★二次函數(shù)的性質(zhì)★
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，），對(duì)稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：
①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而減??；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＝﹣時(shí)，y取得最小值，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．
②當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而減??；x＝﹣時(shí)，y取得最大值，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．
③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個(gè)單位，再向上或向下平移||個(gè)單位得到的．
★二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系★
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?br>當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越小．
②一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置．
當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左側(cè)； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右側(cè)．（簡(jiǎn)稱：左同右異）
③．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)． 拋物線與y軸交于（0，c）．
④拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．
★二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征★
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，）．
①拋物線是關(guān)于對(duì)稱軸x＝﹣成軸對(duì)稱，所以拋物線上的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式．頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．
②拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值．
③拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別是（x1，0），（x2，0），則其對(duì)稱軸為x＝．
★多結(jié)論問題的解題策略★
1.數(shù)形結(jié)合：結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)給出的結(jié)論進(jìn)行分析和判斷。
2.逐一驗(yàn)證：對(duì)每個(gè)結(jié)論進(jìn)行逐一驗(yàn)證，確保判斷的準(zhǔn)確性
一、圖象信息
例1 已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，回答下列問題：
（1）填空（填“＞”“＜”或“＝”）：
①a 0；②b 0；③c 0；④b2﹣4ac 0；⑤a+b+c 0；
⑥4a﹣2b+c 0；⑦9a+3b+c 0；⑧3a+c 0；
⑨若點(diǎn)，（3，y2）均在該二次函數(shù)圖象上，則y1 y2；
（2）若點(diǎn)（﹣m，﹣6），（2+m，n）均在該二次函數(shù)圖象上，則n的值為 ；
（3）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m（m＜0）的實(shí)數(shù)根的情況為 ；
（4）若圖象與x軸的交點(diǎn)為（p，0），（q，0），p＜q，當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍為 ．
對(duì)應(yīng)練習(xí)：
1.已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，2），其對(duì)稱軸為直線x＝﹣1．下列結(jié)論中正確的有（ ）個(gè)．
①3a+c＞0
②若點(diǎn)（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函數(shù)圖象上，則y1＜y2
③關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
④滿足ax2+bx+c＞2的x的取值范圍為﹣2＜x＜0
A．1B．2C．3D．4
2．（2024?滑縣三模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，2），其對(duì)稱軸為直線x＝﹣1．下列結(jié)論：①3a+c＞0；②若點(diǎn)（﹣4，y1），（3，y2）均在該二次函數(shù)的圖象上，則y1＞y2；③關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣2有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；④滿足ax2+bx+c＞2的x的取值范圍為﹣2＜x＜0．其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②④B．②③C．②④D．②③④
3．（2023?聊城）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，2），其對(duì)稱軸為直線x＝﹣1．下列結(jié)論：①3a+c＞0；②若點(diǎn)（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函數(shù)圖象上，則y1＞y2；③關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；④滿足ax2+bx+c＞2的x的取值范圍為﹣2＜x＜0．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
4．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，2），其對(duì)稱軸為直線x＝﹣1．下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．3a+c＞0
B．若點(diǎn)（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函數(shù)圖象上，則y1＜y2
C．關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
D．滿足ax2+bx+c＞2的x的取值范圍為﹣2＜x＜0
5.（多選）（2024?濰坊模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，2），其對(duì)稱軸為直線x＝﹣1．下列結(jié)論其中正確結(jié)論的為（ ）
A．3a+c＞0
B．若點(diǎn)（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函數(shù)圖象上，則y1＞y2
C．關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
D．滿足ax2+bx+c＞2的x的取值范圍為﹣2＜x＜0
6．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如題10圖所示，圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，2），其對(duì)稱軸為直線x＝﹣1．下列結(jié)論：①a＜0；②若點(diǎn)（﹣4.5，y1），（3，y2）均在二次函數(shù)圖象上，則y1＞y2；③關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c+1＝0沒有實(shí)數(shù)根；④滿足ax2+bx+c＞2的x的取值范圍為﹣2＜x＜0．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
7．（2023?齊齊哈爾）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），對(duì)稱軸為直線x＝1，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：
①abc＞0；
②b＝2a；
③3a+c＝0；
④關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
⑤若點(diǎn)（m，y1）（﹣m+2，y2）均在該二次函數(shù)圖象上，則y1＝y(tǒng)2．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
8．（2023秋?乾安縣期中）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），對(duì)稱軸為直線x＝1，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論．
①abc＞0；
②b＝2a；
③3a+c＝0；
④關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
