一、求三角形面積最值
例1．如圖，拋物線y＝x2﹣x+與x軸交于A、B點，直線l：y＝kx﹣3k+4與拋物線交于E，F(xiàn)兩點．（1）直線l 過定點： ；（2）求S△BEF的最小值．
例2．如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+1和y軸交于點A，與它的對稱軸直線x＝1交于點B，過定點的直線y＝kx﹣k+4（k＜0）與該拋物線交于點M，N．若△BMN的面積等于1，求k的值．
對應(yīng)練習：
1．（2024?涼州區(qū)二模）如圖，已知：關(guān)于y的二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（2，0）和點B，與y軸交于點C（0，6），拋物線的對稱軸與x軸交于點D．
（1）求二次函數(shù)的表達式．
（2）有一個點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從點D與點M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當點M到達B點時，點M、N同時停止運動，問點M、N運動到何處時，△MNB面積最大，試求出面積．
2．（2024?沂源縣一模）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+5經(jīng)過A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）兩點，與x軸的另一個交點為C，頂點為D，連接CD．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）點P為該拋物線上一動點（與點B，C不重合），設(shè)點P的橫坐標為t．
①當點P在直線BC的下方運動時，求△PBC的面積的最大值及點P的坐標；
②該拋物線上是否存在點P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．
3．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．
（1）直接寫出A，B，C三點的坐標；
（2）如圖，點P為直線BC下方拋物線上一點，PD⊥BC于點D，求PD的最大值；
4．（2024?翠屏區(qū)校級模擬）在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)y＝ax2（a＞0）的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），OA＝1，經(jīng)過點A的一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象與y軸正半軸交于點C，且與拋物線的另一個交點為D，△ABD的面積為5．
（1）求拋物線和一次函數(shù)的解析式；
（2）拋物線上的動點E在一次函數(shù)的圖象下方，當△ACE面積的最大值時，求出此時點E的坐標；
5．（2024秋?長沙期中）如圖，直線與y軸、x軸分別交于點B、點C，經(jīng)過B、C兩點的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的另一個交點為A（﹣1，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點P為該二次函數(shù)的圖象在第一象限上一點，當△BCP的面積最大時，求P點的坐標；
6．（2024秋?阜陽期中）如圖，在直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點A（﹣2，0）和點B（6，0），與y軸交于點C．
（1）求b、c的值；
（2）若點P是拋物線BC段上的一點，當△PBC的面積最大時求出點P的坐標，并求出△PBC面積的最大值；
7．（2024秋?西崗區(qū)校級月考）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A的坐標為（﹣1，0），點C的坐標為（0，﹣3），連接BC．
（1）求該二次函數(shù)和直線BC的解析式；
（2）點P是拋物線在第四象限圖象上的任意一點，作PQ⊥x軸于點Q，交BC于點H，當PH的長度最大時，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，若△BCP的面積最大時，BC邊上的高PN的值為 ．
8．（2024秋?吉林月考）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，3），點B的坐標為（3，0），點P是拋物線上一個動點，且在直線BC的上方．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）求點A的坐標；
（3）連接CP、BP，當點P運動到什么位置時，△BPC的面積最大？請求出點P的坐標和△BPC面積的最大值；
9．（2023秋?大豐區(qū)月考）如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（﹣4，0）和點B，與y軸相交于點C（0，4）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）點D在線段OA上運動，過點D作x軸的垂線，與AC交于點Q，與拋物線交于點P．連接AP，CP，當三角形ACP的面積最大時，求此時點P的坐標；
10．（2024?深圳三模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與軸交于A，B點，與y軸交于點C（0，3），點B的坐標為（3，0），點P是拋物線上一個動點．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）若P點在第一象限運動，當P運動到什么位置時，△BPC的面積最大？請求出點P的坐標和△BPC面積的最大值；
二、求四邊形面積最值
例3．（2024?南召縣開學）綜合與探究
如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（﹣4，0）和點B，與y軸相交于點C（0，4）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）點D在線段OA上運動，過點D作x軸的垂線，與AC交于點Q，與拋物線交于點P，連接AP、CP，當四邊形AOCP的面積最大時，求點P的坐標和四邊形AOCP面積的最大值．
對應(yīng)練習：
1．（2023秋?新會區(qū)校級月考）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣1，0），B（2，0），交y軸于C（0，﹣2）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若點M為該二次函數(shù)圖象在第四象限內(nèi)的一個動點，當四邊形ACMB的面積最大時求出此時點M的坐標及四邊形ACMB面積的最大值；
2．（2024春?江北區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（4，0），與y軸交于點C，連接BC，過點A作AD∥BC交y軸于點D，連接BD．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）如圖，點P在第一象限內(nèi)的拋物線上，連接PB、PC，當四邊形BPCD的面積最大時，求出此時點P的坐標以及S四邊形BPCD的最大值；
3．（2024?吐魯番市二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，A點在原點的左側(cè)，B點的坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，﹣3），點P是直線BC下方的拋物線上一動點．
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時點P的坐標和四邊形ABPC的最大面積；
鉛垂法1：
鉛垂法2：
鉛垂法3：

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