2．頻率和概率
（1）在相同的條件下重復(fù)次試驗(yàn)，觀察某一事件是否出現(xiàn)，稱次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù)為事件出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件出現(xiàn)的比例為事件出現(xiàn)的頻率．
（2）對(duì)于給定的隨機(jī)事件，由于事件發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率，因此可以用頻率來估計(jì)概率．
3．事件的關(guān)系與運(yùn)算
3．事件的關(guān)系與運(yùn)算
4．概率的幾個(gè)基本性質(zhì)
(1)概率的取值范圍：__________．
(2)必然事件的概率______．
(3)不可能事件的概率______．
(4)互斥事件概率的加法公式
①若、互斥，則 ;
②若、對(duì)立，則 ．
1．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿椋? ）
A． B． C． D．
2．有一個(gè)游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個(gè)人從同一地點(diǎn)隨機(jī)地向東、南、西、北四個(gè)方向前進(jìn)，每人一個(gè)方向．事件“甲向南”與事件“乙向南”是（ ）
A．互斥但非對(duì)立事件B．對(duì)立事件
C．相互獨(dú)立事件D．以上都不對(duì)
3．先后拋擲質(zhì)地均勻的硬幣三次，則至少一次正面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戌中錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會(huì)均等，則甲或乙被錄用的概率為（ ）
A．B．C．D．
考點(diǎn)一 事件關(guān)系的判斷
【例1】從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（ ）
A．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”
B．“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”
C．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”
D．“恰有一個(gè)黑球”與“恰有兩個(gè)黑球”
【方法技巧】互斥、對(duì)立事件的兩點(diǎn)注意
(1)準(zhǔn)確把握互斥事件與對(duì)立事件的概念
①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但可以同時(shí)不發(fā)生．
②對(duì)立事件是特殊的互斥事件，特殊在對(duì)立的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個(gè)發(fā)生．
(2) 判別互斥、對(duì)立事件的方法
判別互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．
【變式】一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“兩次都不中靶”的對(duì)立事件是（ ）
A．兩次都中靶 B．至多有一次中靶
C．恰有一次中靶 D．至少有一次中靶
考點(diǎn)二 隨機(jī)事件的頻率與概率
【例2】隨機(jī)抽取一個(gè)年份，對(duì)西安市該年4月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：
(1)在4月份任取一天，估計(jì)西安市在該天不下雨的概率；
(2)某學(xué)校擬從4月份的一個(gè)晴天開始舉行連續(xù)2天的運(yùn)動(dòng)會(huì)，估計(jì)運(yùn)動(dòng)會(huì)期間
不下雨的概率．
【方法技巧】概率與頻率的關(guān)系
頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值．
【變式】某企業(yè)生產(chǎn)的乒乓球被奧運(yùn)會(huì)指定為乒乓球比賽專用球，目前有關(guān)部門對(duì)某批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè)，檢查結(jié)果如下表所示：
(1)計(jì)算表中乒乓球優(yōu)等品的頻率；
(2)從這批乒乓球產(chǎn)品中任取一個(gè)，質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率是多少？(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后三位)
考點(diǎn)三 互斥事件、對(duì)立事件的概率
【例3】某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售中，購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得1 000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為、、，求：
(1) ，，；
(2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；
(3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率．
【方法技巧】求復(fù)雜事件的概率的兩種方法
(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率；
(2)若將一個(gè)較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和事件時(shí)，需要分類太多，而其對(duì)立面的分類較少，可考慮利用對(duì)立事件的概率公式，即“正難則反”．它常用來求“至少”或“至多”型事件的概率．
確定
事件
必然
事件
在條件下， 的事件叫作相對(duì)于條件的必然事件
不可能事件
在條件下， 的事件叫作相對(duì)于條件S的不可能事件
隨機(jī)事件
在條件下， 的事件叫作相對(duì)于條件的隨機(jī)事件
定義
符號(hào)表示
包含關(guān)系
如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B________事件A(或稱事件A包含于事件B)
B?A
(或A?B)
相等關(guān)系
若B?A且A?B
并事件(和事件)
若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的________(或和事件)
A∪B
(或A＋B)
交事件
(積事件)
若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B為不可能事件，則事件A與事件B互斥
定義
符號(hào)表示
互斥事件
若A∩B為不可能事件，則事件A與事件B互斥
對(duì)立事件
若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
天氣
晴
雨
陰
陰
陰
雨
陰
晴
晴
晴
日期
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
天氣
陰
晴
晴
晴
晴
晴
陰
雨
陰
陰
日期
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天氣
晴
陰
晴
晴
晴
陰
晴
晴
晴
雨
抽取球數(shù)
50
100
200
500
1000
2000
優(yōu)等品數(shù)
45
92
194
470
954
1902
優(yōu)等品頻率

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