對(duì)應(yīng)練習(xí)：
1．（2024?青島）5月中旬，櫻桃相繼成熟，果農(nóng)們迎來(lái)了繁忙的采摘銷售季．為了解櫻桃的收益情況，從第1天銷售開始，小明對(duì)自己家的兩處櫻桃園連續(xù)15天的銷售情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)與分析：
A櫻桃園：
第x天的單價(jià)、銷售量與x的關(guān)系如表：
第x天的單價(jià)與x近似地滿足一次函數(shù)關(guān)系，已知每天的固定成本為745元．
B櫻桃園：
第x天的利潤(rùn)y2（元）與x的關(guān)系可以近似地用二次函數(shù)y2＝ax2+bx+25刻畫，其圖象如圖：
（1）A櫻桃園第x天的單價(jià)是 元/盒（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）求A櫻桃園第x天的利潤(rùn)y1（元）與x的函數(shù)關(guān)系式；（利潤(rùn)＝單價(jià)×銷售量﹣固定成本）
（3）①y2與x的函數(shù)關(guān)系式是 ；
②求第幾天兩處櫻桃園的利潤(rùn)之和（即y1+y2）最大，最大是多少元？
（4）這15天中，共有 天B櫻桃園的利潤(rùn)y2比A櫻桃園的利潤(rùn)y1大．
2．（2024?鹽城）請(qǐng)根據(jù)以下素材，完成探究任務(wù)．
3．（2024?鄞州區(qū)校級(jí)一模）根據(jù)下列素材，探索完成任務(wù)．
4.（2024?山西）綜合與實(shí)踐
問題情境：如圖1，矩形MNKL是學(xué)校花園的示意圖，其中一個(gè)花壇的輪廓可近似看成由拋物線的一部分與線段AB組成的封閉圖形，點(diǎn)A，B在矩形的邊MN上．現(xiàn)要對(duì)該花壇內(nèi)種植區(qū)域進(jìn)行劃分，以種植不同花卉，學(xué)校面向全體同學(xué)征集設(shè)計(jì)方案．
方案設(shè)計(jì)：如圖2，AB＝6米，AB的垂直平分線與拋物線交于點(diǎn)P，與AB交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn)，且PO＝9米．欣欣設(shè)計(jì)的方案如下：
第一步：在線段OP上確定點(diǎn)C，使∠ACB＝90°，用籬笆沿線段AC，BC分隔出△ABC區(qū)域，種植串串紅；
第二步：在線段CP上取點(diǎn)F（不與C，P重合），過點(diǎn)F作AB的平行線，交拋物線于點(diǎn)D，E．用籬笆沿DE，CF將線段AC，BC與拋物線圍成的區(qū)域分隔成三部分，分別種植不同花色的月季．
方案實(shí)施：學(xué)校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC區(qū)域的分隔后，發(fā)現(xiàn)僅剩6米籬笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需確定DE與CF的長(zhǎng)．為此，欣欣在圖2中以AB所在直線為x軸，OP所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．請(qǐng)按照她的方法解決問題：
（1）在圖2中畫出坐標(biāo)系，并求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求6米材料恰好用完時(shí)DE與CF的長(zhǎng)；
（3）種植區(qū)域分隔完成后，欣欣又想用燈帶對(duì)該花壇進(jìn)行裝飾，計(jì)劃將燈帶圍成一個(gè)矩形．她嘗試借助圖2設(shè)計(jì)矩形四個(gè)頂點(diǎn)的位置，其中兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在線段AC，BC上．直接寫出符合設(shè)計(jì)要求的矩形周長(zhǎng)的最大值．
5．（2024?深圳）在綜合實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)探究小組用兩個(gè)互相垂直的直尺制作了一個(gè)“T”形尺，并用它對(duì)二次函數(shù)圖象的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行研究．
