二次函數(shù)與區(qū)間最值問題涉及確定函數(shù)在特定區(qū)間上的最大值和最小值．通過求頂點坐標、判斷函數(shù)開口方向及與區(qū)間的關系，利用單調性可求得最值．
★二次函數(shù)最值求解方法★
★二次函數(shù)區(qū)間最值問題分析★
★求解步驟★
①確定頂點坐標：通過公式計算得到頂點坐標（h， k）．
②判斷函數(shù)開口方向：根據(jù)a的正負確定．
③分析區(qū)間與對稱軸的關系：
1．定軸定區(qū)間：直接利用單調性或數(shù)形結合求最值．
2．定軸動區(qū)間：分類討論區(qū)間與對稱軸的位置關系，考慮單調性求最值．
3．動軸定區(qū)間：同樣需要分類討論，考慮軸是否穿過區(qū)間及單調性．
④計算最值：結合上述分析，確定區(qū)間上的最大值和最小值．
一、定軸定區(qū)間
例1．（2024?溫州模擬）
1．已知二次函數(shù)，當時，的最大值為9，則的值為 ．
對應練習：
（2024?東河區(qū)二模）
2．二次函數(shù)中，當時，的最小值是 ．
（2024?肥城市一模）
3．已知二次函數(shù)，當時，函數(shù)的最大值為 ．
（2024秋?武昌區(qū)期中）
4．已知二次函數(shù)在時有最大值3，則的值為 ．
（2024?鹿城區(qū)校級三模）
5．已知二次函數(shù)，當時，的最小值為，則的值為（ ）
A．12或4B．或C．或4D．或4
（2024秋?姑蘇區(qū)校級月考）
6．已知二次函數(shù)（為常數(shù)），
(1)若二次函數(shù)的圖像經過點，則___________；
(2)在（1）的條件下，當時，則的取值范圍是 ___________；
(3)若二次函數(shù)在時有最大值，求的值．
7．已知二次函數(shù)
(1)若 當 時，y的最小值為 y 的最大值為4，求 的值；
(2)若該二次函數(shù)的圖象經過點和, 當 時，y的最大值與最小值的差8，求m的值．
8．已知，二次函數(shù)．
(1)若該圖象過點，求的值；
(2)當時，的最大值是，求的值；
(3)當時，若在函數(shù)圖象上，且，求的取值范圍．
二、定軸動區(qū)間
例2（2024?陽春市二模）
9．已知二次函數(shù)在時，y取得的最大值為15，則a的值為 ．
對應練習：
（2024秋?濱海新區(qū)期中）
10．二次函數(shù)，當且時，y的最小值為，最大值為，則的值為（ ）
A．0B．C．D．
（2024?廣東模擬）
11．當時，函數(shù)的最小值為1，則的值為 ．
12．在平面直角坐標系中，已知拋物線
（1）當，二次函數(shù)的自變量x滿足時，函數(shù)y的最大值為，求m的值；
（2）已知點，，若拋物線C與線段AB有兩個不同的交點，請直接寫出a的取值范圍．
（2024?湖北）
13．在平面直角坐標系中，已知拋物線和直線l:y=kx+b，點A(-3,-3)，B(1,-1)均在直線l上．
（1）若拋物線C與直線l有交點，求a的取值范圍；
（2）當a=-1，二次函數(shù)的自變量x滿足m≤x≤m+2時，函數(shù)y的最大值為-4，求m的值；
（3）若拋物線C與線段AB有兩個不同的交點，請直接寫出a的取值范圍．
（2023?蓮都區(qū)一模）
14．已知二次函數(shù)（a，b是常數(shù)，），它的圖象過點．
(1)用含a的代數(shù)式表示b；
(2)若，此二次函數(shù)的自變量x滿足時，函數(shù)y的最大值為3，求m的值；
(3)若該函數(shù)圖象的頂點在第二象限，當時，求的取值范圍．
三．動軸定區(qū)間
例3 （2024?蔡甸區(qū)月考）
15．已知關于x的二次函數(shù)y＝x2－2ax＋3，當1≤x≤3時，函數(shù)有最小值2a，則a的值為 .
