★二次函數(shù)最值求解方法★
★二次函數(shù)區(qū)間最值問題分析★
★求解步驟★
①確定頂點坐標：通過公式計算得到頂點坐標(h, k)。
②判斷函數(shù)開口方向：根據(jù)a的正負確定。
③分析區(qū)間與對稱軸的關(guān)系：
1.定軸定區(qū)間：直接利用單調(diào)性或數(shù)形結(jié)合求最值。
2.定軸動區(qū)間：分類討論區(qū)間與對稱軸的位置關(guān)系，考慮單調(diào)性求最值。
3.動軸定區(qū)間：同樣需要分類討論，考慮軸是否穿過區(qū)間及單調(diào)性。
④計算最值：結(jié)合上述分析，確定區(qū)間上的最大值和最小值。
一、定軸定區(qū)間
例1．（2024?溫州模擬）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x+k，當﹣3≤x≤2時，y的最大值為9，則k的值為 ﹣6 ．
【解答】解：由題意，∵y＝x2﹣2x+k＝x2﹣2x+1+k﹣1＝（x﹣1）2+k﹣1，
∴拋物線的對稱軸是直線x＝1．
又∵﹣3≤x≤2，拋物線開口向上，
∴當x＝﹣3時，y取最大值，最大值y＝16+k﹣1＝15+k．
又此時y的最大值為9，
∴15+k＝9．
∴k＝﹣6．
故答案為：﹣6．
對應(yīng)練習(xí)：
1．（2024?東河區(qū)二模）二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣2中，當3≤x≤4時，y的最小值是 1 ．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，
∴當x＞1時，y隨x的增大而增大，
∵3≤x≤4，
∴當x＝3時，y取得最小值1，
故答案為：1．
2．（2024?肥城市一模）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣7，當﹣2≤x≤3時，函數(shù)的最大值為 5 ．
【解答】解：由二次函數(shù)的表達式為y＝x2﹣4x﹣7可知，
拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝2，
又2﹣（﹣2）＞3﹣2，
所以當x＝﹣2時，函數(shù)取得最大值，
y＝（﹣2）2﹣4×（﹣2）﹣7＝5．
故答案為：5．
3．（2024秋?武昌區(qū)期中）已知二次函數(shù)y＝ax2+4ax+3a在﹣3≤x≤1時有最大值3，則a的值為 或﹣3 ．
【解答】解：y＝ax2+4ax+3a＝a（x+2）2﹣a，
∵二次函數(shù)在﹣3≤x≤1時有最大值3，
①當a＞0 時，開口向上，
∴當x＝1時，y有最大值8a，
∴8a＝3，
∴a＝；
②當a＜0 時，開口向下，
∴當x＝﹣2時，y有最大值﹣a，
∴﹣a＝3，
∴a＝﹣3，
綜上，a＝或a＝﹣3．
故答案為：或﹣3．
4.（2024?鹿城區(qū)校級三模）已知二次函數(shù)y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），當﹣1≤x≤4時，y的最小值為﹣4，則a的值為（ ）
A．或4B．4或C．或4D．或
【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的對稱軸為直線x＝1，
頂點坐標為（1，﹣a），
當a＞0時，在﹣1≤x≤4，函數(shù)有最小值﹣a，
∵y的最小值為﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
當a＜0時，在﹣1≤x≤4，當x＝4時，函數(shù)有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a＝﹣；
綜上所述：a的值為4或﹣，
故選：B．
5．（2024秋?姑蘇區(qū)校級月考）已知二次函數(shù)y＝ax2+4ax+3a（a為常數(shù)）．