把“T”形尺按圖1擺放，水平寬AB的中點(diǎn)為C，圖象的頂點(diǎn)為D，測(cè)得AB為m厘米時(shí)，CD為n厘米．
【猜想】
（1）探究小組先對(duì)y＝x2的圖象進(jìn)行多次測(cè)量，測(cè)得m與n的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：
描點(diǎn)：以表中各組對(duì)應(yīng)值為點(diǎn)的坐標(biāo)，在圖2的直角坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)．
連線：用光滑的曲線順次連接各點(diǎn)．
猜想：n與m的關(guān)系式是
【驗(yàn)證】
（2）探究小組又對(duì)多個(gè)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行了測(cè)量研究，發(fā)現(xiàn)測(cè)得的n與m也存在類似的關(guān)系式，并針對(duì)二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）的情況進(jìn)行了推理驗(yàn)證．請(qǐng)從下表中任選一種方法（在“□”內(nèi)打“√”）并補(bǔ)全其推理過程；（根據(jù)需要，選用字母a，m，n，h，k表示答案）
【應(yīng)用】
（3）已知AB∥x軸且AB＝4，兩個(gè)二次函數(shù)y＝2（x﹣h）2+k和y＝a（x﹣h）2+d的圖象都經(jīng)過A，B兩點(diǎn)．當(dāng)兩個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)之間的距離為10時(shí)，求a的值．
6.（2024?福田區(qū)二模）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
7．根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
如何探測(cè)彈射飛機(jī)的軌道設(shè)計(jì)
素材1：圖1是某科技興趣小組的同學(xué)們制做出的一款彈射飛機(jī)，為驗(yàn)證飛機(jī)的一些性能，通過測(cè)試收集發(fā)現(xiàn)飛機(jī)相對(duì)于出發(fā)點(diǎn)的飛行水平距離x（單位：m）隨飛行時(shí)間t（單位：s）的變化滿足一次函數(shù)關(guān)系；飛行高度y（單位：m）隨飛行時(shí)間t（單位：s）的變化滿足二次函數(shù)關(guān)系．?dāng)?shù)據(jù)如下表所示．
素材2：圖2是興趣小組同學(xué)在室內(nèi)操場(chǎng)的水平地面上設(shè)置一個(gè)高度可以變化的發(fā)射平臺(tái)PQ，當(dāng)彈射口高度變化時(shí)，飛機(jī)飛行的軌跡可視為拋物線上下平移得到，線段AB為飛機(jī)回收區(qū)域，已知AP＝88m．AB＝8m．
問題解決：
任務(wù)1：確定函數(shù)表達(dá)式．
①直接寫出x關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式： ．
②求出y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式．
任務(wù)2：探究飛行距離．當(dāng)飛機(jī)落地（高度為0m）時(shí)，求飛行的水平距離．
任務(wù)3：確定彈射口高度h．當(dāng)飛機(jī)落到回收區(qū)域AB內(nèi)（不包括端點(diǎn)A，B）時(shí)，請(qǐng)寫出發(fā)射臺(tái)PQ彈射口高度h的變化范圍： ．
8．【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】
項(xiàng)目主題：設(shè)計(jì)落地窗的遮陽(yáng)篷．
項(xiàng)目背景：小明家的窗戶朝南，窗戶的高度AB＝2m，為了遮擋太陽(yáng)光，小明做了以下遮陽(yáng)蓬的設(shè)計(jì)方案，請(qǐng)根據(jù)不同設(shè)計(jì)方案完成以下任務(wù)．
方案1：直角形遮陽(yáng)篷
