1．若數(shù)據(jù)的方差為0.2，則數(shù)據(jù)的方差為（ ）
A．0.2B．0.8C．1.6D．3.2
2．隨著汽車智能化與電動(dòng)化的不斷升級(jí)，無人駕駛汽車成為汽車行業(yè)發(fā)展的新趨勢．據(jù)統(tǒng)計(jì)，截至2024年7月底中國無人駕駛汽車行業(yè)存續(xù)企業(yè)數(shù)量為1782家，這些企業(yè)的注冊資本分布情況如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．注冊資本不高于200萬元的企業(yè)數(shù)量占比不足
B．注冊資本在1000萬元以上的企業(yè)超過750家
C．注冊資本分布數(shù)據(jù)的分位數(shù)是
D．從注冊資本在100萬元—500萬元的企業(yè)中隨機(jī)抽取1家，該企業(yè)注冊資本在200萬元—500萬元的概率不小于0.55
3．根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，如果連續(xù)5天的日平均氣溫都低于10℃即為入冬.現(xiàn)將連續(xù)5天的日平均氣溫（單位：℃）記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是自然數(shù)）作為一組樣本，則下列描述中，該組數(shù)據(jù)一定符合入冬指標(biāo)的有（ ）
A．平均數(shù)小于4且中位數(shù)小于或等于3B．平均數(shù)小于4且極差小于或等于3
C．平均數(shù)小于4且標(biāo)準(zhǔn)差小于或等于4D．眾數(shù)等于6且極差小于或等于4
4．有一組樣本數(shù)據(jù)、、、，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)、、、，其，為非零常數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
①兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 ②兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同
③兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同 ④兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同
A．③④B．②③C．②④D．①③
5．某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員各6場比賽得分情況記錄如下，甲：18，20，35，33，47，41； 乙：17，26，19，27，19，29.則下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是（ ）
A．甲運(yùn)動(dòng)員得分的極差小于乙運(yùn)動(dòng)員得分的極差
B．甲運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)小于乙運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)
C．甲運(yùn)動(dòng)員的成績比乙運(yùn)動(dòng)員的成績穩(wěn)定
D．甲運(yùn)動(dòng)員得分的平均值大于乙運(yùn)動(dòng)員得分的平均值
6．如圖是某市隨機(jī)抽取的100戶居民的月均用水量頻率分布直方圖，如果要讓60%的居民用水不超出標(biāo)準(zhǔn)（單位：t），根據(jù)直方圖估計(jì)，下列最接近的數(shù)為（ ）
A．8.5B．9C．9.5D．10
二、多選題
7．某校舉行了交通安全知識(shí)主題演講比賽，甲、乙兩位同學(xué)演講后，6位評(píng)委對(duì)他們的演講分別進(jìn)行打分（滿分10分），得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，則（ ）

A．甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)
B．甲得分的極差大于乙得分的極差
C．甲得分的第75百分位數(shù)小于乙得分的第75百分位數(shù)
D．甲得分的方差大于乙得分的方差
8．給出下列說法，其中正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)據(jù)，，，，，，，的極差與眾數(shù)之和為
B．已知一組數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)為，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是
C．已知某班共有人，小明在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中成績排名為班級(jí)第名，則小明成績是全班數(shù)學(xué)成績的第百分位數(shù)
D．一組不完全相同數(shù)據(jù)，， ，的方差為，則數(shù)據(jù)，，，的方差為
三、填空題
9．某老年健康活動(dòng)中心隨機(jī)抽取了6位老年人的收縮壓數(shù)據(jù)，分別為120，96，153，146，112，136，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為
10．已知，兩組數(shù)據(jù)，其中：2，3，4，5，6；：11，，13，14，12；組數(shù)據(jù)的方差為 ，若，兩組數(shù)據(jù)的方差相同，試寫出一個(gè)值 ．
11．某高一班級(jí)有40名學(xué)生，在一次物理考試中統(tǒng)計(jì)出平均分?jǐn)?shù)為70，方差為95，后來發(fā)現(xiàn)有2名同學(xué)的成績有誤，甲實(shí)得70分卻記為50分，乙實(shí)得60分卻記為80分，則更正后的方差是 .
