（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；
（3）若點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交直線BC于點(diǎn)Q，試探究是否存在以點(diǎn)E，D，P，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形．若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（﹣1，0），OC＝3OA，
∴OC＝3，
∴C（0，﹣3），
把點(diǎn)A（﹣1，0）、C（0，﹣3）和B（3，0）代入拋物線y＝ax2+bx+c中，
，
解得：，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；
（2）設(shè)直線BC解析式為：y＝kx+b，
把B（3，0）、C（0，﹣3）代入得：
，
解得：，
∴y＝x﹣3；
（3）存在，設(shè)p（a，a2﹣2a﹣3），
∴Q（a，a﹣3），
∵拋物線的頂點(diǎn)為D，
∴D（1，﹣4），
∵E（1，0），
∴|PQ|＝|yQ﹣yP|＝|a2﹣3a|，PQ∥ED，
若E、D、P、Q為平行四邊形，
∴PQ＝ED，
∵D（1，﹣4），E（1，0），
∴ED＝4，PQ＝4，
∴|a2﹣3a|＝4，
∴a2﹣3a＝4或a2﹣3a＝﹣4，
當(dāng)a2﹣3a＝4時(shí)，解得：a1＝4，a2＝﹣1；
當(dāng)a2﹣3a＝﹣4，時(shí)，Δ＜0，無解，
∴P1（4，5），P2（﹣1，0），
∴存在，點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，5）或（﹣1，0）．
2．（2024秋?長(zhǎng)沙期中）如圖，直線與y軸、x軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A（﹣1，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)P為該二次函數(shù)的圖象在第一象限上一點(diǎn)，當(dāng)△BCP的面積最大時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，在平面直角坐標(biāo)系中找一點(diǎn)Q，當(dāng)B、C、P、Q為頂點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫出Q的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）在y＝﹣x+2中，令x＝0，得y＝2，
∴B（0，2），
令y＝0，得﹣x+2＝0，
解得：x＝4，
∴C（4，0），
∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0），
∴，
解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+x+2；
（2）如圖，過點(diǎn)P作PE∥y軸交BC于點(diǎn)E，
設(shè)P（t，﹣+t+2），則E（t，﹣t+2），
∴PE＝﹣+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t，
∴S△BCP＝PE?BC＝×（﹣+2t）×4＝﹣（t﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴當(dāng)t＝2時(shí)，S△BCP有最大值，最大值為4，此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）；
（3）設(shè)Q（m，n），又B（0，2），C（4，0），P（2，3），
當(dāng)BC、PQ為對(duì)角線時(shí)，BC與PQ的中點(diǎn)重合，
則，
解得：，
∴Q（2，﹣1）；
當(dāng)BP、CQ為對(duì)角線時(shí)，BP與CQ的中點(diǎn)重合，則，
解得：，
∴Q（﹣2，5）；
當(dāng)BQ、CP為對(duì)角線時(shí)，BQ與CP的中點(diǎn)重合，則，
解得：，
∴Q（6，1）；
綜上所述，Q的坐標(biāo)為（2，﹣1）或（﹣2，5）或（6，1）．
3．（2024秋?阜陽期中）如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求b、c的值；
（2）若點(diǎn)P是拋物線BC段上的一點(diǎn)，當(dāng)△PBC的面積最大時(shí)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△PBC面積的最大值；
（3）點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作EF∥AC交x軸于點(diǎn)E，是否存在點(diǎn)F，使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）把點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（6，0）代入，得：
，
解得，
∴；
（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
∴CO＝6，
方法一：如圖1，連接OP，
設(shè)點(diǎn)，
∴，，
∵，
∴S△PBC＝S四邊形PBOC﹣S△BOC
＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC
＝
＝，
∴當(dāng)m＝3時(shí)，，此時(shí)；
方法二：如圖2，作PQ⊥AB于Q，交BC于點(diǎn)D，