對應練習：
16．已知關于x的二次函數(shù)．
(1)若，兩點在該二次函數(shù)的圖象上，直接寫出與的大小關系；
(2)若將拋物線沿y軸翻折得到新拋物線，當時，新拋物線對應的函數(shù)有最小值3，求m的值．
17．函數(shù)在有最小值，則實數(shù)的值是 ．
（2024?拱墅區(qū)校級開學）
18．時，函數(shù)的最小值為，則實數(shù)的值為 ．
（2021?江夏區(qū)校級自主招生）
19．是關于的二次函數(shù)，當?shù)娜≈捣秶菚r，只在時取得最大值，則實數(shù)的取值范圍是 ．
參考答案與解析
參考答案：
1．
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質，最大值的計算方法，根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質，先計算出二次函數(shù)的對稱軸，根據(jù)自變量的取值范圍找出最大值，由此即可求解，掌握二次函數(shù)圖象的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：已知二次函數(shù)，
∴對稱軸為：，
∴x=2時與x=0時的函數(shù)值相等，時與時的函數(shù)值相等，
∴當時的函數(shù)值大于x=2時的函數(shù)值，
∴當時，，
∴，
解得，，
故答案為： ．
2．1
【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質，根據(jù)二次函數(shù)的頂點式得到當時，y隨著x的增大而增大，即可得到當時，當時取最小值，代入求解即可．
【詳解】解：∵
∴拋物線的對稱軸為直線，開口向上，
∴當時，y隨著x的增大而增大，
∴當時，當時取最小值，最小值為，
故答案為：1
3．5
【分析】本題考查二次函數(shù)的最值，能由二次函數(shù)的表達式得出拋物線的對稱軸及開口方向是解題的關鍵．根據(jù)二次函數(shù)的圖象，結合當時函數(shù)圖象的增減情況，即可解決問題．
【詳解】解：由二次函數(shù)的表達式為可知，
拋物線開口向上，對稱軸為直線，
所以當時，函數(shù)取得最小值，且，
則當時，，
當時，，
∴在中，函數(shù)的最大值為，
故答案為：．
4．或
【分析】本題考查了拋物線的對稱性，增減性，局部最值，利用分類思想，結合增減性計算即可．
【詳解】∵二次函數(shù)，
∴拋物線的對稱軸為，頂點坐標為，
當時，拋物線開口向上，函數(shù)有最小值，且與對稱軸距離越大，函數(shù)值越大，
∵，
∴時，函數(shù)局部有最大值，此時函數(shù)值為，
∵二次函數(shù)在時有最大值3，
∴，
解得；符合題意；
當時，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值，且與對稱軸距離越大，函數(shù)值越小，
∵，拋物線的對稱軸為，在局部范圍內，
∴時，函數(shù)局部有最大值，此時函數(shù)值為，
∵二次函數(shù)在時有最大值3，
∴，
解得；符合題意；
故答案為：或．
5．D
【分析】分兩種情況討論，并且利用二次函數(shù)的性質即可解答．
【詳解】解：二次函數(shù)的對稱軸為：直線，
（1）當時，當時，隨的增大而減小，當，隨的增大而增大，
當時，取得最小值，
，
；
（2）當時，當時，隨的增大而增大，當，隨的增大而減小，
當時，取得最小值，
，
．
故選：D．
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)的性質以及分類討論思想是解題的關鍵．
6．(1)
(2)
(3)或
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)的最值，解題關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質．
（1）利用待定系數(shù)法即可求得；
（2）拋物線開口向上，頂點為最低點，時取最小值，時取最大值；
（3）根據(jù)開口方向分類討論，利用最大值列方程求解即可．
【詳解】（1）解：二次函數(shù)的圖象經過點2,3，
，
，
故答案為：；
（2）解：由（1）知：該二次函數(shù)y的表達式為，
，
拋物線開口向上，頂點為，
時，，
當，，
當時，的取值范圍是：，
故答案為：；
（3）解：將二次函數(shù)化為頂點式得：，
二次函數(shù)在時有最大值，
當時，開口向上，
當時，有最大值，最大值為，
，
；
當時，開口向下，
