝±2，
∵ab＞0，
∴b＝2，
∴二次函數解析式為y＝x2+2x﹣3，
令y＝0，則x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴點A坐標（﹣3，0），點B坐標（1，0）．
②Ⅰ，當點P在點A右側時，如圖，過B作BF⊥AC于點F，過P作PG⊥AC于點G，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），B（1，0），
∴OA＝OC＝3，OB＝1，
∴AB＝OA+OB＝4，AC＝3，
∵S△ABC＝，
∴BF＝＝2，
∵△PCE和△BCE都是以CE為底的三角形，
∴＝＝，
∴PG＝，
過P作PH∥AC交y軸于點H，過C作CK⊥PH，則CK＝PG＝，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝45°，
∴∠CHK＝45°，
∴CH＝CK＝，
∴OH＝，
∴點H坐標（0，﹣），
∴直線PH解析式為y＝﹣x﹣，
聯立方程組可得，
解得，，
∴P點坐標為（，）或（，）．
Ⅱ，當點P在點A左側時，過P作PH∥AC交y軸于點H，
同第一種情況的方法可得H（0，﹣）
∴直線PH解析式為y＝﹣x﹣，
聯立方程組得，
解得（舍），，
∴P點坐標為（，）．
綜上，P點的橫坐標為或或．
5．（2024?東營）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（2，0）兩點，與y軸交于點C，點D是拋物線上的一個動點．
（1）求拋物線的表達式；
（2）當點D在直線BC下方的拋物線上時，過點D作y軸的平行線交BC于點E，設點D的橫坐標為t，DE的長為l，請寫出l關于t的函數表達式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）連接AD，交BC于點F，求的最大值．
【解答】解：（1）由題意得，
，
∴，
∴拋物線的表達式為：y＝x2﹣x﹣2；
（2）設直線BC的函數表達式為：y＝mx+n，
∴，
∴，
∴y＝x﹣2，
∴E（t，t﹣2），
∵D（t，t2﹣t﹣2），
∴l(xiāng)＝（t﹣2）﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2t（0＜t＜2）；
（3）如圖1，
當0＜t＜2時，
作AG∥DE，交BC于G，
∴△DEF∽△AGF，
∴，
把x＝﹣1代入y＝x﹣2得，
y＝﹣3，
∴AG＝3，
∴＝﹣（t﹣1）2+，
∵當x＝1時，最大＝，
∵，
∴最大＝．
6．（2024?湖北模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣2，0）和點B，交y軸負半軸于點C，對稱軸在y軸的右邊，OB＝2OC，點P是直線BC下方拋物線上的點，連接OP交BC于點E，連接PC，記△PEC，△OEC的面積分別為S1，S2．（1）當拋物線的對稱軸為直線x＝1時．
①求拋物線的函數表達式；
②當的值最大時，求此時點P的坐標；
【解答】解：（1）①拋物線的對稱軸為直線 x＝1，A（﹣2，0），
∴B（4，0），
∵OB＝2OC，點C在y軸負半軸上，
∴C（0，﹣2），即c＝﹣2，
∵點A，B在拋物線上，
∴，
解得：，
∴．拋物線的函數表達式為；
②∵B（40），C（0，﹣2），
設直線BC的解析式為 y＝kx﹣2，
∴0＝4k﹣2，
解得 ，
∴直線BC的解析式為，
過點P作PF⊥x軸，交BC于點F，如圖1，
設，，OC∥PF，
∴，
∵OC∥PF，
∴△OCE∽△PFE，
∴＝，
∴＝＝＝＝，
∵，
∴當m＝2時，的值最大，此時P（2，﹣2）；
三、面積差
例3.（2023?武漢模擬）如圖1，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a＞0）交x軸于點A，B（點A在點B左側），交y軸于點C，且OB＝OC＝3OA，點D為拋物線上第四象限的動點．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖1，直線AD交BC于點P，連接AC，BD，若△ACP和△BDP的面積分別為S1和S2，當S1﹣S2的值最小時，求直線AD的解析式．
【解答】解：（1）由二次函數y＝ax2+bx﹣3，
令x＝0，則y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）．
又∵OB＝OC＝3OA，
∴A（﹣1，0），B（3，0），代入得：
y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2+2x﹣3）
即﹣3a＝﹣3，
解得：a＝1
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由題意得：S1﹣S2＝（S△ACP+S△ABP）﹣（S△BDP+S△ABP）＝S△ABC﹣S△ABD．
∵S△ABC＝6，為定值，
∴當S△ABD達到最大值時，S1﹣S2的值最?。?br>即點D為拋物線的頂點（1，﹣4）時，S△ABD達到最大值．
又∵A（﹣1，0），
設直線AD的表達式為：y＝k（x+1），
將點D的坐標代入上式并解得：k＝﹣2，
∴直線AD的表達式為：y＝﹣2x﹣2；
對應練習：
1．（2024?資陽）已知平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸的正半軸交于C點，且B（4，0），BC＝4．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點P是拋物線在第一象限內的一點，連接PB，PC，過點P作PD⊥x軸于點D，交BC于點K．記△PBC，△BDK的面積分別為S1，S2，求S1﹣S2的最大值；
【解答】解：（1）∵B（4，0），
∴OB＝4，
∵∠BOC＝90°，，
∴，
∴C（0，4），
把B（4，0），C（0，4），代入函數解析式得：
，
解得：，
∴；
（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴設直線BC的解析式為：y＝kx+4（k≠0），把B（4，0）代入，得：k＝﹣1，
∴y＝﹣x+4，
設，則K（m，﹣m+4），D（m，0），
∴，DK＝﹣m+4，DB＝4﹣m，
∴，，
∴
＝
＝，
∴當時，S1﹣S2的最大值為；
平行轉化法1：
條件：PM//AC
結論：S△PAC=S△MAC
平行轉化法2：
條件：PM//AB
結論：S△PAB=S△MAB
1.底相等，面積比=高之比
2.高相等，面積比=底之比

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