二、斜線段（化斜為直）
一、橫豎線段
例1．（2024秋?綏中縣期中）如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣4x的圖象與x軸的正半軸交于點A，經(jīng)過點A的直線與該函數(shù)圖象交于點B（1，﹣3），與y軸交于點C．
（1）求直線AB的函數(shù)表達式及點C的坐標；
（2）點P是第四象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，過點P作直線PE⊥x軸于點E，與直線AB交于點D，設點P的橫坐標為m．當時，求m的值．
【解答】解：（1）對于y＝x2﹣4x，當y＝0時，﹣x2+4x＝0，
解得x1＝0，x2＝4．
則點A的坐標為：（4，0），
由點A、B的坐標得，直線AB的表達式為：y＝x﹣4，
則點C（0，﹣4）；
（2）由題意可知：點P，D的坐標分別為 P（m，m2﹣4m），D（m，m﹣4），
∵點C的坐標為（0，4），
則OC＝4，
則PD＝CO＝2，
即|m2﹣4m﹣m+4|＝2，
解得：m＝或2或3（不合題意的值已舍去）．
對應練習：
1．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（5，0）兩點，直線y＝﹣x+3與y軸交于點C，與x軸交于點D．點P是第一象限內(nèi)拋物線上一動點，過點P作PF⊥x軸于點F，交直線CD于點E．設點P的橫坐標為m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）寫出線段CE的長（用含有m的代數(shù)式表示）；
（3）若PE＝5EF，求m的值；
【解答】解：（1）拋物線解析式為y＝﹣（x+1）（x﹣5），即y＝﹣x2+4x+5；
（2）當x＝0時，y＝﹣x+3＝3，則C（0，3），
當y＝0時，﹣x+3＝0，解得x＝4，則D（4，0），
所以CD＝＝5，
設P（m，﹣m2+4m+5），則E（m，﹣m+3），F(xiàn)（m，0），
∵EF∥OC，
∴CE：OF＝CD：OD，即CE：m＝5：4，
∴CE＝m（0＜m＜5）；
（3）存在．
PE＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m+2，EF＝|﹣m+3|，
∵PE＝5EF，
∴﹣m2+m+2＝5|﹣m+3|，
當﹣m2+m+2＝5（﹣m+3），解得m1＝6.5（舍去），m2＝2，
當﹣m2+m+2＝﹣5（﹣m+3），解得m1＝（舍去），m2＝，
綜上所述，m的值為2或；
2．（2024?咸豐縣模擬）綜合與探究
如圖，拋物線y＝x2﹣3x﹣4與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，連接BC．若點P在線段BC上運動（點P不與點B，C重合），過點P作x軸的垂線，交拋物線于點E，交x軸于點F．設點P的橫坐標為m．
（1）求點A，B，C的坐標，并直接寫出直線BC的函數(shù)解析式．
（2）若PF＝2PE，求m的值．
【解答】解：（1）當y＝0時，x2﹣3x﹣4＝0，
解得x＝4或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
當x＝0時，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
設直線BC的解析式為y＝kx﹣4，
將點B代入可得4k﹣4＝0，
解得k＝1，
∴直線BC的解析式為y＝x﹣4；
（2）∵點P的橫坐標為m，
∴P（m，m﹣4），則E（m，m2﹣3m﹣4），F(xiàn)（m，0），
∴PF＝4﹣m，PE＝﹣m2+4m，
∵PF＝2PE，
∴4﹣m＝2（﹣m2+4m），
解得m＝4（舍）或m＝；
3．如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，P是拋物線在第四象限上一個動點，設點P的橫坐標為m，過點P作x軸的垂線，交x軸于點E，交BC于點F
（1）用含m的代數(shù)式表示線段PF的長度，并求出其最大值；
（2）若EF：FP＝2：3，求點P的坐標．
【解答】解：（1）當x＝0時，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
當y＝0時，有x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
設直線BC的解析式為y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直線BC的解析式為y＝x﹣3．
∵點P的橫坐標為m，
∴P（m，m2﹣2m﹣3）．
當x＝m時，y＝m﹣3（0＜m＜3），
∴F（m，m﹣3）．
∴PF＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m．
∵PF＝﹣m2+3m＝﹣+，﹣1＜0，
∴PF＝﹣m2+3m（0＜m＜3），當m＝時，PF取最大值．
（2）∵F（m，m﹣3），F(xiàn)E⊥x軸，
∴EF＝﹣（m﹣3）＝3﹣m，
∵＝＝，
∴m＝，
此時點P的坐標為（，﹣）．
4．（2024秋?西崗區(qū)校級月考）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A的坐標為（﹣1，0），點C的坐標為（0，﹣3），連接BC．
（1）求該二次函數(shù)和直線BC的解析式；
（2）點P是拋物線在第四象限圖象上的任意一點，作PQ⊥x軸于點Q，交BC于點H，當PH的長度最大時，求點P的坐標；