12．學(xué)校為了解學(xué)生身高(單位：情況，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從名學(xué)生（男女生人數(shù)之比為）中抽取了一個(gè)容量為的樣本.其中，男生平均身高為，方差為，女生平均身高為，方差為，用樣本估計(jì)總體，則該學(xué)校學(xué)生身高的方差為 ．
四、解答題
13．某公司招聘銷售員，提供了兩種日工資結(jié)算方案：方案（1）每日底薪100元，每銷售一單提成2元；方案（2）每日底薪200元，銷售的前50單沒有提成，從第51單開始，每完成一單提成4元．該公司記錄了銷售員的每日人均業(yè)務(wù)量，現(xiàn)隨機(jī)抽取一個(gè)季度的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求直方圖中的值；
(2)若僅從人均日收入的角度考慮，請(qǐng)你利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為新聘銷售員做出日工資方案的選擇，并說明理由（同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；
(3)假設(shè)該銷售員選擇了你在（2）中所選的方案，已知公司現(xiàn)有銷售員400人，他希望自己的收入在公司中處于前40名，求他每日的平均業(yè)務(wù)量至少應(yīng)達(dá)多少單？
14．A，B兩組各有7位病人．他們服用某種藥物后的康復(fù)時(shí)間（單位：天）記錄如下：
A組：；
B組：．
當(dāng)為何值時(shí)，兩組病人康復(fù)時(shí)間的方差相等？（結(jié)論不要求證明）
15．為檢測同學(xué)體能，學(xué)校從高一年級(jí)隨機(jī)抽取了100名同學(xué)參加體能測試，并將成績分?jǐn)?shù)分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同.
(1)估計(jì)這100名同學(xué)體能成績分?jǐn)?shù)的平均分和眾數(shù)；
(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人進(jìn)行成績分析，第二組同學(xué)成績的平均數(shù)和方差分別為62和40，第四組同學(xué)成績的平均數(shù)和方差分別為80和70，據(jù)此估計(jì)這次第二組和第四組所有同學(xué)成績的方差.
16．梵凈山位于貴州省銅仁市的江口?印江?松桃三縣交界處，是具有2000多年歷史的文化名山.梵凈山山勢雄偉?層巒疊嶂，溪流縱橫?飛瀑懸瀉.為更好地提升旅游品質(zhì)，隨機(jī)選擇100名游客對(duì)景區(qū)進(jìn)行滿意度評(píng)分（滿分100分），根據(jù)評(píng)分，制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求的值；
(2)估計(jì)這100名游客對(duì)景區(qū)滿意度評(píng)分的分位數(shù)；
(3)若采用按比例分層抽樣的方法從評(píng)分在的兩組中共抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行個(gè)別交流，求選取的2人評(píng)分分別在50,60和60,70內(nèi)各1人的概率.
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)各數(shù)據(jù)同時(shí)乘同一數(shù)對(duì)方差的影響求解.
【詳解】根據(jù)數(shù)據(jù)的方差為0.2可得數(shù)據(jù)的方差為.
故選：D.
2．C
【分析】根據(jù)餅狀圖可知注冊資本不高于200萬元的企業(yè)數(shù)量占比為，在1000萬元以上的企業(yè)數(shù)量為，可判斷AB正確，利用百分位數(shù)定義計(jì)算可得C錯(cuò)誤，根據(jù)不同資本的企業(yè)占比計(jì)算可得D正確.
【詳解】選項(xiàng)A：注冊資本不高于200萬元的企業(yè)數(shù)量占比為，，A正確．
選項(xiàng)B：注冊資本在1000萬元以上的企業(yè)數(shù)量為，，B正確．
選項(xiàng)C：，故分位數(shù)為與的平均數(shù)，C錯(cuò)誤．
選項(xiàng)D：從注冊資本在100萬元—500萬元的企業(yè)中隨機(jī)抽取1家，
則該企業(yè)注冊資本在200萬元—500萬元的概率為，，D正確．
故選：C
3．B
【分析】舉出反例可得ACD錯(cuò)誤，利用反證法可得B正確.
【詳解】對(duì)于A，舉出反例：0，0，0，0，15，其平均數(shù)為3，中位數(shù)為0，但不符合入冬標(biāo)準(zhǔn)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，假設(shè)有數(shù)據(jù)大于或等于10，由極差小于或等于3知，此組數(shù)據(jù)最小值為大于或等于7，與平均值小于4矛盾，故假設(shè)不成立，故B正確；
對(duì)于C，舉出反例：1，1，1，1，11，平均數(shù)為3，且標(biāo)準(zhǔn)差為4，但不符合入冬標(biāo)準(zhǔn)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，舉出反例：6，6，6，6，10，其眾數(shù)等于6且極差等于4，但不符合入冬標(biāo)準(zhǔn)，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
4．A
【分析】利用平均數(shù)公式可判斷①；利用中位數(shù)的定義可判斷②；利用標(biāo)準(zhǔn)差公式可判斷③；利用極差的定義可判斷④.