設(shè)BC解析式為：y＝kx+t，將B（6，0），C（0，﹣6）代入得：
，
解得，
∴直線BC的解析式為：y＝x﹣6，
∴D（m，m﹣6），
∴，
∴，
∴當(dāng)m＝3時(shí)，，此時(shí)；
（3）如圖3，
當(dāng)四邊形ACFE為平行四邊形時(shí)，AE∥CF，
∵拋物線對(duì)稱軸為直線：x＝2，C（0，﹣6），
∴F1點(diǎn)的坐標(biāo)：（4，﹣6）；
如圖4，當(dāng)四邊形ACEF為平行四邊形時(shí)，AC＝EF，
作FG⊥AE于G，
∴∠FGO＝∠COA＝90°，
∵AC∥FE，
∴∠CAO＝∠FEG，
在△AOC和△FEG中，
，
∴△AOC≌△EGF（AAS），
∴FG＝OC＝6，
當(dāng)y＝6時(shí)，，
∴，，
∴，，
綜上所述：F（4，﹣6）或或．
4．（2023?成都模擬）如圖1，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)D在y軸上，其坐標(biāo)為（0，1）．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）已知在線段AC下方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，直線PC與直線BD交于點(diǎn)Q，連接AQ，AP．當(dāng)△APQ的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）條件下，將拋物線y＝ax2+bx﹣3沿射線AC平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的拋物線（如圖2），點(diǎn)R在新拋物線的對(duì)稱軸上．在直線上有一點(diǎn)S，使得以點(diǎn)P，D，R，S為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有符合條件的點(diǎn)R的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù) y＝ax2+bx﹣3的圖象與 x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），
∴
解得
∴該二次函數(shù)的表達(dá)為y＝x2+2x﹣3；
（2）如圖1，連接AD．
∵拋物線與y軸交于點(diǎn) C，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3）．
∴直線AC的函 數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x﹣3．
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1），
∴直線BD的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+1．
∴AC∥BD，CD＝4．
∴S△ACQ＝S△ACD＝×4×3＝6．
∴S△APQ＝S△APC+S△ACQ＝S△APC+S△ACD＝S△APC+6．
過點(diǎn)P作PE∥y軸交AC于點(diǎn)E，
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，
則P（t，t2+2t﹣3），E（t，﹣t﹣3），
∴PE＝﹣t2﹣3t．
∴S△APQ＝S△APC+6
＝×3×（﹣t2﹣3t）+6
＝﹣（t+）2+．
∵﹣＜0，
∴當(dāng)t＝﹣時(shí)，△APQ有最大值，為，
此時(shí)P（﹣，﹣）；
（3）由平移的性質(zhì)可知，拋物線y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4沿射線AC平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，即向右平移2個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位，
∴平移后的拋物線為：y1＝（x﹣1）2﹣6＝x2﹣2x﹣5．
∵點(diǎn)R在新拋物線對(duì)稱軸上，
∴點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為x＝1．
若以點(diǎn)P，D，R，S為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，根據(jù)題意，需要分以下兩種情況：
①當(dāng)PD為平行四邊形的邊時(shí)，xP﹣xD＝xR﹣xS或xP﹣xD＝xS﹣xR，
∴﹣﹣0＝1﹣xS或﹣﹣0＝xS﹣1，
解得xS＝或xS＝﹣．
∴S（，）或（﹣，﹣）．
∵yP﹣yD＝y(tǒng)R﹣yS或yP﹣yD＝y(tǒng)S﹣yR，
∴﹣﹣1＝y(tǒng)R﹣或﹣﹣1＝﹣﹣yR，
∴yR＝﹣+或yR＝﹣，
∴R（1，﹣+）或（1，﹣）；
②當(dāng)PD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，xP+xD＝xR+xS，
∴﹣+0＝1+xS，
解得xS＝﹣，
∴S（﹣，﹣）；
∵yP+yD＝y(tǒng)R+yS，
∴﹣+1＝y(tǒng)R+（﹣），
∴yR＝﹣+．
∴R（1，﹣+）．
綜上，若以點(diǎn)P，D，R，S為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)R的坐標(biāo)為：（1，﹣+）或（1，﹣）或（1，﹣+）．
5．（2023?懷遠(yuǎn)縣校級(jí)模擬）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），C（3，0），與y軸交于點(diǎn)B.
