（1）試求拋物線的解析式；
（2）直線y＝kx+1（k＞0）與y軸交于點D，與拋物線在第一象限交于點P，與直線BC交于點M，記，試求m的最大值及此時點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，m取最大值時，是否存在x軸上的點Q及坐標平面內(nèi)的點N，使得P，D，Q，N四點組成的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的Q點和N點的坐標；若不存在，請說明理由．
2．如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+4mx﹣4m2+m+1的頂點為B，點A，C的坐標分別是A（0，﹣2），C（8，2），以AC為對角線作?ABCD．
（1）點B在某個函數(shù)的圖象上運動，求這個函數(shù)的表達式；
（2）若點D也在二次函數(shù)y＝﹣x2+4mx﹣4m2+m+1的圖象上，求m的值；
（3）是否存在矩形ABCD，使頂點B，D都在二次函數(shù)y＝﹣n（x﹣2m）2+m+1的圖象上？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
3．（2023?東源縣三模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+4與x軸交于A（﹣4，0）、B（8，0）兩點，且與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是直線BC上方拋物線上一動點，過點P作PM⊥BC于點M，交x軸于點N，過點P作PQ∥y軸交BC于點Q，求的最大值及此時P點坐標；
（3）將拋物線y＝ax2+bx+4沿射線CB平移個單位，平移后得到新拋物線y'，D是新拋物線對稱軸上一動點．在平面內(nèi)確定一點E，使得以B、C、D、E四點為頂點的四邊形是矩形．直接寫出點E的坐標．
4．（2023?羅定市三模）如圖1，拋物線y＝x2+bx+c過B（3，0），C（0，﹣3）兩點，動點M從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿BC方向運動，設(shè)運動的時間為t秒．
（1）求拋物線y＝x2+bx+c的表達式；
（2）如圖1，過點M作DE⊥x軸于點D，交拋物線于點E，當t＝1時，求四邊形OBEC的面積；
（3）如圖2，動點N同時從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿OB方向運動，將△BMN繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△GMF′．
①當點N運動到多少秒時，四邊形NBFG是菱形；
②當四邊形NBFG是矩形時，將矩形NBFG沿x軸方向平移使得點F落在拋物線上時，直接寫出此時點F的坐標．
5．（2023秋?鐵東區(qū)校級月考）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2（a≠0）與一次函數(shù)y＝kx﹣2的圖象相交于A（﹣1，﹣1），B兩點．
（1）求a，k的值及點B的坐標；
（2）在拋物線上求點P，使△PAB的面積是△AOB面積的一半；（寫出詳細解題過程）
（3）點M在拋物線上，點N在坐標平面內(nèi)，是否存在以A，B，M，N為頂點的四邊形是矩形，若存在直接寫出M的坐標，若不存在說明理由．
6．（2023?歙縣校級模擬）如圖，若二次函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象與x軸交于點A（﹣1，0）、B（4，0），與y軸交于點C，連接BC．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）若點Q是拋物線上一動點，在平面內(nèi)是否存在點K，使以點B、C、Q、K為頂點，BC為邊的四邊形是矩形？若存在請求出點K的坐標；若不存在，請說明理由．
7．（2024?淮陰區(qū)校級模擬）如圖1，二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．點B坐標為（6，0），點C坐標為（0，3），點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點P作PD⊥x軸，垂足為D，PD交直線BC于點E，設(shè)點P的橫坐標為m．
（1）求該二次函數(shù)的表達式；
（2）如圖2，過點P作PF⊥BC，垂足為F，當m為何值時，PF最大？最大值是多少？
（3）如圖3，連接CP，當四邊形OCPD是矩形時，在拋物線的對稱軸上存在點Q，使原點O關(guān)于直線CQ的對稱點O′恰好落在該矩形對角線所在的直線上，請直接寫出滿足條件的點Q的坐標．
8．（2024?張店區(qū)二模）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0）與y軸交于點C，連接AC，BC．
（1）求該拋物線及直線BC的函數(shù)表達式；
（2）如圖2，在BC上方的拋物線上有一動點P（不與B，C重合），過點P作PD∥AC，交BC于點D，過點P作PE∥y軸，交BC于點E．在點P運動的過程中，請求出△PDE周長的最大值及此時點P的坐標；
（3）如圖3，若點P是該拋物線上一動點，問在點P運動的過程中，坐標平面內(nèi)是否存在點Q使以B，C，P，Q為頂點BC為對角線的四邊形是矩形，若存在，請求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
9．（2024?婁底二模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，交y軸于點C，點P是拋物線上一個動點．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；
（2）當點P的坐標為（2，﹣3）時，求四邊形ACPB的面積；
（3）當動點P在直線BC上方時，在平面直角坐標系內(nèi)是否存在點Q，使得以B，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
10．（2024?榆次區(qū)三模）綜合與探究
如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C（0，﹣4），作直線AC，BC，P是直線BC下方拋物線上一動點．
（1）求A，B兩點的坐標，并直接寫出直線AC，BC的函數(shù)表達式．
（2）過點P作PQ∥y軸，交直線BC于點Q，交直線AC于點T．當P為線段TQ的中點時，求此時點P的坐標．
（3）在（2）的條件下，若N是直線BC上一動點，試判斷在平面內(nèi)是否存在點M，使以B，P，M，N為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

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