一、求三角形面積最值
例1．如圖，拋物線y＝x2﹣x+與x軸交于A、B點(diǎn)，直線l：y＝kx﹣3k+4與拋物線交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．
（1）直線l 過定點(diǎn)： （3，4） ；
（2）求S△BEF的最小值．
【解答】解：（1）∵y＝kx﹣3k+4，
∴k（x﹣3）＝y(tǒng)﹣4，
∵k為任意不為0的實(shí)數(shù)，
∴x﹣3＝0，y﹣4＝0，解得x＝3，y＝4，
∴直線l 過定點(diǎn)（3，4）；
故答案為（3，4）；
（2）設(shè)E、F點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，
則x1，x2為方程x2﹣x+＝kx﹣3k+4的兩根，
整理得x2﹣4（k+1）x+12k﹣13＝0，
∴x1+x2＝4（k+1），x1x2＝12k﹣13，
∴x2﹣x1＝＝＝，
當(dāng)k＝時，x2﹣x1有最小值，最小值為8，
當(dāng)y＝0時，x2﹣x+＝0，解得x1＝1，x2＝3，則B（3，0），
作BD∥y軸交直線EF于D，如圖，則D（3，4），
∴S△BEF＝S△BDE+S△BDF＝×4×（x2﹣x1），
∴S△BEF的最小值為×4×8＝16．
例2．如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+1和y軸交于點(diǎn)A，與它的對稱軸直線x＝1交于點(diǎn)B，過定點(diǎn)的直線y＝kx﹣k+4（k＜0）與該拋物線交于點(diǎn)M，N．若△BMN的面積等于1，求k的值．
【解答】解：令x＝0，解得：y＝1，
∴A的坐標(biāo)為（0，1）；
∵一次函數(shù)可化為：y＝kx﹣k+4＝k（x﹣1）+4，
∴當(dāng)x＝1時，y＝4，即該直線所過定點(diǎn)E坐標(biāo)為（1，4）．
由（1）知拋物線L的解析式為 y＝﹣x2+2x+1，
∴y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
∴點(diǎn)B（1，2），
∴BE＝4﹣2＝2．
S△BMN＝1，即S△BNE﹣S△BME＝BE?xN﹣BE?xM＝1，
∴xN﹣xM＝1，
由 得：x2+（k﹣2）x﹣k+3＝0，
解得：x＝＝，
則xN＝，xM＝，
由xN﹣xM＝1得：＝1，
∴k＝±3．
∵直線經(jīng)過一二四象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣3．
對應(yīng)練習(xí)：
1．（2024?涼州區(qū)二模）如圖，已知：關(guān)于y的二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，6），拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）有一個點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點(diǎn)B運(yùn)動，另一個點(diǎn)N從點(diǎn)D與點(diǎn)M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)B點(diǎn)時，點(diǎn)M、N同時停止運(yùn)動，問點(diǎn)M、N運(yùn)動到何處時，△MNB面積最大，試求出面積．
【解答】解：（1）由C（0，6）的坐標(biāo)知，c＝6，
即拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+bx+6，
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式得：4+2b+6＝0，
解得：b＝﹣5，
則二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝x2﹣5x+6；
（2）如圖2，
設(shè)A運(yùn)動時間為t，由AB＝1，得BM＝1﹣t，則DN＝2t，
∴S△MNB＝×（1﹣t）×2t＝﹣t2+t＝﹣（t﹣ ）2+，
當(dāng)t＝ 時，S△MNB面積最大，最大面積為 ；
即當(dāng)M（ ，0）、N（ ，1）或（ ，﹣1）時，△MNB面積最大，最大面積是 ．
2．（2024?沂源縣一模）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+5經(jīng)過A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）兩點(diǎn)，與x軸的另一個交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，連接CD．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P為該拋物線上一動點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．
①當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方運(yùn)動時，求△PBC的面積的最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②該拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣5，0）、B（﹣4，﹣3）代入拋物線y＝ax2+bx+5，
得：，
解得：，
∴該拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+6x+5…①；
（2）①令y＝0，得x2+6x+5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣5，
∴點(diǎn)C（﹣1，0），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+d，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得：，
解得：，
∴直線BC的解析式為y＝x+1…②，
如圖1，過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)G，
設(shè)點(diǎn)G（t，t+1），則點(diǎn)P（t，t2+6t+5），
∴PG＝t+1﹣（t2+6t+5）＝﹣t2﹣5t﹣4，
∴S△PBC＝PG?（xC﹣xB）＝×（﹣t2﹣5t﹣4）×3＝﹣t2﹣t﹣6＝﹣（t+）2+，
∵﹣＜0，
∴S△PBC有最大值，當(dāng)t＝﹣時，其最大值為，此時P（﹣，﹣）；
②∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，
∴頂點(diǎn)D（﹣3，﹣4），
設(shè)直線BP與CD交于點(diǎn)H，
當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方時，
∵∠PBC＝∠BCD，
∴點(diǎn)H在BC的中垂線上，
∵線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，﹣），
過該點(diǎn)與BC垂直的直線的k值為﹣1，
設(shè)BC中垂線的表達(dá)式為：y＝﹣x+m，將點(diǎn)（﹣，﹣）
代入上式得﹣＝﹣（﹣）+m，
解得：m＝﹣4，
∴直線BC中垂線的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣4…③，