（1）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，3），則a＝ ．
（2）在（1）的條件下，當﹣1≤x≤2時，則y的取值范圍是 0≤y≤3 ．
（3）若二次函數(shù)在﹣3≤x≤1時有最大值8，求a的值．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，3），
∴3＝4a+8a+3a，
∴a＝，
故答案為：；
（2）由（1）知：該二次函數(shù)y的表達式為y＝x2+x+．
∵y＝x2+x+＝（x+2）2﹣，
∴拋物線開口向上，頂點為（﹣2，﹣），
∴x＝﹣1時，y＝（﹣1+2）2﹣＝0，
當x＝2時，y＝（2+2）2﹣＝3，
∴當﹣1≤x≤2時，y的取值范圍是：0≤y≤3．
故答案為：0≤y≤3；
（3）∵y＝ax2+4ax+3a＝a（x+2）2﹣a，
∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣2，
∵二次函數(shù)在﹣3≤x≤1時有最大值8，
∴x＝1時，y＝8或﹣a＝8，
∴a+4a+3a＝8，
∴a＝1或a＝﹣8．
∴a的值是1或﹣8．
6．已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+b（a≠0）．
（1）若a＜0，當﹣4≤x≤2時，y的最小值為﹣21，y的最大值為4，求a+b的值；
（2）若該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（1，0）和B（2，3），當m﹣2≤x≤m時，y的最大值與最小值的差8，求m的值．
【解答】解：（1）∵a＜0，對稱軸x＝﹣＝1，﹣4≤x≤2，
∴當x＝﹣4時，y有最小值，
當x＝1時，y有最大值，
即，
解得：，
∴a+b＝﹣1+3＝2；
（2）由題意可知，
，
解得：，
則二次函數(shù)的表達式為y＝3x2﹣6x+3＝3（x﹣1）2，
則對稱軸x＝1，頂點坐標為（1，0），
∵m﹣2≤x≤m，
∴①當m﹣2≤x≤m在對稱軸的左側(cè)時，即m＜1時，
∵y的最大值與最小值的差8，
∴3（m﹣2﹣1）2﹣3（m﹣1）2＝8，
解得：m＝（舍去），
②當m﹣2≤x≤m在對稱軸的右側(cè)時，即m＞3時，
∵y的最大值與最小值的差8，
∴3（m﹣1）2﹣3（m﹣2﹣1）2＝8，
解得：m＝（舍去），
③當m﹣2≤x≤m在對稱軸的兩側(cè)時，即1＜m＜3時，
∵y的最大值與最小值的差8，
∴3（m﹣2﹣1）2﹣0＝8，或3（m﹣1）2﹣0＝8，
解得：m1＝3﹣，m2＝3+，（舍去），或m3＝1+，m4＝1﹣（舍去），
綜上所述，m的值為3﹣或1+．
7．已知，二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）．
（1）若該圖象過點（3，6），求a的值；
（2）當0≤x≤3時，y的最大值是，求a的值；
（3）當a＞0時，若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）在函數(shù)圖象上，且y2＜y1＜y3，求m的取值范圍．
【解答】解：（1）把點（3，6）代入y＝ax2﹣2ax+3中，得6＝9a﹣6a+3，
∴解得a＝1．
（2）拋物線的對稱軸為直線，
①當a＞0時，
∵當0≤x≤3時，y的最大值是，
∴當x＝3時，y＝，
∴把（3，）代入y＝ax2﹣2ax+3中，得a＝；
②當a＜0時，
∵當0≤x≤3時，y的最大值是，
∴當x＝1時，y＝，
∴把（1，）代入y＝ax2﹣2ax+3中，得a＝﹣；
∴綜上所述，a的值為或﹣；
（3）y＝ax2﹣2ax+3＝a（x﹣1）2﹣a+3，
∴二次函數(shù)對稱軸為直線x＝1，
∵當a＞0時，
∴當x＜1時，y隨x的增大而減小，x＞1時，y隨x的增大而增大，
∵m＜m+1＜m+3，且y2＜y1＜y3，
∴點C距離對稱軸最遠，點B距離對稱軸最近，
∴，
解得：﹣＜m＜．
∴m的取值范圍為﹣＜m＜．
二、定軸動區(qū)間