如圖1，小明設(shè)計(jì)的第一個(gè)方案為直角形遮陽(yáng)篷BCD，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上CD⊥AC．
（1）若BC＝0.5m，CD＝1m，則支撐桿BD＝ m．
（2）小明發(fā)現(xiàn)上述方案不能很好發(fā)揮遮陽(yáng)作用，如圖2，他觀察到此地一年中的正午時(shí)刻，太陽(yáng)光與地平面的最小夾角為α，最大夾角為β．小明查閱資料，計(jì)算出，，為了讓遮陽(yáng)篷既能最大限度地使冬天溫暖的陽(yáng)光射入室內(nèi)（太陽(yáng)光與BD平行），又能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽(yáng)光（太陽(yáng)光與AD平行）．請(qǐng)求出圖2中BC，CD的長(zhǎng)度．
方案2：拋物線形遮陽(yáng)篷
（3）如圖3，為了美觀及實(shí)用性，小明在（2）的基礎(chǔ)上將CD邊改為拋物線形可伸縮的遮陽(yáng)篷（F為拋物線的頂點(diǎn)，DF段可伸縮），且∠CFD＝90°，BC，CD的長(zhǎng)保持不變．若以C為原點(diǎn)，CD方向?yàn)閤軸，BC方向?yàn)閥軸．
①求該二次函數(shù)的表達(dá)式．
②若某時(shí)刻太陽(yáng)光與水平地面夾角θ的正切值，使陽(yáng)光最大限度地?cái)z入室內(nèi)，求遮陽(yáng)蓬點(diǎn)D上升的高度最小值（即點(diǎn)D′到CD的距離）．
素材1
一圓形噴泉池的中央安裝了一個(gè)噴水裝置OA，通過調(diào)節(jié)噴水裝置OA的高度，從而實(shí)現(xiàn)噴出水柱豎直方向的升降，但不改變水柱的形狀．為了美觀在半徑為2.1米的噴泉池四周種植了一圈寬度均相等的花卉（圖1中的陰影部分）．
素材2
從噴泉口A噴出的水柱成拋物線形，如圖2是該噴泉噴水時(shí)的一個(gè)截面示意圖，已知噴水口A離地面高度為0.72米，噴出的水柱在離噴水口水平距離為0.3米處離地面最高，高度為0.75米．
問題解決
任務(wù)1
建立模型
以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)素材2求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
任務(wù)2
利用模型
為了提高對(duì)水資源的利用率，在欣賞噴泉之余也能噴灌四周的花卉，確定噴水口A升高的最小值．
任務(wù)3
分析計(jì)算
噴泉口A升高的最大值為米，為能充分噴灌四周花卉，請(qǐng)對(duì)花卉的種植寬度提出合理的建議．
單價(jià)（元/盒）
銷售量（盒）
第1天
50
20
第2天
48
30
第3天
46
40
第4天
44
50
…
…
…
第x天
10x+10
制定加工方案
生產(chǎn)背景
背景1
◆某民族服裝廠安排70名工人加工一批夏季服裝，有“風(fēng)”“雅”“正”三種樣式．
◆因工藝需要，每位工人每天可加工且只能加工“風(fēng)”服裝2件，或“雅”服裝1件，或“正”服裝1件．
◆要求全廠每天加工“雅”服裝至少10件，“正”服裝總件數(shù)和“風(fēng)”服裝相等．
背景2
每天加工的服裝都能銷售出去，扣除各種成本，服裝廠的獲利情況為：
①“風(fēng)”服裝：24元/件；
②“正”服裝：48元/件；
③“雅”服裝：當(dāng)每天加工10件時(shí)，每件獲利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件獲利將減少2元．
信息整理
現(xiàn)安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風(fēng)”服裝，列表如下：
服裝種類
加工人數(shù)（人）
每人每天加工量（件）
平均每件獲利（元）
風(fēng)
y
2
24
雅
x
1
正
1
48
探究任務(wù)
任務(wù)1
探尋變量關(guān)系
求x、y之間的數(shù)量關(guān)系．
任務(wù)2
建立數(shù)學(xué)模型
設(shè)該工廠每天的總利潤(rùn)為w元，求w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．