【解答】解：（1）把（﹣1，0）和（0，﹣3）代入得：
，
解得，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣x﹣3，
當y＝0，即x2﹣x﹣3＝0；
解得：x1＝﹣1，x2＝6，
∴點B的坐標為（6，0），
設直線BC的解析式為y＝mx+n，代入得：
，
解得，
∴直線BC的解析式為y＝﹣3；
（2）由（1）知直線BC的解析式為y＝﹣3；
設P（m，m2﹣m﹣3），
∵PQ⊥x軸于點Q，交BC于點H，
∴H（m，m﹣3），
∴PH＝m﹣3﹣m2+m+3＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣3）2+，
∵＜0，
∴當m＝3時，PH的長度最大，
∴P（3，﹣6）；
例2．（2024?重慶模擬）如圖，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于點A（﹣3，0），點B（1，0）交y軸于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，連接AC，BC，點P為線段AC下方拋物線上一動點，過點P作PQ∥y軸交AC于點Q，過點Q作QH∥x軸交BC于點H，求的最大值以及點P的坐標；
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【專題】代數(shù)幾何綜合題；壓軸題；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；等腰三角形與直角三角形；解直角三角形及其應用；運算能力；應用意識．
【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）利用待定系數(shù)法分別求得：直線AC的解析式為y＝﹣x﹣3，直線BC的解析式為y＝3x﹣3，設P（t，t2+2t﹣3），則Q（t，﹣t﹣3），H（﹣t，﹣t﹣3），進而可得PQ+QH＝﹣（t+2）2+4，運用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案；
（3）將二次函數(shù)沿射線AC平移一定的單位長度，相當于向右平移m個單位，向下平移m個單位，可設新拋物線的解析式為y＝（x+1﹣m）2﹣4﹣m，將點（1，﹣4）代入求得m＝1或4，當m＝1時，新拋物線的解析式為y＝x2﹣5，則C′（1，﹣4），在x軸上取點L（﹣1，0），連接C′L交新拋物線于點G，過點L作LJ⊥AC于J，則∠AC'G＝∠OCB，運用待定系數(shù)法求得直線C′L的解析式為y＝﹣2x﹣2，聯(lián)立即可求得點G的橫坐標；在y軸上取點S（0，﹣），連接C′S交新拋物線于點G，過點S作ST⊥AC于點T，則∠AC'G＝∠OCB，運用待定系數(shù)法求得直線C′S的解析式，同理可得點G的橫坐標；當m＝4時，同理可求得點G的橫坐標．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c交x軸于點A（﹣3，0），點B（1，0），
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；
（2）∵拋物線y＝x2+2x﹣3交y軸于點C，
∴C（0，﹣3），
設直線AC的解析式為y＝kx+d，將A（﹣3，0），C（0，﹣3）分別代入得：，
解得：，
∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣3，
同理可得：直線BC的解析式為y＝3x﹣3，
設P（t，t2+2t﹣3），則Q（t，﹣t﹣3），
∴PQ＝﹣t﹣3﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣3t，
∵QH∥x軸，
∴點H的縱坐標為﹣t﹣3，代入y＝3x﹣3，
得﹣t﹣3＝3x﹣3，
解得：x＝﹣t，
∴H（﹣t，﹣t﹣3），
∴QH＝﹣t﹣t＝﹣t，
∴PQ+QH＝﹣t2﹣3t+×（﹣t）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴當t＝﹣2時，PQ+QH取得最大值4，此時，點P的坐標為（﹣2，﹣3）；
對應練習：
1．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點A坐標為（﹣1，0），點B坐標為（3，0）．
（1）求此拋物線的函數(shù)解析式．
（2）點P是直線BC上方拋物線上一個動點，過點P作x軸的垂線交直線BC于點D，過點P作y軸的垂線，垂足為點E，請?zhí)骄?PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此時P點的坐標；若沒有最大值，請說明理由．
【解答】解：（1）∵拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點A坐標為 （﹣1，0），點B坐標為（3，0），
∴．
（2）當x＝0時，，
∴C（0，2），
設直線BC為y＝kx+2，
∴3k+2＝0，
解得，
∴直線BC為，
設，
∴，
∴2PD+PE＝＝，
當時，有最大值，
此時．
二、斜線段
例3．（2024?江漢區(qū)校級模擬）已知拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且AB＝8．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，點D為拋物線在第四象限的一點，連AD交線段BC于點E，且AE＝6ED，求點D的坐標；
