解決這類問題的一般步驟是：
1. 根據(jù)題目條件，設(shè)出二次函數(shù)的一般形式。
2. 利用題目給出的條件（如定點、定值等），建立方程或不等式。
3. 解方程或不等式，找出滿足條件的值或點。
1．（2024秋?工業(yè)園區(qū)校級月考）如圖，二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a（a為常數(shù)，且a＜0）的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)）、與y軸交于點C，頂點為D．過點D且平行于y軸的直線與x軸交于點E、與直線BC交于點F，連接AD，交直線BC于點G．
（1）填空：點A的坐標(biāo)為 ，點B的坐標(biāo)為 ；
（2）試探究是否為定值，如果是，求出這個定值，如果不是，請說明理由；
（3）若點P為二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a（a為常數(shù)，且a＜0）位于第一象限圖象上一點，連接AP，交直線BC于點Q，試求的最大值，并求出此時點P的橫坐標(biāo)．
2．（2024秋?花都區(qū)校級月考）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+2x+c的圖象與x軸交于A，B兩點．A點坐標(biāo)為（﹣1，0），與y軸交于點C（0，3），點M為拋物線頂點，點E為AB中點．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）已知D，F(xiàn)為拋物線上不與A，B重合的相異兩點．
①若點F與點C重合，D（m，﹣12），且m＞1，求證：D，E，F(xiàn)三點共線；
②若直線AD，BF交于點P，則無論D，F(xiàn)在拋物線上如何運動，只要D，E，F(xiàn)三點共線，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面積為定值的三角形．請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由．
3．（2024?龍巖模擬）如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C．
（1）求出點A，B，C的坐標(biāo)；
（2）以AB為直徑作⊙D，交y軸正半軸于點E，直線DP平分∠EDB，交y軸于點F，△IDB1與△ODE關(guān)于直線DP對稱．求證：點B，I，F(xiàn)三點共線．
（3）點D是拋物線y＝﹣x2+2x+3對稱軸與x軸的交點，點R是線段DB上的動點（除B，D外），過點R作x軸的垂線交拋物線y＝﹣x2+2x+3于點K，直線AK，BK分別與拋物線對稱軸交于M，N兩點．試問：DM+DN是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，說明理由．
4．（2024?無錫二模）如圖，一次函數(shù)y＝mx+n（m≠0，n＞0）與二次函數(shù)y＝x2的圖象交于A、D兩點（點A在點D左側(cè)）、與二次函數(shù)y＝2x2的圖象交于B、C兩點．（點B在點C左側(cè)）
（1）如圖1，若m＝1，n＝1，請求出AB：CD的值．
（2）如圖1，若m＝1，點B與A的橫坐標(biāo)之差為1，試探究AB：CD的值是否為定值？如果是，請求出這個比值；如果不是，請說明理由．
（3）如圖2，若AB：CD＝2，求BC：AD的值．
5．（2024?湖南）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+c的圖象經(jīng)過點A（﹣2，5），點P（x1，y1），Q（x2，y2）是此二次函數(shù)的圖象上的兩個動點．
（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖1，此二次函數(shù)的圖象與x軸的正半軸交于點B，點P在直線AB的上方，過點P作PC⊥x軸于點C，交AB于點D，連接AC，DQ，PQ．若x2＝x1+3，求證：的值為定值；
（3）如圖2，點P在第二象限，x2＝﹣2x1，若點M在直線PQ上，且橫坐標(biāo)為x1﹣1，過點M作MN⊥x軸于點N，求線段MN長度的最大值．
6．（2024?興化市三模）已知，二次函數(shù)y＝﹣（x+1）（x﹣m）（m＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，點D是二次函數(shù)圖象上的一個動點．
（1）如圖1，當(dāng)m＝2時，點D在第一象限內(nèi)；
①求點C的坐標(biāo)，并直接寫出直線BC的函數(shù)表達(dá)式；
②連接BD、DC，若△ABC面積是△BDC面積的4倍，求點D的坐標(biāo)；
（2）如圖2，過點D作DE∥BC交拋物線于點E（DE與BC不重合），連接CD，BE，直線CD與BE交于點F，點F的橫坐標(biāo)為t，試探究的值是否為定值？如果為定值，求出該定值；如果不為定值，請說明理由．
7．（2024春?天河區(qū)校級月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線G：y＝x2﹣2ax﹣3a2（a≠0），點A在拋物線G的對稱軸上，且在x軸上方．
（1）求拋物線G與x軸交點的坐標(biāo)（用含a的式子表示）；
（2）已知正方形ABCD的頂點B、D在該二次函數(shù)的圖象上，點B、D在拋物線對稱軸的同側(cè)，且點B在點D的左側(cè)，設(shè)點B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，試探究n﹣m是否為定值，如果是，求出這個值：如果不是，請說明理由；
8．（2024?青島三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的圖象與x軸交于A（4，0），B（﹣1，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點P是直線AC下方拋物線上的一個動點，連接AP、AC、BP、BC，線段AC與BP交于點Q，設(shè)△PAQ的面積為S1，△BCQ的面積為S2，當(dāng)S1﹣S2取最大值時，求點P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)﹣1≤x＜m時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差是一個定值，請直接寫出m的取值范圍．