設(shè)直線CD的解析式為y＝k′x+b′，把C（﹣1，0），D（﹣3，﹣4）代入得：，
解得：，
∴直線CD的解析式為：y＝2x+2…④，
聯(lián)立③④得：，
解得：，
∴點(diǎn)H（﹣2，﹣2），
設(shè)直線BH的解析式為y＝k″x+b″，則，
解得：，
∴直線BH的解析式為：y＝x﹣1…⑤，
聯(lián)立①⑤得，
解得：，（舍去），
故點(diǎn)P（﹣，﹣）；
當(dāng)點(diǎn)P（P′）在直線BC上方時，
∵∠PBC＝∠BCD，
∴BP′∥CD，
則直線BP′的表達(dá)式為：y＝2x+s，將點(diǎn)B坐標(biāo)代入上式并解得：s＝5，
即直線BP′的表達(dá)式為：y＝2x+5…⑥，
聯(lián)立①⑥并解得：x＝0或﹣4（舍去﹣4），
故點(diǎn)P（0，5）；
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（﹣，﹣）或（0，5）．
3．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖1，點(diǎn)P為直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，PD⊥BC于點(diǎn)D，求PD的最大值；
【解答】（1）解：對于y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，則0＝x2﹣2x﹣3，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），
令x＝0，則y＝﹣3，
∴點(diǎn)C（0，﹣3）；
（2）解：過點(diǎn)P作PE⊥x軸于E，交BC于點(diǎn)F，如圖1：
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，
將點(diǎn)B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b得：
，
解得：，
∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，
設(shè)P（x，x2﹣2x﹣3），則F（x，x﹣3），
∴PF＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，
∵PE⊥x軸，
∴PE∥y軸，
∴∠PFD＝∠BCO，
∵∠PDF＝∠BOC＝90°，
∴△PDF∽△BCO，
∴＝，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝3，OC＝3，
∴BC＝3，
∴＝，
∴PD＝﹣x2+x，
∴當(dāng)x＝﹣＝時，PD最大為；
4．（2023?翠屏區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y＝ax2（a＞0）的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），OA＝1，經(jīng)過點(diǎn)A的一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且與拋物線的另一個交點(diǎn)為D，△ABD的面積為5．
（1）求拋物線和一次函數(shù)的解析式；
（2）拋物線上的動點(diǎn)E在一次函數(shù)的圖象下方，當(dāng)△ACE面積的最大值時，求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo)；
【解答】解：（1）將二次函數(shù)y＝ax2（a＞0）的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到的拋物線解析式為y＝a（x﹣1）2﹣2，
∵OA＝1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），代入拋物線的解析式得，4a﹣2＝0，
∴，
∴拋物線的解析式為，即．
令y＝0，則，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0）；
∴AB＝OA+OB＝4，
∵△ABD的面積為5，
∴，
∴，
∴，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴．
設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+b，則有
，
解得：，
∴直線AD的解析式為．
（2）如圖，過點(diǎn)E作EM∥y軸交AD于M，
設(shè)，則，
∴，
∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME
＝
＝
＝
＝．
∴當(dāng)此時E點(diǎn)坐標(biāo)為．
5．（2024秋?長沙期中）如圖，直線與y軸、x軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的另一個交點(diǎn)為A（﹣1，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)P為該二次函數(shù)的圖象在第一象限上一點(diǎn)，當(dāng)△BCP的面積最大時，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
【解答】解：（1）在y＝﹣x+2中，令x＝0，得y＝2，
∴B（0，2），
令y＝0，得﹣x+2＝0，
解得：x＝4，
∴C（4，0），
∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0），
∴，
解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+x+2；
（2）如圖，過點(diǎn)P作PE∥y軸交BC于點(diǎn)E，
設(shè)P（t，﹣+t+2），則E（t，﹣t+2），
∴PE＝﹣+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t，
∴S△BCP＝PE?BC＝×（﹣+2t）×4＝﹣（t﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴當(dāng)t＝2時，S△BCP有最大值，最大值為4，此時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）；
6．（2024秋?阜陽期中）如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求b、c的值；
（2）若點(diǎn)P是拋物線BC段上的一點(diǎn)，當(dāng)△PBC的面積最大時求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△PBC面積的最大值；
【解答】解：（1）把點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（6，0）代入，得：
，
解得，
∴；
（2）當(dāng)x＝0時，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
∴CO＝6，
方法一：如圖1，連接OP，
設(shè)點(diǎn)，
∴，，
∵，
∴S△PBC＝S四邊形PBOC﹣S△BOC
＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC
＝
＝，
∴當(dāng)m＝3時，，此時；
方法二：如圖2，作PQ⊥AB于Q，交BC于點(diǎn)D，
設(shè)BC解析式為：y＝kx+t，將B（6，0），C（0，﹣6）代入得：
，
解得，
∴直線BC的解析式為：y＝x﹣6，
∴D（m，m﹣6），
∴，
∴，
∴當(dāng)m＝3時，，此時；
7．（2024秋?西崗區(qū)校級月考）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），連接BC．
（1）求該二次函數(shù)和直線BC的解析式；
（2）點(diǎn)P是拋物線在第四象限圖象上的任意一點(diǎn)，作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，交BC于點(diǎn)H，當(dāng)PH的長度最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，若△BCP的面積最大時，BC邊上的高PN的值為 ．
【解答】解：（1）把（﹣1，0）和（0，﹣3）代入得：
，
解得，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣x﹣3，
當(dāng)y＝0，即x2﹣x﹣3＝0；
解得：x1＝﹣1，x2＝6，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），
設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n，代入得：
，
解得，
∴直線BC的解析式為y＝﹣3；
（2）由（1）知直線BC的解析式為y＝﹣3；
設(shè)P（m，m2﹣m﹣3），
∵PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，交BC于點(diǎn)H，
∴H（m，m﹣3），
∴PH＝m﹣3﹣m2+m+3＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣3）2+，
∵＜0，
∴當(dāng)m＝3時，PH的長度最大，
∴P（3，﹣6）；
（3）由（1）知，直線BC的解析式為y＝﹣3，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），
作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，交BC于點(diǎn)H，如圖，
設(shè)點(diǎn)P（m，m2﹣m﹣3），則點(diǎn)H的坐標(biāo)為（m，m﹣3），
∴PH＝m﹣3﹣m2+m+3＝﹣m2+3m，
∴S△PBC＝PD?OB＝×6×（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣3）2+，
∴△PBC最大為，
∴PN＝＝，
故答案為：．
8．（2024秋?吉林月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P是拋物線上一個動點(diǎn)，且在直線BC的上方．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）連接CP、BP，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，△BPC的面積最大？請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△BPC面積的最大值；
【解答】解：（1）將C（0，3）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得：，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）令0＝﹣x2+2x+3，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)（﹣1，0）；
（3）當(dāng)，即點(diǎn)時，S△BCP有最大值；理由如下：
設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx+3，
將B（3，0）代入y＝kx+3得：0＝3k+3，
解得：k＝﹣1；
∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3，
過點(diǎn)P作PD∥y軸，如圖1所示：
設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+2m+3），則D（m，﹣m+3）（0＜m＜3），
＝
＝，
∴當(dāng)，即點(diǎn)時，S△BCP有最大值，且最大值為；
9．（2023秋?大豐區(qū)月考）如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0）和點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C（0，4）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)D在線段OA上運(yùn)動，過點(diǎn)D作x軸的垂線，與AC交于點(diǎn)Q，與拋物線交于點(diǎn)P．連接AP，CP，當(dāng)三角形ACP的面積最大時，求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；
【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c過A（﹣4，0）與點(diǎn)C（0，4），
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）設(shè)直線AC解析式為y＝kx+n，
則有，解得：，
即直線AC解析式為y＝x+4；
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，﹣m2﹣3m+4），
∵PD⊥x軸，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，m+4），
∴PQ＝﹣m2﹣3m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，
∵，OA＝4，
∴，
當(dāng)m＝﹣2時，面積有最大值，此時﹣m2﹣3m+4＝6，
即此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，6）；
10．（2024?深圳三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與軸交于A，B點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P是拋物線上一個動點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）若P點(diǎn)在第一象限運(yùn)動，當(dāng)P運(yùn)動到什么位置時，△BPC的面積最大？請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△BPC面積的最大值；
【解答】解：（1）將B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+2x+3．
（2）設(shè)P（x，﹣x2+2x+3），
