一、選擇題
1．[2022·全國(guó)甲卷(文)，6]從分別寫(xiě)有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為( )
A． eq \f(1,5) B． eq \f(1,3)
C． eq \f(2,5) D． eq \f(2,3)
2．一道競(jìng)賽題，A，B，C三人可解出的概率依次為 eq \f(1,2) ， eq \f(1,3) ， eq \f(1,4) .若三人獨(dú)立解答，則僅有1人解出的概率為( )
A． eq \f(1,24) B． eq \f(11,24)
C． eq \f(17,24) D．1
3．在一個(gè)不透明的容器中有6個(gè)小球，其中有4個(gè)黃球，2個(gè)紅球，它們除顏色外完全相同．如果一次隨機(jī)取出2個(gè)球，那么至少有1個(gè)紅球的概率為( )
A． eq \f(2,5) B． eq \f(3,5)
C． eq \f(7,15) D． eq \f(8,15)
4．(多選)甲、乙兩人下棋，和棋的概率為 eq \f(1,2) ，乙獲勝的概率為 eq \f(1,3) ，則下列說(shuō)法正確的是( )
A．甲獲勝的概率為 eq \f(1,6)
B．甲不輸?shù)母怕蕿?eq \f(1,2)
C．乙輸?shù)母怕蕿?eq \f(2,3)
D．乙不輸?shù)母怕蕿?eq \f(5,6)
5．設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為( )
A． eq \f(1,5) B． eq \f(2,5)
C． eq \f(1,2) D． eq \f(4,5)
6．某超市開(kāi)通網(wǎng)上銷(xiāo)售業(yè)務(wù)，每天能完成1 200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，招聘臨時(shí)工參加配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過(guò)1 600份的概率為0.05.臨時(shí)工每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要臨時(shí)工( )
A．10名 B．18名
C．24名 D．32名
7．從編號(hào)為1，2，3，4，5，6的6張卡片中隨機(jī)抽取一張，放回后再隨機(jī)抽取一張，則第一次抽得的卡片上數(shù)字能被第二次抽得的卡片上的數(shù)字整除的概率為( )
A． eq \f(2,9) B． eq \f(1,4)
C． eq \f(7,18) D． eq \f(1,12)
8．[2022·新高考Ⅰ卷，5]從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為( )
A． eq \f(1,6) B． eq \f(1,3)
C． eq \f(1,2) D． eq \f(2,3)
9．(多選)甲、乙、丙三人在政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、技術(shù)7門(mén)學(xué)科中任選3門(mén)．若甲同學(xué)必選物理，則下列說(shuō)法正確的是( )
A．甲、乙、丙三人至少一人選化學(xué)與全選化學(xué)是對(duì)立事件
B．甲同學(xué)不同的選法共有15種
C．已知乙同學(xué)選了物理，則乙同學(xué)選技術(shù)的概率是 eq \f(1,6)
D．乙、丙兩名同學(xué)都選物理的概率是 eq \f(9,49)
二、填空題
10．[2022·全國(guó)甲卷(理)，15]從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為_(kāi)_______．
11．某校開(kāi)設(shè)5門(mén)不同的選修課程，其中3門(mén)理科類(lèi)和2門(mén)文科類(lèi)．某同學(xué)從中任選2門(mén)課程學(xué)習(xí)，則該同學(xué)選到文科類(lèi)選修課程的概率是________．
12．[2022·全國(guó)乙卷(文)，14]從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為_(kāi)_______．
[能力提升]
13．如圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木板上釘著若干排互相平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，小球從上方的通道口落下后，將與層層小木塊碰撞，最后掉入下方的某一個(gè)球槽內(nèi)．若小球下落過(guò)程中向左、向右落下的機(jī)會(huì)均等，則小球最終落入③號(hào)球槽的概率為( )
A． eq \f(3,32) B． eq \f(15,64)
C． eq \f(5,32) D． eq \f(5,16)
14．“仁義禮智信”為儒家“五常”，由孔子提出“仁、義、禮”，孟子延伸為“仁、義、禮、智”，董仲舒擴(kuò)充為“仁、義、禮、智、信”．將“仁義禮智信”排成一排，“仁”排在第一位，且“智、信”相鄰的概率為( )
A． eq \f(1,10) B． eq \f(1,5)
C． eq \f(3,10) D． eq \f(2,5)
15．三名旅游愛(ài)好者商定在疫情結(jié)束后前往武漢、宜昌、黃岡3個(gè)城市旅游，如果三人均等可能地前往上述3個(gè)城市之一，那么他們恰好選擇同一個(gè)城市的概率是________．