9．（2024春?海州區(qū)期中）如圖1，二次函數(shù)y＝x2+bx﹣3的圖象與x軸相交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸相交于點C．
（1）①b＝ ，②頂點坐標(biāo)為 ；
（2）如圖2，坐標(biāo)平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫出點P及圖象的一段，分別記為P′，L′．移動該膠片，使L′所在拋物線對應(yīng)的函數(shù)恰為y＝x2+2．求點P移動的最短路程；
（3）如圖3，M是拋物線上一點，N為射線CB上的一點，且M、N兩點均在第一象限內(nèi)，B、N是位于直線AM同側(cè)的不同兩點，tan∠AMN＝1，點M到x軸的距離為a，△AMN的面積為2a，且∠ANB＝∠MBN，請問MN的長是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．
10．（2024?姑蘇區(qū)一模）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（其中m＞1）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，連接AC、BC，點D為△ABC的外心．
（1）填空：點A的坐標(biāo)為 ，∠ABC＝ °；
（2）記△ACD的面積為S1，△ABD的面積為S2，試探究S1﹣S2是否為定值？如果是，求出這個定值；
（3）若在第一象限內(nèi)的拋物線上存在一點E，使得以B、D、C、E為頂點的四邊形是菱形，則m＝ ．
11．（2024?煙臺一模）（1）如果四個點（0，0），（0，3），（2，4），（﹣2，4）中恰有三個點在二次函數(shù)y＝ax2（a為常數(shù)，且a≠0）的圖象上．
①a＝ ；
②如圖1，已知菱形ABCD的頂點B，C，D在該二次函數(shù)的圖象上，且AD⊥y軸，求菱形的邊長；
③如圖2，已知正方形ABCD的頂點B，D在該二次函數(shù)的圖象上，點B，D在y軸的同側(cè)，且點B在點D的左側(cè)，設(shè)點B，D的橫坐標(biāo)分別為m，n，試探究n﹣m是否為定值．如果是，求出這個值：如果不是，請說明理由；
（2）已知正方形ABCD的頂點B，D在二次函數(shù)y＝ax2（a為常數(shù)，且a＞0）的圖象上，點B在點D的左側(cè)，設(shè)點B，D的橫坐標(biāo)分別為m，n，直接寫出m，n滿足的等量關(guān)系式．
12．（2024?利州區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，交y軸于點C．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）如圖1，若在x軸上方的拋物線上存在一點D，使得∠ACD＝45°，求點D的坐標(biāo)；
（3）如圖2，平面上一點E（3，2），過點E作任意一條直線交拋物線于P、Q兩點，連接AP、AQ，分別交y軸于M、N兩點，則OM與ON的積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．
13．（2024?高新區(qū)二模）如圖（1），已知二次函數(shù)y＝x2﹣2mx﹣3m2（m＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為點D．連接CD，BC．
（1）點B的坐標(biāo)為 ，點D的坐標(biāo)為 ；（用含有m的代數(shù)式表示）
（2）如圖（2），若CB平分∠OCD，若點P是二次函數(shù)圖象上的點，且在直線BC下方．
①若對稱軸與直線BC交于點M，試說明DC與DM相等；
②求二次函數(shù)的表達(dá)式；
③點P到直線BC距離的最大值為 ；
④直線AP、BP分別交y軸于點E、F，問3OE+OF是否為定值？若是，求出這個值；若不是，說明理由．
14．（2024春?靖江市月考）二次函數(shù)y＝x2﹣tx（t＞0）圖象交x軸于O、A兩點，點C（m，n）為點A右側(cè)圖象上一動點，過點C作CB⊥x軸于點B．點D（p，q）為該函數(shù)x軸上方圖象上一動點（不與點C重合），直線CD交y軸于點E，連接AD、BE．
（1）如圖，當(dāng)t＝3，CD∥x軸：
①若n＝4，判斷∠OAD與∠OBE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②若p＜0，在點C、D運動的過程中，是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；
（2）在點C、D在運動的過程中，試探究∠OAD與∠OBE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
15．（2024?昆都侖區(qū)校級三模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象與x軸交于點A（﹣2，0），B（4，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知E為拋物線上一點，F(xiàn)為拋物線對稱軸l上一點，以B，E，F(xiàn)為頂點的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，求出點F的坐標(biāo)；
（3）如圖2，P為第一象限內(nèi)拋物線上一點，連接AP交y軸于點M，連接BP并延長交y軸于點N，在點P運動過程中，OM+ON是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

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