任務(wù)3
擬定加工方案
制定使每天總利潤(rùn)最大的加工方案．
如何設(shè)計(jì)跳繩的方案
素材1
參加跳長(zhǎng)繩比賽時(shí)，各隊(duì)跳繩6人，搖繩2人，共計(jì)8人，他們?cè)谕黄矫鎯?nèi)站成一路縱隊(duì)．圖2是長(zhǎng)繩甩到最高處時(shí)的示意圖，可以近似的看作一條拋物線．搖繩的兩名隊(duì)員水平間距AB為5米，他們的手到地面的高度AC＝BD＝1米，繩子最高點(diǎn)距離地面2米．

素材2
某隊(duì)的6名跳繩隊(duì)員中，男女生各3名，男生身高均在1.70﹣1.80米，女生身高一人為1.7米高，兩人都為1.65米，為保證安全，跳繩隊(duì)員之間的距離至少0.5米．
問題解決
任務(wù)1
確定長(zhǎng)繩在最高點(diǎn)時(shí)的形狀
在圖2中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
任務(wù)2
探究站隊(duì)的方式
若將最高的男生站在搖繩隊(duì)員的中點(diǎn)，長(zhǎng)繩能否順利甩過所有隊(duì)員的頭頂？
任務(wù)3
設(shè)計(jì)位置方案
為了更順利的完成跳繩，現(xiàn)按中間高兩邊低的方式站隊(duì)，請(qǐng)?jiān)谀闼⒌淖鴺?biāo)系中，求出左邊第一位隊(duì)員橫坐標(biāo)的取值范圍．
m
0
2
3
4
5
6
…
n
0
1
2.25
4
6.25
9
…
□方法1
□方法2

如圖3，平移二次函數(shù)圖象，使得頂點(diǎn)D移到原點(diǎn)O的位置，則：
A'B'＝AB＝m，C'O＝CD＝n，
C'B＝，
所以點(diǎn)B′坐標(biāo)為 ；
將點(diǎn)B′坐標(biāo)代入y＝ax2，
得到n與m的關(guān)系式是 ．

如圖4，頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)加個(gè)單位，縱坐標(biāo)加n個(gè)單位得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，所以點(diǎn)B坐標(biāo)為 ；
將點(diǎn)B坐標(biāo)代入y＝a（x﹣h）2+k，
得到n與m的關(guān)系式是 ．
如何設(shè)計(jì)噴泉安全通道？
在拋物線形的噴泉水柱下設(shè)置一條安全的通道，可以讓兒童在任意時(shí)間穿過安全通道時(shí)不被水柱噴到（穿梭過程中人的高度變化忽略不計(jì)）．
素材1
圖1為音樂噴泉，噴頭的高度在垂直地面的方向上隨著音樂變化而上下移動(dòng)．不同高度的噴頭噴出來(lái)的水呈拋物線型或拋物線的一部分，但形狀相同，最高高度也相同，水落地點(diǎn)都在噴水管的右側(cè)．
素材2
圖2是當(dāng)噴水頭在地面上時(shí)（噴水頭最低），其拋物線形水柱的示意圖，水落地點(diǎn)離噴水口的距離為OM＝4m，水柱最高點(diǎn)離地面3m．圖3是某一時(shí)刻時(shí)，水柱形狀的示意圖．OA為噴水管，B為水的落地點(diǎn)，記OB長(zhǎng)度為噴泉跨度．
素材3
安全通道CD在線段OB上，若無(wú)論噴頭高度如何變化，水柱都不會(huì)進(jìn)入CD上方的矩形區(qū)域，則稱這個(gè)矩形區(qū)域CDEF為安全區(qū)域．
問題解決
任務(wù)1
確定噴泉形狀
在圖2中，以O(shè)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
任務(wù)2
確定噴泉跨度的最小值
若噴水管OA最高可伸長(zhǎng)到2.25m，求出噴泉跨度OB的最小值．
任務(wù)3
設(shè)計(jì)通道位置及兒童的身高上限
現(xiàn)在需要一條寬為2m的安全通道CD，為了確保進(jìn)入安全通道CD上的任何人都能在安全區(qū)域內(nèi)，則能夠進(jìn)入該安全通道的人的最大身高為多少？（精確到0.1m）
飛行時(shí)間t/s
0
2
4
6
8
…
飛行的水平距離x/m
0
8
16
24
32
…
飛行高度y/m
0
18
32
42
48
…

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