（1）y＝x2﹣2x+m；
（2）y＝x2﹣2mx+1；
（3）y＝mx2﹣2x+1；
（4）y＝mx2﹣2mx﹣3m；
（5）y＝mx2﹣2mx﹣3．
對(duì)應(yīng)練習(xí)：
1.（2024?呼和浩特二模）二次函數(shù)，有下列結(jié)論：
①該函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)（﹣1，2）；
②當(dāng)m＝1時(shí)，函數(shù)圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)；
③函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸不可能在y軸的右側(cè)；
④當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）是曲線(xiàn)上兩點(diǎn)，若﹣3＜x1＜﹣2，，則y1＞y2．其中，正確的結(jié)論有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
2.已知y關(guān)于x的二次函數(shù)y＝2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m，下列結(jié)論中：①當(dāng)m＝﹣1時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；②當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象總過(guò)定點(diǎn)；③當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)圖象在x軸上截得的線(xiàn)段的長(zhǎng)度大于．所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A．①②③B．①③C．②③D．①②
3．（2024?從江縣校級(jí)一模）小明在學(xué)習(xí)二次函數(shù)知識(shí)的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有3種情況：有2個(gè)交點(diǎn)，有1個(gè)交點(diǎn)和沒(méi)有交點(diǎn)，帶著這樣的結(jié)果，小明提問(wèn)：若過(guò)定點(diǎn)（0，1）的一次函數(shù)y＝kx+b與二次函數(shù)y＝x2+2x+3的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍是（ ）
A．，且k≠0B．
C．D．或
4．（2024春?鄞州區(qū)校級(jí)期末）無(wú)論m為何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)y＝x2+（m﹣1）x+m的圖象總是過(guò)定點(diǎn) ．
5．（2023?無(wú)錫）二次函數(shù)y＝x2+（2m﹣1）x+2m（m≠），有下列結(jié)論：
①該函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)（﹣1，2）；
②當(dāng)m＝1時(shí)，函數(shù)圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)；
③函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸不可能在y軸的右側(cè)；
④當(dāng)1＜m＜時(shí)，點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）是曲線(xiàn)上兩點(diǎn)，若﹣3＜x1＜﹣2，﹣＜x2＜0，則y1＞y2．
其中，正確結(jié)論的序號(hào)為 ．
6．（2023秋?淮陰區(qū)校級(jí)月考）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2mx+2m﹣3（m為常數(shù)）．
（1）不論m為何值，該函數(shù)圖象恒過(guò)定點(diǎn) ；
（2）已知點(diǎn)A（﹣3，y1），B（2，y2）在二次函數(shù)圖象上，若y1＞y2，求m的取值范圍．
7．（2024?浙江模擬）已知二次函數(shù)y＝（a﹣1）x2+ax﹣1﹣2a（a是實(shí)數(shù)）．
（1）若函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，2），求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的對(duì)稱(chēng)軸．
（2）求證：二次函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)（1，﹣2）．
（3）若a＞1時(shí)，二次函數(shù)的最小值為s，求s的取值范圍．
8．（2023秋?拱墅區(qū)校級(jí)月考）已知y關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣x2+（m﹣4）x+4m，
（1）若二次函數(shù)圖象與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的值；
（2）無(wú)論m取何值，函數(shù)圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
9．（2023秋?淮陰區(qū)校級(jí)月考）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2mx+2m﹣3（m為常數(shù)）．
（1）不論m為何值，該函數(shù)圖象恒過(guò)定點(diǎn) ；
（2）已知點(diǎn)A（﹣3，y1），B（2，y2）在二次函數(shù)圖象上，若y1＞y2，求m的取值范圍．
10．已知二次函數(shù)y＝ax2+（a+1）x+1（a≠0）．
（1）不論a為何值時(shí)，求函數(shù)圖象所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若函數(shù)有最大值1，求此時(shí)a的值．
11．（2024秋?贛州月考）已知二次函數(shù)y＝（a﹣1）x2+ax﹣1﹣2a（a是實(shí)數(shù)）．
（1）若函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，2），求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的對(duì)稱(chēng)軸．
（2）求證：二次函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)（1，﹣2）．
例2．（2024?永州二模）定義：對(duì)于一個(gè)函數(shù)，當(dāng)自變量x＝x0時(shí)，函數(shù)值y＝x0，則實(shí)數(shù)x0叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)值．根據(jù)定義完成下列問(wèn)題：
（1）求出反比例函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)值；
（2）若二次函數(shù)y＝ax2+b有﹣1和2兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)值．
①求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
②將該二次函數(shù)圖象平移，使其頂點(diǎn)為（t，2t+2），若平移后圖象所對(duì)應(yīng)函數(shù)總有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)值x1，x2，記，求z的取值范圍；
③若該二次函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MA⊥MB分別交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)．（點(diǎn)A在y軸左側(cè)），試探究直線(xiàn)AB是否恒過(guò)定點(diǎn)．如過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
對(duì)應(yīng)練習(xí)：1．（2024春?開(kāi)福區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)圖象與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若平行于x軸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于M、N兩點(diǎn)，與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交于H點(diǎn)，若點(diǎn)H到x軸的距離是線(xiàn)段MN的，求線(xiàn)段MN的長(zhǎng)；