當時，有最大值，最大值為，
，
；
綜上，的值是或．
7．(1)2
(2)或．
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，求二次函數(shù)解析式，解題的關鍵是理解二次函數(shù)的增減性，準確計算．
（1）根據(jù)拋物線的對稱軸和開口方向得出當時，y有最小值，當時，y有最大值，得出即，求出即可得出答案；
（2）用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；，開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標為，分兩種情況討論：當在對稱軸的同側時，當在對稱軸的異側時，分別求出m的值即可．
【詳解】（1）解：∵，對稱軸為，
∴x的值離對稱軸越遠，y的值越小，
∵
∴當時，y有最小值，當時，y有最大值．
即，
解得，
∴；
（2）解：由題意，得，
解得
∴二次函數(shù)的解析式為，開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標為，
∵
∴①當在對稱軸的左側時即時：
∵y的最大值與最小值的差8，
∴，
整理的
解得（不在m的范圍內，舍去）．
②當在對稱軸的右側時即時：
∵y的最大值與最小值的差8，
∴，
整理得：（不在m的范圍內，舍去）．
③當在對稱軸的兩側時即時，
∵y的最大值與最小值的差8，最小值為0．
∴，
解得：，（不在范圍舍去），
解得：（舍去）．
綜上所述，m的值為或．
8．(1)
(2)或
(3)
【分析】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象性質，二次函數(shù)的最值．
（1）把點代入中，求解即可；
（2）分兩種情況：當時，當時，根據(jù)最大值是，求解即可；
（3）根據(jù)當時，， 得出，，求解即可．
【詳解】（1）解：把點代入中，得
，
∴；
（2）解：拋物線的對稱軸為，
當時，∵當時，y的最大值是，
∴當時，，
∴把代入中，得；
當時，∵當時，y的最大值是，
∴當時，，
∴把代入中，得；
∴綜上所述，a的值為或；
（3）解：拋物線的對稱軸為，
當時，∵，
∴，
∴．
9．4
【分析】先找到二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標，求出時，的值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質得出答案．
【詳解】解：∵二次函數(shù)，
∴拋物線的對稱軸為，頂點，當時，，
∵，開口向上，
∴在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大，
∵當時，即在對稱軸右側，y取得最大值為15，
∴當時，，
∴，
解得：或（舍去），
故a的值為4．
故答案為：4．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)的最值，解答本題的關鍵是二次函數(shù)的增減性，利用二次函數(shù)的性質解答．
10．B
【分析】本題考查二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的圖象與性質，利用數(shù)形結合思想是解題的關鍵．根據(jù)二次函數(shù)解析式得到頂點坐標，開口向下，對稱軸，再結合“當且時，y的最小值為，最大值為，”進行討論（一定要考慮二次函數(shù)的頂點坐標是否在自變量的取值范圍內）求解，即可解題．
【詳解】解：，頂點坐標，開口向下，對稱軸，
①當，時，時，y取最大值，
即，
解得或（不合題意，舍去），
時，y取最小值，
即，
解得（不合題意，舍去）或，
，
②當，時，
，（舍去），
綜上所述，，
故選：B．
11．2或
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及二次函數(shù)的最值，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征找出當時，求的值，結合當時函數(shù)有最小值1，即可得出關于的一元一次方程，解之即可得出結論．利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征找出當時的值是解題的關鍵．
【詳解】解：當時，有，
解得：，．
∵當時，函數(shù)有最小值1，
∴或，
∴或，
故答案為：2或．
12．（1）m=-3或m=3；（2）≤a＜或a≤-2
