★二次函數(shù)最值求解方法★
★二次函數(shù)區(qū)間最值問(wèn)題分析★
★求解步驟★
①確定頂點(diǎn)坐標(biāo)：通過(guò)公式計(jì)算得到頂點(diǎn)坐標(biāo)(h, k)。
②判斷函數(shù)開(kāi)口方向：根據(jù)a的正負(fù)確定。
③分析區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系：
1.定軸定區(qū)間：直接利用單調(diào)性或數(shù)形結(jié)合求最值。
2.定軸動(dòng)區(qū)間：分類討論區(qū)間與對(duì)稱軸的位置關(guān)系，考慮單調(diào)性求最值。
3.動(dòng)軸定區(qū)間：同樣需要分類討論，考慮軸是否穿過(guò)區(qū)間及單調(diào)性。
④計(jì)算最值：結(jié)合上述分析，確定區(qū)間上的最大值和最小值。
一、定軸定區(qū)間
例1．（2024?溫州模擬）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x+k，當(dāng)﹣3≤x≤2時(shí)，y的最大值為9，則k的值為 ．
對(duì)應(yīng)練習(xí)：
1．（2024?東河區(qū)二模）二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣2中，當(dāng)3≤x≤4時(shí)，y的最小值是 ．
2．（2024?肥城市一模）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣7，當(dāng)﹣2≤x≤3時(shí)，函數(shù)的最大值為 ．
3．（2024秋?武昌區(qū)期中）已知二次函數(shù)y＝ax2+4ax+3a在﹣3≤x≤1時(shí)有最大值3，則a的值為 ．
4.（2024?鹿城區(qū)校級(jí)三模）已知二次函數(shù)y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），當(dāng)﹣1≤x≤4時(shí)，y的最小值為﹣4，則a的值為（ ）
A．或4B．4或C．或4D．或
5．（2024秋?姑蘇區(qū)校級(jí)月考）已知二次函數(shù)y＝ax2+4ax+3a（a為常數(shù)）．
（1）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3），則a＝ ．
（2）在（1）的條件下，當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，則y的取值范圍是 ．
（3）若二次函數(shù)在﹣3≤x≤1時(shí)有最大值8，求a的值．
6．已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+b（a≠0）．
（1）若a＜0，當(dāng)﹣4≤x≤2時(shí)，y的最小值為﹣21，y的最大值為4，求a+b的值；
（2）若該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和B（2，3），當(dāng)m﹣2≤x≤m時(shí)，y的最大值與最小值的差8，求m的值．
7．已知，二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）．
（1）若該圖象過(guò)點(diǎn)（3，6），求a的值；
（2）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y的最大值是，求a的值；
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）在函數(shù)圖象上，且y2＜y1＜y3，求m的取值范圍．
二、定軸動(dòng)區(qū)間
例2（2024?陽(yáng)春市二模）已知二次函數(shù)y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a時(shí)，y取得的最大值為15，則a的值為 ．
對(duì)應(yīng)練習(xí)：
1．（2024秋?濱海新區(qū)期中）二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+5，當(dāng)m≤x≤n且m＜0時(shí)，y的最小值為5m，最大值為5n，則m+n的值為（ ）
A．0B．﹣3C．﹣1D．﹣2
2．（2024?廣東模擬）當(dāng)a≤x≤a+1時(shí)，函數(shù)y＝x2﹣2x+1的最小值為1，則a的值為 ．
3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）
（1）當(dāng)a＝﹣1，二次函數(shù)y＝ax2+2x﹣1的自變量x滿足m≤x≤m+2時(shí)，函數(shù)y的最大值為﹣4，求m的值；
（2）已知點(diǎn)A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1），若拋物線C與直線AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出a的取值范圍．
4．（2024?湖北）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直線l：y＝kx+b，點(diǎn)A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直線l上．
（1）若拋物線C與直線l有交點(diǎn)，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a＝﹣1，二次函數(shù)y＝ax2+2x﹣1的自變量x滿足m≤x≤m+2時(shí)，函數(shù)y的最大值為﹣4，求m的值；
（3）若拋物線C與線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出a的取值范圍．
5．（2023?蓮都區(qū)一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3a（a，b是常數(shù)，a≠0），它的圖象過(guò)點(diǎn)（1，1）．
（1）用含a的代數(shù)式表示b；
（2）若a＝﹣1，此二次函數(shù)的自變量x滿足m≤x≤m+2時(shí)，函數(shù)y的最大值為3，求m的值；
（3）若該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在第二象限，當(dāng)a＜b時(shí)，求a+2b的取值范圍．
三.動(dòng)軸定區(qū)間
例3 （2024?蔡甸區(qū)月考）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2﹣2ax+3，當(dāng)1≤x≤3時(shí)，函數(shù)有最小值2a，則a的值為 ．
對(duì)應(yīng)練習(xí)：
1.已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2﹣2mx+m2﹣1．
（1）若M（m﹣1，y1），N（m+2，y2）兩點(diǎn)在該二次函數(shù)的圖象上，直接寫出y1與y2的大小關(guān)系；
（2）若將拋物線沿y軸翻折得到新拋物線，當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)有最小值3，求m的值．
2．函數(shù)y＝x2﹣2ax﹣2在﹣1≤x≤4有最小值﹣5，則實(shí)數(shù)a的值是 ．
3．（2024?拱墅區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）0≤x≤1時(shí)，函數(shù)y＝x2﹣2ax+a的最小值為﹣2，則實(shí)數(shù)a的值為 ．
4．（2021?江夏區(qū)校級(jí)自主招生）y＝x2+（1﹣a）x+1是關(guān)于x的二次函數(shù)，當(dāng)x的取值范圍是﹣1≤x≤3時(shí)，y只在x＝﹣1時(shí)取得最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．方法名稱
描述
適用范圍
頂點(diǎn)法
通過(guò)求二次函數(shù)的頂點(diǎn)得到最值
所有二次函數(shù)
公式法
直接代入公式求解
已知二次函數(shù)一般式
配方法
將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式求解
可配方的二次函數(shù)
對(duì)稱軸法
根據(jù)對(duì)稱軸和定義域判斷最值
定義域在對(duì)稱軸兩側(cè)或包含對(duì)稱軸
區(qū)間位置
對(duì)稱軸位置
最值判斷
求解方法
區(qū)間內(nèi)
對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)
頂點(diǎn)為最值點(diǎn)
頂點(diǎn)法或公式法
區(qū)間外
對(duì)稱軸在區(qū)間外
端點(diǎn)為最值點(diǎn)
比較區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值
包含對(duì)稱軸
區(qū)間包含對(duì)稱軸
頂點(diǎn)為最值點(diǎn)之一，另一端點(diǎn)可能也為最值點(diǎn)
分別計(jì)算頂點(diǎn)和端點(diǎn)函數(shù)值
跨對(duì)稱軸
區(qū)間跨越對(duì)稱軸
頂點(diǎn)為最值點(diǎn)之一，需比較另一側(cè)的函數(shù)值
根據(jù)情況選擇方法

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