（3）拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，過(guò)定點(diǎn)Q的直線(xiàn)y＝kx﹣k+3與二次函數(shù)交于E、F，△DEF外接圓的圓心在一條拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，求該拋物線(xiàn)的解析式．
2．（2023秋?梁溪區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣（a+b）x+b（a、b是常數(shù)，a≠0）．
（1）若M（﹣4，m）（m＞0）在該二次函數(shù)的圖象上，當(dāng)a＜0時(shí)，試判斷代數(shù)式a+b的正負(fù)性；
（2）已知對(duì)于任意的常數(shù)a、b（a≠0），二次函數(shù)的圖象始終過(guò)定點(diǎn)P，求證：一次函數(shù)y＝（k2+3）x+3k（x≥1）圖象上所有的點(diǎn)都高于點(diǎn)P．
3．（2024?雅安模擬）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象C交x軸于點(diǎn)（﹣1，0）和（3，0）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）將拋物線(xiàn)C1向上平移n個(gè)單位得拋物線(xiàn)C2，點(diǎn)P為拋物線(xiàn)C2的頂點(diǎn)，C（0，4），過(guò)C點(diǎn)作x軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)C2于點(diǎn)A，點(diǎn)B為y軸上的一動(dòng)點(diǎn)，若存在∠ABP＝90°有且只有一種情況，求此時(shí)n的值；
（3）如圖2，恒過(guò)定點(diǎn)（1，1）的直線(xiàn)QN交拋物線(xiàn)C1于點(diǎn)Q，N兩點(diǎn)，過(guò)Q點(diǎn)的直線(xiàn)y＝﹣2x+t的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)C1于M點(diǎn)，作直線(xiàn)MN，求MN恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)．
4．（2024春?亭湖區(qū)校級(jí)月考）【閱讀理解】函數(shù)過(guò)定點(diǎn)的含義就是：不管參數(shù)（即待定系數(shù)）取什么值，函數(shù)都過(guò)的這個(gè)點(diǎn)就是定點(diǎn)；如函數(shù)y＝kx+1經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0，1），因?yàn)闊o(wú)論k取什么值，函數(shù)一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），因此函數(shù)經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)就是（0，1）；
因此，我們可以把函數(shù)過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與參數(shù)無(wú)關(guān)的問(wèn)題進(jìn)行解決．
【嘗試運(yùn)用】（1）二次函數(shù)y＝kx2﹣2kx+1的圖象必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為 ；
（2）試說(shuō)明拋物線(xiàn)y＝mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m一定經(jīng)過(guò)非坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)P，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
【思維拓展】
（3）如圖1，若A、B是拋物線(xiàn)y＝x2上的動(dòng)點(diǎn)，OA⊥OB，且它們的橫坐標(biāo)分別為a、b，連接A、B．
①證明：直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)D；
②如圖2，BE∥AF∥x軸，EF∥y軸，若，BE＝n．要使過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)恰好平分四邊形ABEF面積，請(qǐng)直接寫(xiě)出n的最小值，及此時(shí)這條直線(xiàn)的解析式．
5．（2024秋?西湖區(qū)校級(jí)月考）已知二次函數(shù)y＝mx2﹣2（m+1）x+4（m為非零實(shí)數(shù)）．
（1）當(dāng)m＝2時(shí)，求二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）不論m為何值，該函數(shù)圖象都會(huì)經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)，求這兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若二次函數(shù)有最小值，求證：當(dāng)x≤1時(shí)，y隨x的增大而減小．
6．（2024秋?高新區(qū)校級(jí)月考）已知二次函數(shù)y＝mx2+2x﹣4m﹣2（m為常數(shù)，m≠0）．
（1）當(dāng)m＝1時(shí)，求該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)m取不同的值時(shí)，該函數(shù)的圖象總經(jīng)過(guò)一個(gè)或幾個(gè)定點(diǎn)，求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）已知A（m，2），B（4，2）．若該函數(shù)的圖象與線(xiàn)段AB恰有1個(gè)公共點(diǎn)，直接寫(xiě)出m的取值范圍．
7.（2024?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線(xiàn)y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）直接寫(xiě)出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖2，M、N是拋物線(xiàn)上異于B，C的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線(xiàn)BN與直線(xiàn)CM的交點(diǎn)始終在直線(xiàn)y＝2x﹣9上，求證：直線(xiàn)MN必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo)．
8．（2024?永州二模）定義：對(duì)于一個(gè)函數(shù)，當(dāng)自變量x＝x0時(shí)，函數(shù)值y＝x0，則實(shí)數(shù)x0叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)值．根據(jù)定義完成下列問(wèn)題：
（1）求出反比例函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)值；
（2）若二次函數(shù)y＝ax2+b有﹣1和2兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)值．
①求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
②將該二次函數(shù)圖象平移，使其頂點(diǎn)為（t，2t+2），若平移后圖象所對(duì)應(yīng)函數(shù)總有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)值x1，x2，記，求z的取值范圍；
③若該二次函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MA⊥MB分別交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)．（點(diǎn)A在y軸左側(cè)），試探究直線(xiàn)AB是否恒過(guò)定點(diǎn)．如過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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