【分析】（1）在x=1左側，y隨x的增大而增大，x=m+2=-1時，y有最大值-4；在對稱軸x=1右側，y隨x最大而減小，x=m=3時，y有最大值-4，即可求解；
（2）分a＜0時和a＞0時兩種情況，結合函數(shù)圖像，分別求解即可．
【詳解】解：（1）根據(jù)題意可得，y=-x2+2x-1，
∵a＜0，
∴拋物線開口向下，對稱軸x=1，
∵m≤x≤m+2時，y有最大值-4，
∴當y=-4時，有-x2+2x-1=-4，
∴x=-1或x=3，
①在對稱軸x=1左側，y隨x的增大而增大，
∴x=m+2=-1時，y有最大值-4，
∴m=-3；
②在對稱軸x=1右側，y隨x最大而減小，
∴x=m=3時，y有最大值-4；
綜上所述：m=-3或m=3；
（2）∵A（-3，-3），B（1，-1），
設直線AB的表達式為：y=kx+b，
則，解得：，
∴直線AB的解析式為y=x-，
由拋物線表達式可得：拋物線必經過點（0，-1），
∴若拋物線C與線段AB有兩個不同的交點，
當a＜0，
x=-3時，y=9a-6-1=9a-7＜-3，
x=1時，y=a+2-1≤-1，
解得：a≤-2；
當a＞0，
x=1時，y=a+2-1=a+1＞-1，
x=-3時，y=9a-6-1≥-3，
解得：a≥，
拋物線與直線聯(lián)立：ax2+2x-1=x-，
∴ax2+x+=0，
△=-2a＞0，
∴a＜，
綜上：若拋物線C與線段AB有兩個不同的交點，則a的取值范圍是：≤a＜或a≤-2．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質，一次函數(shù)的圖象及性質；熟練掌握待定系數(shù)法求解析式，數(shù)形結合，分類討論函數(shù)在給定范圍內的最大值是解題的關鍵．
13．（1）a≤且a≠0；（2）m=-3或m=3；（3）或a≤-2；
【分析】（1）點，代入，求出；聯(lián)立與，則有，即可求解；
（2）根據(jù)題意可得，，當時，有，x=?1或；①在x=1左側，隨的增大而增大，時，有最大值，；
②在對稱軸x=1右側，隨最大而減小，時，有最大值；
（3）①時，x=1時，，即；
②a>0時，時，，即，直線AB的解析式為，拋物線與直線聯(lián)立：，，則，即可求的范圍.
【詳解】解：（1）點，代入，
，
，
；
聯(lián)立與，則有，
拋物線與直線有交點，
，
a≤且a≠0；
（2）根據(jù)題意可得，，
，
拋物線開口向下，對稱軸x=1，
時，有最大值，
∴當時，有，
或，
①在x=1左側，隨的增大而增大，
時，有最大值，
；
②在對稱軸x=1右側，隨最大而減小，
時，有最大值；
綜上所述：m=-3或m=3；
（3）①時，x=1時，，
即；
②a>0時，時，，
即，
直線AB的解析式為，
拋物線與直線聯(lián)立：，
，
，
，
的取值范圍為或a≤-2.
【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質，一次函數(shù)的圖象及性質；熟練掌握待定系數(shù)法求解析式，數(shù)形結合，分類討論函數(shù)在給定范圍內的最大值是解題的關鍵．
14．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）將點代入函數(shù)解析式即可得；
（2）先求出二次函數(shù)的解析式，求出當時，的值，然后利用二次函數(shù)的性質分①在的左側和②在的右側兩種情況，由此即可得；
（3）先根據(jù)求出，再利用根的判別式判斷出拋物線與軸有兩個不同的交點，從而可得拋物線的開口向下，且頂點的橫坐標小于0，由此可得，然后根據(jù)即可得．
【詳解】（1）解：將點代入得：，
則．
（2）解：，
，
，
拋物線的開口向下，對稱軸為直線，
當時，，解得或，
①在的左側，隨的增大而增大，
∴當時，有最大值為3，
∴；
②在的右側，隨的增大而減小，
∴當時，有最大值為3，
∴．
綜上，或．
（3）解：∵，，
∴，解得，
關于的方程的根的判別式，
∴函數(shù)圖象與軸有2個不同的交點，
函數(shù)圖象的頂點在第二象限，
拋物線的開口向下，且頂點的橫坐標小于0，
，解得，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質是解題關鍵．
15．1
【詳解】y= x2－2ax＋3=(x?a)2+3?a2，
當a?1時，函數(shù)最小，則x=1，1?2a+3=4?2a=2a，
解得：a=1，
∵當1

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