例2（2024?陽春市二模）已知二次函數(shù)y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a時，y取得的最大值為15，則a的值為 4 ．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，
∴拋物線的對稱軸為x＝1，頂點（1，﹣3），
∴當y＝﹣3時，x＝1，
當y＝15時，2（x﹣1）2﹣3＝15，
解得x＝4或x＝﹣2，
∵當0≤x≤a時，y的最大值為15，
∴a＝4，
故答案為：4．
對應(yīng)練習(xí)：
1．（2024秋?濱海新區(qū)期中）二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+5，當m≤x≤n且m＜0時，y的最小值為5m，最大值為5n，則m+n的值為（ ）
A．0B．﹣3C．﹣1D．﹣2
【解答】解：y＝﹣（x﹣1）2+5，頂點坐標（1，5），開口向下，對稱軸x＝1，
①當m＜0，n≤1時，x＝n時，y取最大值，
即﹣（n﹣1）2+5＝5n，
解得n＝1或n＝﹣4（舍），
x＝m時，y取最小值，
即﹣（m﹣1）2+5＝5m，
解得m＝1（舍去）或m＝﹣4，
∴m+n＝﹣3，
②當m＜0，n＞1時，
y＝5n＝5，n＝1（舍去），
∴m+n＝﹣3，
故選：B．
2．（2024?廣東模擬）當a≤x≤a+1時，函數(shù)y＝x2﹣2x+1的最小值為1，則a的值為 2或﹣1 ．
【解答】解：當y＝1時，有x2﹣2x+1＝1，
解得：x1＝0，x2＝2．
∵當a≤x≤a+1時，函數(shù)有最小值1，
∴a＝2或a+1＝0，
∴a＝2或a＝﹣1，
故答案為：2或﹣1．
3．在平面直角坐標系中，已知拋物線C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）
（1）當a＝﹣1，二次函數(shù)y＝ax2+2x﹣1的自變量x滿足m≤x≤m+2時，函數(shù)y的最大值為﹣4，求m的值；
（2）已知點A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1），若拋物線C與直線AB有兩個不同的交點，請直接寫出a的取值范圍．
【解答】解：（1）根據(jù)題意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，
∵a＜0，
∴拋物線開口向下，對稱軸x＝1，
∵m≤x≤m+2時，y有最大值﹣4，
∴當y＝﹣4時，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，
∴x＝﹣1或x＝3，
①在x＝1左側(cè)，y隨x的增大而增大，
∴x＝m+2＝﹣1時，y有最大值﹣4，
∴m＝﹣3；
②在對稱軸x＝1右側(cè)，y隨x最大而減小，
∴x＝m＝3時，y有最大值﹣4；
綜上所述：m＝﹣3或m＝3；
（2）由點A、B的坐標得，直線AB的解析式為y＝x﹣，
拋物線與直線聯(lián)立：ax2+2x﹣1＝x﹣，
∴ax2+x+＝0，
△＝﹣2a＞0，
∴a＜，
∴a＜且a≠0．
4．（2024?湖北）在平面直角坐標系中，已知拋物線C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直線l：y＝kx+b，點A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直線l上．
（1）若拋物線C與直線l有交點，求a的取值范圍；
（2）當a＝﹣1，二次函數(shù)y＝ax2+2x﹣1的自變量x滿足m≤x≤m+2時，函數(shù)y的最大值為﹣4，求m的值；
（3）若拋物線C與線段AB有兩個不同的交點，請直接寫出a的取值范圍．
【解答】解：（1）點A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）代入y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣；
聯(lián)立y＝ax2+2x﹣1與y＝x﹣，則有2ax2+3x+1＝0，
