專題練習(xí)04 鉛垂法求面積（講練）-2025年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸專題（全國(guó)通用）

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2、學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問(wèn)題的解決方法（以形助數(shù)）。
3、要學(xué)會(huì)搶得分點(diǎn)。要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單，將抽象轉(zhuǎn)化為具體，將實(shí)際轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)。
5、學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想?？v觀近幾年的中考?jí)狠S題分類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想:把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題。
專題04 鉛垂法求面積
一、求三角形面積最值
例1．如圖，拋物線y＝x2﹣x+與x軸交于A、B點(diǎn)，直線l：y＝kx﹣3k+4與拋物線交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．（1）直線l 過(guò)定點(diǎn)： ；（2）求S△BEF的最小值．
例2．如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+1和y軸交于點(diǎn)A，與它的對(duì)稱軸直線x＝1交于點(diǎn)B，過(guò)定點(diǎn)的直線y＝kx﹣k+4（k＜0）與該拋物線交于點(diǎn)M，N．若△BMN的面積等于1，求k的值．
對(duì)應(yīng)練習(xí)：
1．（2024?涼州區(qū)二模）如圖，已知：關(guān)于y的二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，6），拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）有一個(gè)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度在AB上向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)N從點(diǎn)D與點(diǎn)M同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，問(wèn)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△MNB面積最大，試求出面積．
2．（2024?沂源縣一模）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+5經(jīng)過(guò)A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，連接CD．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．
①當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△PBC的面積的最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②該拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
3．（2024?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）直接寫(xiě)出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖，點(diǎn)P為直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，PD⊥BC于點(diǎn)D，求PD的最大值；
4．（2024?翠屏區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y＝ax2（a＞0）的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），OA＝1，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，△ABD的面積為5．
（1）求拋物線和一次函數(shù)的解析式；
（2）拋物線上的動(dòng)點(diǎn)E在一次函數(shù)的圖象下方，當(dāng)△ACE面積的最大值時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；
5．（2024秋?長(zhǎng)沙期中）如圖，直線與y軸、x軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A（﹣1，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)P為該二次函數(shù)的圖象在第一象限上一點(diǎn)，當(dāng)△BCP的面積最大時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
6．（2024秋?阜陽(yáng)期中）如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求b、c的值；
（2）若點(diǎn)P是拋物線BC段上的一點(diǎn)，當(dāng)△PBC的面積最大時(shí)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△PBC面積的最大值；
7．（2024秋?西崗區(qū)校級(jí)月考）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），連接BC．
（1）求該二次函數(shù)和直線BC的解析式；
（2）點(diǎn)P是拋物線在第四象限圖象上的任意一點(diǎn)，作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，交BC于點(diǎn)H，當(dāng)PH的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，若△BCP的面積最大時(shí)，BC邊上的高PN的值為 ．
8．（2024秋?吉林月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線BC的上方．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）連接CP、BP，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△BPC的面積最大？請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△BPC面積的最大值；
9．（2023秋?大豐區(qū)月考）如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0）和點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C（0，4）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)D在線段OA上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，與AC交于點(diǎn)Q，與拋物線交于點(diǎn)P．連接AP，CP，當(dāng)三角形ACP的面積最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
10．（2024?深圳三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與軸交于A，B點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）若P點(diǎn)在第一象限運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△BPC的面積最大？請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△BPC面積的最大值；
二、求四邊形面積最值
例3．（2024?南召縣開(kāi)學(xué)）綜合與探究
如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0）和點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C（0，4）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)D在線段OA上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，與AC交于點(diǎn)Q，與拋物線交于點(diǎn)P，連接AP、CP，當(dāng)四邊形AOCP的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形AOCP面積的最大值．
對(duì)應(yīng)練習(xí)：
1．（2023秋?新會(huì)區(qū)校級(jí)月考）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣1，0），B（2，0），交y軸于C（0，﹣2）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)M為該二次函數(shù)圖象在第四象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形ACMB的面積最大時(shí)求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形ACMB面積的最大值；
2．（2024春?江北區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC交y軸于點(diǎn)D，連接BD．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上，連接PB、PC，當(dāng)四邊形BPCD的面積最大時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)以及S四邊形BPCD的最大值；
3．（2024?吐魯番市二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積；
鉛垂法1：
鉛垂法2：
鉛垂法3：