16．某機(jī)構(gòu)有項(xiàng)業(yè)務(wù)是測(cè)試手機(jī)電池的續(xù)航時(shí)間，現(xiàn)有美國(guó)產(chǎn)的iPhne和中國(guó)產(chǎn)的小米、華為、OPPO四種品牌的手機(jī)需要測(cè)試，其中華為有Mate 50和P60兩種型號(hào)，其他品牌的手機(jī)都只有一種型號(hào)．已知每款手機(jī)的測(cè)試時(shí)間都為1個(gè)月，測(cè)試順序隨機(jī)，每款手機(jī)測(cè)試后不再測(cè)試，同一品牌的兩個(gè)型號(hào)不會(huì)連續(xù)測(cè)試．在未來(lái)4個(gè)月內(nèi)，測(cè)試的手機(jī)都是國(guó)產(chǎn)手機(jī)的概率為_(kāi)_______．
專(zhuān)練51 隨機(jī)事件的概率與古典概型
1．C 從6張卡片中任取2張的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15種不同取法，其中2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的取法有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6種，所以所求概率p＝ eq \f(6,15) ＝ eq \f(2,5) .故選C.
2．B 記A，B，C三人分別解出題為事件A，B，C，則僅有1人解出題的概率P＝P(A eq \(B,\s\up6(－)) eq \(C,\s\up6(－)) )＋P( eq \(A,\s\up6(－)) B eq \(C,\s\up6(－)) )＋P( eq \(A,\s\up6(－)) eq \(B,\s\up6(－)) C)＝ eq \f(1,2) × eq \f(2,3) × eq \f(3,4) ＋ eq \f(1,2) × eq \f(1,3) × eq \f(3,4) ＋ eq \f(1,2) × eq \f(2,3) × eq \f(1,4) ＝ eq \f(11,24) .故選B.
3．B 方法一 從6個(gè)小球中一次隨機(jī)取出2個(gè)球包含的基本事件總數(shù)n＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＝15，其中至少有1個(gè)紅球包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝9，因此至少有1個(gè)紅球的概率P＝ eq \f(m,n) ＝ eq \f(9,15) ＝ eq \f(3,5) .故選B.
方法二 從6個(gè)小球中一次隨機(jī)取出2個(gè)球包含的基本事件總數(shù)n＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＝15，其中全部是黃球包含的基本事件個(gè)數(shù)是C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝6，因此至少有1個(gè)紅球包含的基本事件個(gè)數(shù)是15－6＝9，因此至少有1個(gè)紅球的概率P＝ eq \f(9,15) ＝ eq \f(3,5) .故選B.
方法三 設(shè)“一次隨機(jī)取出2個(gè)球，至少有1個(gè)紅球”為事件A，則P(A)＝1－P( eq \(A,\s\up6(－)) )＝1－ eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ) ＝1－ eq \f(6,15) ＝ eq \f(3,5) ，故選B.
4．AD ∵甲、乙兩人下棋，和棋的概率為 eq \f(1,2) ，乙獲勝的概率為 eq \f(1,3) ，∴甲獲勝的概率為1－ eq \f(1,2) － eq \f(1,3) ＝ eq \f(1,6) ，故A正確；甲不輸?shù)母怕蕿?－ eq \f(1,3) ＝ eq \f(2,3) ，故B不正確；乙輸?shù)母怕蕿?－ eq \f(1,3) － eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,6) ，故C不正確；乙不輸?shù)母怕蕿?eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,3) ＝ eq \f(5,6) ，故D正確．故選AD.
5．A 從O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)的情況有(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A，D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(B，C，D)，(A，C，D)，共有10種不同的情況，由圖可知取到的3點(diǎn)共線的有(O，A，C)和(O，B，D)兩種情況，所以所求概率為 eq \f(2,10) ＝ eq \f(1,5) .故選A.
6．B 由題意得第二天訂單不超過(guò)1 600份的概率為1－0.05＝0.95，故第一天積壓訂單加上第二天的新訂單不超過(guò)1 600＋500＝2 100份的概率為0.95，因?yàn)槌斜旧砟芡瓿? 200份訂單配貨，所以需要臨時(shí)工完成的訂單不超過(guò)2 100－1 200＝900份的概率為0.95，因?yàn)?00÷50＝18，所以至少需要18名臨時(shí)工，故選B.