【解答】（1）解：令y＝（x﹣1）2﹣m＝0，
化簡得：（x﹣1）2＝m2，
解得：x1＝1﹣m，x2＝1+m，
∴A（1﹣m，0），B（1+m，0），
∴AB＝（1+m）﹣（1﹣m）＝2m＝8，
解得：m＝4，
∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣x﹣，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣；
（2）解：如圖1，過點D作DF∥x軸交直線BC于點F，
在y＝x2﹣x﹣中，令x＝0，得y＝﹣，
∴C（0，﹣），
令y＝0，得x2﹣x﹣＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝5，
∴A（﹣3，0），B（5，0），
∴AB＝5﹣（﹣3）＝8，
設直線BC的解析式為y＝kx+b，將B、C的坐標代入得：
，
解得：，
∴直線BC的解析式為y＝x﹣，
設D（t，t2﹣t﹣），
∵DF∥x軸，
∴點F的縱坐標為t2﹣t﹣，
則t2﹣t﹣＝x﹣，
解得：x＝t2﹣t，
∴F（t2﹣t，t2﹣t﹣），
∴DF＝t﹣（t2﹣t）＝﹣t2+t，
∵DF∥AB，AE＝6ED，
∴△DEF∽△AEB，
∴＝＝，
∴DF＝AB，
即﹣t2+t＝×8，
解得：t1＝1，t2＝4，
當t＝1時，t2﹣t﹣＝﹣﹣＝﹣4，
當t＝4時，t2﹣t﹣＝×42﹣×4﹣＝﹣，
∴點D的坐標為（1，﹣4）或（4，﹣）；
對應練習：
1．（2024?綏化三模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B兩點，頂點坐標為（1，﹣4）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）直線BC與OD相交于點E，當D為拋物線上第四象限內(nèi)一點且時，求點D的坐標；
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），（1，﹣4）代入y＝ax2+bx﹣3，
得，
解得，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如圖，過點D作DF⊥x軸，垂足為F，交CB于點P，
當y＝x2﹣2x﹣3＝0時，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
∴B（3，0），
當x＝0時，得y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
設直線BC解析式為y＝mx+n，
代入B（3，0），C（0，﹣3），
得，
解得，
∴直線BC解析式為y＝x﹣3，
設D（t，t2﹣2t﹣3），則P（t，t﹣3），
∴DP＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t，
∵DF∥OC，
∴△DEP∽△OEC，
∴，
∴，
解得t＝1或t＝2，
∴D（1，﹣4）或（2，﹣3）；
2．（2024?達州模擬）如圖，拋物線（m為常數(shù)）與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），OA＝1，經(jīng)過點A的一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象與y軸正半軸交于點C，且與拋物線的另一個交點為D，點D的坐標為．
（1）求拋物線和一次函數(shù)的解析式；
（2）拋物線上的動點E在一次函數(shù)的圖象下方，求△ACE面積的最大值，并求出此時點E的坐標；
（3）若點P為x軸上任意一點；在（2）的結(jié)論下，當?shù)闹底钚r，請直接寫出點P的坐標和此時的最小值．
【解答】解：（1）∵OA＝1，
∴A（﹣1，0）
∵拋物線和一次函數(shù)y＝kx+b的圖象都經(jīng)過點A、D
∴，，
解得：，，
∴拋物線解析式為：，一次函數(shù)解析式為：，
（2）如圖1，過E作EM⊥x軸，交x軸于點F，交AD于點M，
設，則，
∴，
AF＝a+1，
∴S△ACE＝S△AME﹣S△MCE
＝
＝
＝，
＝
＝，
∴當時，△ACE面積最大，最大值為，
此時，即點；
（3）如圖2，過E作EM⊥x軸，交x軸于點F，交AD于點M，過P作PG⊥AD于點G，
由（2）可知：，
∴，
∴，
由得：當x＝0時，，
∴，
則有，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：，
∴，
∴在Rt△AGP中，，
則當點G，P，E三點共線時有最小值GE，
由（1）得：A（﹣1，0），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值為，
∵，
∴，
∵∠EFP＝∠EGM＝90°，∠FEP＝∠GEM，
∴△EFP∽△EGM，
∴，
∴，
∴，
∴點．
1.橫線段
∵AB//x軸
∴AB=|xA-xB|
2.豎線段
∵AB//y軸
∴AB=|yA-yB|
1.勾股轉(zhuǎn)化：
2.特殊角轉(zhuǎn)化：
∵∠OBC=45°
∴
3.相似三角形轉(zhuǎn)化：
∵DF∥OC，
∴△DEP∽△OEC，
∴

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