設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n，
則，
解得，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，
設(shè)Q（x，﹣x+3），
∴，
當(dāng)時，△CPB的面積最大，
，
此時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，△CPB的面積最大值為．
二、求四邊形面積最值
例3．（2024?南召縣開學(xué)）綜合與探究
如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0）和點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C（0，4）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)D在線段OA上運(yùn)動，過點(diǎn)D作x軸的垂線，與AC交于點(diǎn)Q，與拋物線交于點(diǎn)P，連接AP、CP，當(dāng)四邊形AOCP的面積最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形AOCP面積的最大值．
【解答】解：（1）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0）和點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C（0，4），代入得：
，
解得：，
∴該二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝﹣x2﹣3x+4．
（2）如圖：連接AP，CP，
∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴OA＝4，OC＝4，
∴，
設(shè)P（t，﹣t2﹣3t+4），則Q（t，t+4），
∴PQ＝﹣t2﹣3t+4﹣（t+4）＝﹣t2﹣4t，
∴，
∴四邊形AOCP的面積＝，
∵﹣2＜0，
∴當(dāng)t＝﹣2時，四邊形AOCP的面積最大為16，
此時P（﹣2，6）．
對應(yīng)練習(xí)：
1．（2023秋?新會區(qū)校級月考）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣1，0），B（2，0），交y軸于C（0，﹣2）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)M為該二次函數(shù)圖象在第四象限內(nèi)的一個動點(diǎn)，當(dāng)四邊形ACMB的面積最大時求出此時點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形ACMB面積的最大值；
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0），B（2，0），交y軸于點(diǎn)C（0，﹣2），代入得：
，
解得，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣x﹣2；
（2）如圖，連接MC，MB，BC，作MN∥y軸交BC于點(diǎn)N，
設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n，將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入y＝mx+n，
代入得：，
解得，
∴y＝x﹣2，
∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，x2﹣x﹣2），N的坐標(biāo)為（x，x﹣2），
∴MN＝x﹣2﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+2x，
∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2），
∴OA＝1，OB＝2，OC＝2，
∴S四邊形ACMB＝S△ABC+S△MBC
＝
＝
＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x﹣1）2+4，
∴當(dāng)x＝1時，四邊形ACMB的面積取得最大值，
此時y＝x2﹣x﹣2＝﹣2，
∴M（1，﹣2），
∴當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，﹣2）時，四邊形ACMB的面積最大，最大值為4；
2．（2024春?江北區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，過點(diǎn)A作AD∥BC交y軸于點(diǎn)D，連接BD．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖1，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上，連接PB、PC，當(dāng)四邊形BPCD的面積最大時，求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)以及S四邊形BPCD的最大值；
【解答】解：（1）由題意，設(shè)二次函數(shù)的解析式：y＝a（x+1）（x﹣4），
由題意：﹣4a＝3，
∴，
∴；
（2）過點(diǎn)P作PQ∥y軸交BC于點(diǎn)Q，
∵AD∥BC，
∴，
∴S四邊形BPCD＝S△BCD+S△PBC
＝，
∵B（4，0）、C（0，3），
∴BC的解析式為：，
設(shè)，，
∴，
∵，對稱軸：直線m＝2，
∴當(dāng)m＝2時，PQ最大＝3，
此時，S四邊形BPCD的最大值為13.5；
3．（2024?吐魯番市二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動點(diǎn)．
（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積；
【解答】解：（1）由點(diǎn)C的坐標(biāo)得，拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+bx﹣3，
將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得：0＝9+3b﹣3，
解得：b＝﹣2，
則拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如圖1，
作PF⊥x軸于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，
∵四邊形ABPC的面積＝△ABC的面積+△BCP的面積，
而△ABC的面積不變，
∴當(dāng)△BCP的面積最大時，四邊形ABPC的面積也最大．
令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，又OC＝3，
∴．
BC的解析式為y＝x﹣3，設(shè)E（m，m﹣3），P（m，m2﹣2m﹣3）．
，
＝，當(dāng)時，，
而，此時，
∴此時四邊形ABPC的面積也最大，
．
∴此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為，四邊形ABPC的最大面積為．
鉛垂法1：
鉛垂法2：
鉛垂法3：

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