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，拋物線的對(duì)稱軸與BC交于點(diǎn)D，連接OD，點(diǎn)F在x軸上，拋物線上是否存在點(diǎn)E，使得以O(shè)，F(xiàn)，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）把點(diǎn)A（﹣1，0），C（3，0）代入y＝ax2+bx+4（a≠0），得：
，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）存在，點(diǎn)E的坐標(biāo)為或或或；
拋物線的對(duì)稱為直線，
∵拋物線的對(duì)稱軸與BC交于點(diǎn)D，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，
①當(dāng)以O(shè)F為平行四邊形的一邊時(shí)，此時(shí)DE∥OF，即DE∥x軸，
過點(diǎn)D作E1E2∥x軸，交拋物線于點(diǎn)E1，E2，
∴點(diǎn)E1，E2的縱坐標(biāo)為，
∴，
解得或，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為或；
②當(dāng)以O(shè)F為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，此時(shí)DE也為平行四邊形的對(duì)角線，
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（n，0），
∴，
解得或，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為或，
綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為或或或．
6．（2024春?萊蕪區(qū)期中）已知二次函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖1，在x軸下方作x軸的平行線l，交二次函數(shù)圖象于A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、點(diǎn)C．當(dāng)矩形ABCD為正方形時(shí)，求A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖2，在（2）的條件下，作直線AC，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AD勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D時(shí)立即原速返回，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q返回到點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．過點(diǎn)P向x軸作垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F，當(dāng)以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣h）2+k，
則y＝a（x﹣4）2﹣，
將原點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式得：0＝a（0﹣4）2﹣，
解得：a＝，
則拋物線的表達(dá)式為：y＝（x﹣4）2﹣＝x2﹣x；
（2）設(shè)直線l的表達(dá)式為：y＝m，
當(dāng)y＝m時(shí)，m＝x2﹣x，
解得：x＝4±，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4﹣，m），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4+，m），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4﹣，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4+，0）．
∵矩形ABCD為正方形，
∴4+﹣（4﹣）＝m，
解得：m1＝16（舍去），m2＝﹣4．
∴m＝4，
即點(diǎn)A（2，﹣4）；
（3）以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形能為平行四邊形．
由（2）可知：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，﹣4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）．
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+a（k≠0），
由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得，直線AC的解析式為y＝x﹣6．
當(dāng)x＝2+t時(shí)，y＝t2﹣t﹣4，y＝﹣x+6＝﹣t+4，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2+t，t2﹣t﹣4），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2+t，﹣t+4）．
∵以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，且AQ∥EF，
∴AQ＝EF，分三種情況考慮：
①當(dāng)0＜t≤4時(shí)，AQ＝t，EF＝t2﹣t﹣4+（t﹣4）＝﹣t2+t，
∴t＝﹣t2+t，
解得：t1＝0（舍去），t2＝4；
②當(dāng)4＜t≤7時(shí)，AQ＝8﹣t，EF＝t2﹣t，
∴8﹣t＝t2﹣t，
解得：t3＝4（舍去），t4＝6；
③當(dāng)7＜t≤8時(shí)，AQ＝8﹣t，EF＝t2﹣t，
∴8﹣t＝t2﹣t，
解得：t5＝2﹣2（舍去），t6＝2+2．
綜上所述：當(dāng)以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形時(shí)，t的值為4或6或2+2．
7．（2024?陽西縣一模）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，4），且與x軸交于點(diǎn)B（﹣1，0）．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點(diǎn)P（m，0）旋轉(zhuǎn)180°，此時(shí)點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D．
①連結(jié)AB、BC、CD、DA，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，求m的值；
②在①的條件下，若點(diǎn)M是直線x＝m上一點(diǎn)，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，4），
∴設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝a（x﹣1）2+4，
又∵B（﹣1，0），
∴0＝a（﹣1﹣1）2+4，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4（或y＝﹣x2+2x+3）；
（2）①∵點(diǎn)P在x軸正半軸上，
∴m＞0，
∴BP＝m+1，
由旋轉(zhuǎn)可得：BD＝2BP，AC＝2AP，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∴BD＝2（m+1），
過點(diǎn)A（1，4）作AE⊥x軸于點(diǎn)E，
∴BE＝2，AE＝4，
在Rt△ABE中，AB2＝BE2+AE2＝22+42＝20，
當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，AD⊥AB，
∴∠BAD＝∠BEA＝90°，
又∠ABE＝∠DBA，
∴△BAE∽△BDA，
∴AB2＝BE?BD，
∴4（m+1）＝20，
解得m＝4；
②由題可得點(diǎn)A（1，4）與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)P（4，0）成中心對(duì)稱，
∴C（7，﹣4），
∵點(diǎn)M在直線x＝4上，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4，
存在以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，
1）當(dāng)以BC為邊時(shí)，平行四邊形為BCMQ，點(diǎn)C向左平移8個(gè)單位，與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同，
∴將點(diǎn)M向左平移8個(gè)單位后，與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，
∴Q（﹣4，y1）代入y＝﹣x2+2x+3，
解得：y1＝﹣21，
∴Q（﹣4，﹣21），
2）當(dāng)以BC為邊時(shí)，平行四邊形為BCQM，點(diǎn)B向右平移8個(gè)單位，與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同，
∴將M向右平移8個(gè)單位后，與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，
∴Q（12，y2）代入y＝﹣x2+2x+3，
解得：y2＝﹣117，
∴Q（12，﹣117），
3）當(dāng)以BC為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M向左平移5個(gè)單位，與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同，
∴點(diǎn)C向左平移5個(gè)單位后，與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，
∴Q（2，y3）代入y＝﹣x2+2x+3，
得：y3＝3，
∴Q（2，3），
綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（﹣4，﹣21）或（2，3）或（12，﹣117）．

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全國(guó)通用 中考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)壓軸題專題練習(xí) 07平行四邊形存在性問題（不含答案版）

全國(guó)通用 中考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)壓軸題專題練習(xí) 07平行四邊形存在性問題（不含答案版）
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