三角形面積之比：
一、平行轉(zhuǎn)化法：
例1．（2024?酒泉二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，過動(dòng)點(diǎn)D作DP∥AC交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接PA，PB，記△PAD與△PBD的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
對應(yīng)練習(xí)：已知：如圖所示，拋物線y=ax2-2ax-3a的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OC=3OA．
（1）求此拋物線解析式；
（2）在點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若△ACP的面積是6，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
二、三角形面積之比：
例2．（2024?濟(jì)寧二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸交于A（﹣2，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OC＝2OA．
（1）試求拋物線的解析式；
（2）直線y＝kx+1（k＞0）與y軸交于點(diǎn)D，與拋物線在第一象限交于點(diǎn)P，與直線BC交于點(diǎn)M，記，試求m的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
對應(yīng)練習(xí)：
1．（2024?單縣三模）已知拋物線y＝ax2+bx+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4），與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，連接OP交BC于點(diǎn)D，當(dāng)S△CPD：S△BPD＝1：2時(shí)，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
2．（2023?懷遠(yuǎn)縣校級(jí)模擬）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），C（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，P是第一象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，連接OP交BC于點(diǎn)M，連接PC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在點(diǎn)P，使得S△PCM：S△CMO＝2：3？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
3.（2024春?昆都侖區(qū)校級(jí)月考）如圖，拋物線y＝ax2+2x+c（a＜0）與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，OB＝OC＝3．
（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；
（2）如圖，連接BC，點(diǎn)D是直線BC上方拋物線上的點(diǎn)，連接OD，CD．OD交BC于點(diǎn)F，當(dāng)S△COF：S△CDF＝3：2時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
4．（2024?濟(jì)寧）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（0，﹣3），（﹣b，c）兩點(diǎn)，其中a，b，c為常數(shù)，且ab＞0．（1）求a，c的值；
（2）若該二次函數(shù)的最小值是﹣4，且它的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
①求該二次函數(shù)的解析式，并直接寫出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
②如圖，在y軸左側(cè)該二次函數(shù)的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，與直線AC交于點(diǎn)E，連接PC，CB，BE．是否存在點(diǎn)P，使若存在，求此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
5．（2024?東營）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在直線BC下方的拋物線上時(shí)，過點(diǎn)D作y軸的平行線交BC于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t，DE的長為l，請寫出l關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）連接AD，交BC于點(diǎn)F，求的最大值．
（2024?湖北模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，對稱軸在y軸的右邊，OB＝2OC，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的點(diǎn)，連接OP交BC于點(diǎn)E，連接PC，記△PEC，△OEC的面積分別為S1，S2．當(dāng)拋物線的對稱軸為直線x＝1時(shí)．
①求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
②當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
三、面積差
例3.（2023?武漢模擬）如圖1，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a＞0）交x軸于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，且OB＝OC＝3OA，點(diǎn)D為拋物線上第四象限的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖，直線AD交BC于點(diǎn)P，連接AC，BD，若△ACP和△BDP的面積分別為S1和S2，當(dāng)S1﹣S2的值最小時(shí)，求直線AD的解析式．
對應(yīng)練習(xí)：
1．（2024?資陽）已知平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于C點(diǎn)，且B（4，0），BC＝4．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接PB，PC，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)K．記△PBC，△BDK的面積分別為S1，S2，求S1﹣S2的最大值；
平行轉(zhuǎn)化法1：
條件：PM//AC
結(jié)論：S△PAC=S△MAC
平行轉(zhuǎn)化法2：
條件：PM//AB
結(jié)論：S△PAB=S△MAB
1.底相等，面積比=高之比
2.高相等，面積比=底之比

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