∵拋物線C與直線l有交點，
∴Δ＝9﹣8a≥0，
∴a≤且a≠0；
（2）根據(jù)題意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，
∵a＜0，
∴拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝1，
∵m≤x≤m+2時，y有最大值﹣4，
∴當y＝﹣4時，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，
∴x＝﹣1或x＝3，
①在對稱軸直線x＝1左側(cè)，y隨x的增大而增大，
∴x＝m+2＝﹣1時，y有最大值﹣4，
∴m＝﹣3；
②在對稱軸直線x＝1右側(cè)，y隨x增大而減小，
∴x＝m＝3時，y有最大值﹣4；
綜上所述：m＝﹣3或m＝3；
（3）①a＜0時，x＝1時，y≤﹣1，
即a≤﹣2；
②a＞0時，x＝﹣3時，y≥﹣3，
即a≥，
直線AB的解析式為y＝x﹣，
拋物線與直線聯(lián)立：ax2+2x﹣1＝x﹣，
∴ax2+x+＝0，
Δ＝﹣2a＞0，
∴a＜，
∴a的取值范圍為≤a＜或a≤﹣2；
5．（2023?蓮都區(qū)一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3a（a，b是常數(shù)，a≠0），它的圖象過點（1，1）．
（1）用含a的代數(shù)式表示b；
（2）若a＝﹣1，此二次函數(shù)的自變量x滿足m≤x≤m+2時，函數(shù)y的最大值為3，求m的值；
（3）若該函數(shù)圖象的頂點在第二象限，當a＜b時，求a+2b的取值范圍．
【解答】解：（1）將（1，1）代入函數(shù)表達式得1＝a+b﹣3a，
∴b＝2a+1．
（2）∵a＝﹣1，
∴b＝2a+1＝﹣1，
∴y＝﹣x2﹣x+3，
∵a＝﹣1＜0，
∴拋物線開口向下，對稱軸為：，
∵y有最大值為3，
∴當y＝3時，有﹣x2﹣x+3＝3，
解得：x1＝0，x2＝﹣1，
∵m≤x≤m+2，
又∵在的左側(cè)，y隨x的增大而增大，
∴當m+2＝﹣1時，y有最大值為3，
∴m＝﹣3．
∵在的右側(cè)，y隨x的增大而減小，
∴當m＝0時，y有最大值為3，
∴m＝0．
綜上所述，m＝﹣3或m＝0．
（3）∵a＜b，
∴a＜2a+1，
∴a＞﹣1，
∵二次函數(shù)為：y＝ax2+（2a+1）x﹣3a，
∴Δ＝（2a+1）2﹣4×a×（﹣3a）＝（2a+1）2+12a2＞0，
∴函數(shù)圖象與x軸有2個不同的交點，
∵圖象頂點在第二象限，
∴拋物線開口向下，即a＜0，
∴
∴，
∴，
∴，
∵a+2b＝a+2（2a+1）＝5a+2，
∴．
三.動軸定區(qū)間
例3 （2024?蔡甸區(qū)月考）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2﹣2ax+3，當1≤x≤3時，函數(shù)有最小值2a，則a的值為 1 ．
【解答】解：函數(shù)對稱軸為直線x＝﹣＝﹣＝a，
∵當1≤x≤3時，函數(shù)有最小值2a，
∴①a≤1時，x＝1函數(shù)取得最小值，1﹣2a+3＝2a，
解得a＝1，
②1≤a≤3時，x＝a函數(shù)取得最小值，a2﹣2a?a+3＝2a，
整理得，a2+2a﹣3＝0，
解得a1＝1，a2＝﹣3（舍去）
③a≥3時，x＝3函數(shù)取得最小值，9﹣6a+3＝2a，
解得a＝（舍去），
綜上所述，a的值為1．
故答案為：1．
對應(yīng)練習(xí)：
1.已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2﹣2mx+m2﹣1．
（1）若M（m﹣1，y1），N（m+2，y2）兩點在該二次函數(shù)的圖象上，直接寫出y1與y2的大小關(guān)系；
（2）若將拋物線沿y軸翻折得到新拋物線，當﹣1≤x≤3時，新拋物線對應(yīng)的函數(shù)有最小值3，求m的值．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，
∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝m．
∵m﹣（m﹣1）＜m+2﹣m，
∴點M到拋物線距離小于點N到拋物線距離．
∴y1＜y2．
（2）∵拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，
∴沿y軸翻折后的函數(shù)解析式為y＝（x+m）2﹣1．
∴該拋物線的對稱軸為直線x＝﹣m．
①若﹣m＜﹣1，即m＞1，則當x＝﹣1時，y有最小值．
∴（﹣1+m）2﹣1＝3．
解得m1＝3，m2＝﹣1．
∵m＞1，
∴m＝3．
②若﹣1≤﹣m≤3，即﹣3≤m≤1，則當x＝﹣m時，y有最小值﹣1．
不合題意，舍去．
③若﹣m＞3，m＜﹣3，則當x＝3時，y有最小值．
∴（3+m）2﹣1＝3．
解得m1＝﹣1，m2＝﹣5．
∵m＜﹣3，
∴m＝﹣5．
綜上所述，m的值為3或﹣5．
2．函數(shù)y＝x2﹣2ax﹣2在﹣1≤x≤4有最小值﹣5，則實數(shù)a的值是 ﹣2或 ．
【解答】解：∵y＝x2﹣2ax﹣2，
∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣＝a，
當a≤﹣1時，則x＝﹣1時，函數(shù)有最小值﹣5，
∴此時y＝1+2a﹣2＝﹣5，解得a＝﹣2；
當a≥4時，則x＝4時，函數(shù)有最小值﹣5，
∴此時y＝16﹣8a﹣2＝﹣5，解得a＝（不合題意，舍去）；
當﹣1＜a＜4時，則x＝a時，函數(shù)有最小值﹣5，
∴此時y＝a2﹣2a2﹣2＝﹣5，
解得a1＝，a2＝﹣（舍去），
綜上，實數(shù)a的值是﹣2或，
故答案為：﹣2或．
3．（2024?拱墅區(qū)校級開學(xué)）0≤x≤1時，函數(shù)y＝x2﹣2ax+a的最小值為﹣2，則實數(shù)a的值為 ﹣2或3 ．
【解答】解：∵函數(shù)y＝x2﹣2ax+a，
∴對稱軸x＝a，
∵開口方向向上，
∴當x＞a時，y隨x增大而增大，當x＜a時，y隨x增大而減小，
①當a＜0時，x＝0時y有最小值，
∴0﹣0+a＝﹣2，
∴a＝﹣2；
②當a＞1時，x＝1時有最小值，
∴1﹣2a+a＝﹣2，
∴a＝3；
③當0≤a≤1時，x＝a有最小值，
∴a2﹣2a2+a＝﹣2，即a2﹣a﹣2＝0，
解得a＝2或﹣1，
∵0≤a≤1，
∴此種情況不存在a值滿足題意；
綜上，a的值為﹣2或3．
故答案為：﹣2或3．
4．（2021?江夏區(qū)校級自主招生）y＝x2+（1﹣a）x+1是關(guān)于x的二次函數(shù)，當x的取值范圍是﹣1≤x≤3時，y只在x＝﹣1時取得最大值，則實數(shù)a的取值范圍是 a＞3 ．
【解答】解：∵﹣1≤x≤3時，y只在x＝﹣1時取得最大值，
∴﹣＞，
解得a＞3．
故答案為：a＞3．
方法名稱
描述
適用范圍
頂點法
通過求二次函數(shù)的頂點得到最值
所有二次函數(shù)
公式法
直接代入公式求解
已知二次函數(shù)一般式
配方法
將二次函數(shù)化為頂點式求解
可配方的二次函數(shù)
對稱軸法
根據(jù)對稱軸和定義域判斷最值
定義域在對稱軸兩側(cè)或包含對稱軸
區(qū)間位置
對稱軸位置
最值判斷
求解方法
區(qū)間內(nèi)
對稱軸在區(qū)間內(nèi)
頂點為最值點
頂點法或公式法
區(qū)間外
對稱軸在區(qū)間外
端點為最值點
比較區(qū)間端點函數(shù)值
包含對稱軸
區(qū)間包含對稱軸
頂點為最值點之一，另一端點可能也為最值點
分別計算頂點和端點函數(shù)值
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專題5二次函數(shù)與面積最值定值問題-（學(xué)生版）-拔尖2023中考數(shù)學(xué)壓軸題突破（全國通用）

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