⑤若點(diǎn)（m，y1），（﹣m+2，y2）均在該二次函數(shù)圖象上，則y1＝y(tǒng)2．其中正確結(jié)論的序號(hào)為 ．
9.（2024春?陽(yáng)明區(qū)校級(jí)月考）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的一部分與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，下列結(jié)論：①abc＞0；②7a﹣3b+c＜0；③若（﹣2，y1），（﹣4，y2），（1，y3）為拋物線上的三個(gè)點(diǎn)，則y2＞y3＞y1；④對(duì)于圖象上的兩個(gè)不同的點(diǎn)（m，n），（﹣1，k），總有n＞k；⑤關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝﹣b（a≠0）有兩個(gè)不等實(shí)根．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．5B．4C．3D．2
10．（2024?谷城縣一模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，結(jié)合圖象有下列結(jié)論：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根分別為﹣3和1；④若點(diǎn)（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函數(shù)圖象上，則y1＜y2＜y3，其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
11．（2024?德陽(yáng)）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣，n），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)位于0和1之間，則以下結(jié)論：①abc＞0；②5b+2c＜0；③若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣6，y1），（5，y2），則y1＞y2；④若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝4無實(shí)數(shù)根，則n＜4．其中正確結(jié)論是 （請(qǐng)?zhí)顚懶蛱?hào)）．
12．（2024秋?東城區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，現(xiàn)有下列4個(gè)結(jié)論：
①abc＜0；
②（4a+c）2＜（2b）2；
③若（x1，y1），（x2，y2）是拋物線上的兩點(diǎn)，則當(dāng)|x1+1|＞|x2+1|時(shí)，y1＜y2；
④拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，m），則關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1無實(shí)數(shù)根．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
13．（2024?蒼溪縣模擬）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)）的圖象關(guān)于直線x＝﹣1對(duì)稱，則下列五個(gè)結(jié)論：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＜0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m為任意實(shí)數(shù)）；⑤3a+c＜0．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
14．拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B（3，0），交y軸的負(fù)半軸于C，對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)D．根據(jù)以上信息得出下列結(jié)論：①abc＜0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④當(dāng)x＜0時(shí)，y的值隨x值的增大而減??；⑤當(dāng)m≠1時(shí)，a+b＜am2+bm；其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（ ）
A．5B．4C．3D．2
15.（2024秋?樂清市校級(jí)月考）對(duì)稱軸為直線x＝1的拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）如圖所示，小明同學(xué)得出了以下結(jié)論：①abc＞0，②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m為任意實(shí)數(shù)），⑥當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而減小．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、表格信息
例2 如表是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的x，y的部分對(duì)應(yīng)值：
則對(duì)于該函數(shù)的性質(zhì)的判斷：
①該二次函數(shù)有最大值；
②不等式y(tǒng)＞﹣1的解集是x＜0或x＞2；
③方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別位于和之間；
④當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大．
其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
對(duì)應(yīng)練習(xí)：
1．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的y與x的部分對(duì)應(yīng)值如表：
下列結(jié)論：①abc＞0；
②關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)﹣4＜x＜1時(shí)，y的取值范圍為0＜y＜5；
④若點(diǎn)（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函數(shù)圖象上，則y1＝y(tǒng)2；
⑤滿足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范圍是x＜﹣2或x＞3．
其中正確結(jié)論的序號(hào)為 ．
2．（2024?鶴壁一模）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的y與x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：
下列結(jié)論：①m＝3；②拋物線y＝ax2+bx+c有最小值；③當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x增大而減少；④當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是x＜0或x＞2．其中正確的是（ ）A．②③④B．②③C．①②④D．②④
3．（2023秋?西湖區(qū)校級(jí)月考）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0），y與x的部分對(duì)應(yīng)值如表所示：
下面有四個(gè)論斷：①拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0的頂點(diǎn)為（2，﹣3）；②關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解為x1＝1，x2＝3；③當(dāng)x＝﹣0.5時(shí)，y的值為正，其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．（2024秋?天津期中）已知拋物線y＝ax2+bx+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表：
有以下結(jié)論：
①拋物線y＝ax2+bx+c的開口向上；
②拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1；
③方程ax2+bx+c＝0的根為0和m；
④當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是x＜0或x＞2．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表：
下列結(jié)論：①拋物線開口向下；②當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減?。虎劬€的對(duì)稱軸是直線；④y＝ax2+bx+c（a≠0）函數(shù)的最大值為2．其中所有正確的結(jié)論為 ．
x
…
0
1
2
…
y
…
﹣1
m
﹣1
n
…
x
﹣4
﹣3
﹣1
1
5
y
0
5
9
5
﹣27
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
6
0
﹣2
m
6
…
x
…
﹣1
0
2
3
4
…
y
…
6
1
﹣3
﹣2
m
…
x
?
﹣1
0
1
2
3
?
y
?
3
0
﹣1
m
3
?
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣4
0
2
2
0
﹣4
…

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