7．C 依題意，基本事件的總數(shù)為6×6＝36，第一次抽得的卡片上數(shù)字能被第二次抽得的卡片上的數(shù)字整除的有(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，6)，(5，1)，(5，5)，(4，1)，(4，2)，(4，4)，(3，1)，(3，3)，(2，1)，(2，2)，(1，1)，共14種情況，所以所求的概率P＝ eq \f(14,36) ＝ eq \f(7,18) ，故選C.
8．D 方法一 從2，3，4，5，6，7，8中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ＝21(種)結(jié)果，其中這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的結(jié)果有(2，3)，(2，5)，(2，7)，(3，4)，(3，5)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，7)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(7，8)，共14種，所以所求概率為 eq \f(14,21) ＝ eq \f(2,3) .故選D.
方法二 從2，3，4，5，6，7，8中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ＝21(種)結(jié)果，其中這2個(gè)數(shù)不互質(zhì)的結(jié)果有(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7種，所以所求概率為 eq \f(21－7,21) ＝ eq \f(2,3) .故選D.
9．BD 甲、乙、丙三人至少一人選化學(xué)與全不選化學(xué)是對(duì)立事件，故A錯(cuò)誤；由于甲同學(xué)必選物理，故只需從剩下的6門(mén)學(xué)科中任選2門(mén)即可，則甲同學(xué)不同的選法共有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＝15種，故B正確；由于乙同學(xué)選了物理，則乙同學(xué)選技術(shù)的概率是 eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ) ＝ eq \f(1,3) ，故C錯(cuò)誤；乙、丙兩名同學(xué)各自選物理的概率均為 eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) ) ＝ eq \f(3,7) ，故乙、丙兩名同學(xué)都選物理的概率是 eq \f(3,7) × eq \f(3,7) ＝ eq \f(9,49) ，故D正確．故選BD.
10. eq \f(6,35)
解析：從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，所有的取法有C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(8)) ＝70(種)，4個(gè)點(diǎn)共面的取法共有12種(表面有6個(gè)四邊形，對(duì)角線可構(gòu)成6個(gè)長(zhǎng)方形，所以共有12種)，所以4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為 eq \f(12,70) ＝ eq \f(6,35) .
11. eq \f(7,10)
解析：從5門(mén)不同的選修課程中任選2門(mén)課程學(xué)習(xí)所包含的基本事件總數(shù)n＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＝10，該同學(xué)選到文科類(lèi)選修課程包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ＝7，因此該同學(xué)選到文科類(lèi)選修課程的概率P＝ eq \f(m,n) ＝ eq \f(7,10) .
12. eq \f(3,10)
解析：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，共有C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ＝10(種)選法，甲、乙都入選有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ＝3(種)選法．根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，甲、乙都入選的概率p＝ eq \f(3,10) ．
13．D 若小球下落過(guò)程中向左、向右落下的機(jī)會(huì)均等，則P左＝P右＝ eq \f(1,2) ，小球最終落入③號(hào)球槽經(jīng)過(guò)5次選擇，其中向左3次、向右2次，則所求概率P＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ×( eq \f(1,2) )3×( eq \f(1,2) )2＝ eq \f(5,16) ，故選D.
14．A “仁義禮智信”排成一排，任意排有A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) 種排法，其中“仁”排在第一位，且“智、信”相鄰的排法有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) 種，故所求概率P＝ eq \f(A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ,A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ) ＝ eq \f(1,10) .故選A.
15. eq \f(1,9)
解析：由題知三人的選擇情況共有33＝27種，其中恰好選擇同一個(gè)城市的情況有3種，所以所求概率P＝ eq \f(3,27) ＝ eq \f(1,9) ．
16. eq \f(1,7)
解析：在未來(lái)4個(gè)月內(nèi)，測(cè)試的手機(jī)有如下兩種情況：
①當(dāng)華為手機(jī)出現(xiàn)兩次時(shí)，有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝36種情況；
②當(dāng)華為手機(jī)出現(xiàn)一次時(shí)，有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝48種情況．
故共有36＋48＝84種情況．
而其中未來(lái)這4個(gè)月中測(cè)試的手機(jī)都是國(guó)產(chǎn)手機(jī)的情況有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝12(種)，故所求概率P＝ eq \f(12,84) ＝ eq \f(1,7) .

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