【詳解】對(duì)于①，設(shè)數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，
則
，故①錯(cuò)；
對(duì)于②，設(shè)數(shù)據(jù)、、、中位數(shù)為，數(shù)據(jù)、、、的中位數(shù)為，
不妨設(shè)，則，
若為奇數(shù)，則，；
若為偶數(shù)，則，.
，故②錯(cuò)；
對(duì)于③，設(shè)數(shù)據(jù)、、、的標(biāo)準(zhǔn)差為，數(shù)據(jù)、、、的標(biāo)準(zhǔn)差為，
，故③對(duì)；
對(duì)于④，不妨設(shè)，則，
則數(shù)據(jù)、、、的極差為，
數(shù)據(jù)、、、的極差為，故④對(duì).
故選：A.
5．D
【分析】求出極差判斷A；求出中位數(shù)判斷B；求出平均數(shù)判斷D；求出方差判斷C．
【詳解】將數(shù)據(jù)按升序排列可得：甲：18，20，33，35，41，47； 乙：17，19，19，26，27，29.
對(duì)于A，甲運(yùn)動(dòng)員得分的極差為，乙運(yùn)動(dòng)員得分的極差為，
且，所以甲運(yùn)動(dòng)員得分的極差大于乙運(yùn)動(dòng)員得分的極差，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，甲運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)是，乙運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)是，
且，所以甲運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)大于乙運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于CD，甲運(yùn)動(dòng)員的得分平均值為，
乙運(yùn)動(dòng)員的得分平均值為，
且，所以甲運(yùn)動(dòng)員的得分平均值大于乙運(yùn)動(dòng)員的得分平均值，故D正確；
甲運(yùn)動(dòng)員得分的方差為
，
乙運(yùn)動(dòng)員得分的方差為
，
顯然乙的方差小于甲的方差，乙運(yùn)動(dòng)員的成績比甲運(yùn)動(dòng)員的成績穩(wěn)定，故C錯(cuò)誤.
故選：D.
6．A
【分析】首先判斷位于之間，再根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得結(jié)論.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以應(yīng)在，
所以，解得.
故最接近的數(shù)為.
故選：A.
7．ABD
【分析】運(yùn)用極差、中位數(shù)及百分位數(shù)的公式計(jì)算，和方差的意義即可判斷選項(xiàng).
【詳解】甲、乙的得分從小到大排列如下：
故可得如下表格：
故選：ABD
8．AD
【分析】根據(jù)眾數(shù)、極差的定義即可判斷A；根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)定義即可判斷B；根據(jù)百分位數(shù)定義即可判斷C；根據(jù)方差的性質(zhì)即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，數(shù)據(jù)，，，，，，，的極差為，眾數(shù)為，
所以數(shù)據(jù)，，，，，，，極差與眾數(shù)之和為，A正確；
對(duì)于B，由題意可知，解得：，
所以數(shù)據(jù)為：，，，，，，數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，
B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，小明在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中成績排名為班級(jí)第名，
若成績從低到高排序，小明的成績排在第位，又因?yàn)椋?br>又因?yàn)榭荚嚪謹(jǐn)?shù)排名為由高分到低分，所以全班數(shù)學(xué)成績的第百分位數(shù)應(yīng)為：
第班級(jí)成績的第名與第名同學(xué)成績的平均數(shù)，
所以小明的成績不是全班數(shù)學(xué)成績的第百分位數(shù)，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)?，?，的方差為3，根據(jù)方差性質(zhì)，
，，，的方差為，D正確.
故選：AD
9．120
【分析】先將6個(gè)數(shù)據(jù)從小到大進(jìn)行排列，再根據(jù)百分位數(shù)的定義和求解步驟即可求解.
【詳解】6位老年人的收縮壓數(shù)據(jù)從小到大排列為：96，112，120，136，146，153，
因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為120.
故答案為：120.
10． 2 10或15
【分析】根據(jù)方差公式及其變形即可得到方程，解出即可.
【詳解】組的平均數(shù)，
組的平均數(shù)，
則組的方差為
，
則組的方差為
，
解得或15.
故答案為：2；10或15.
11．85
【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差的計(jì)算公式求解即可.
【詳解】設(shè)更正前甲,乙,丙...的成績依次為，
則，
即，
所以，
，
即，
所以.
更正后的平均分，
更正后的方差
.
故答案為：.
12．
【分析】根據(jù)題意，求出樣本的平均數(shù)和方差，結(jié)合用樣本估計(jì)總體的思路，即可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，由于男女生人數(shù)之比為，則樣本中男女生人數(shù)之比為，
其中，男生平均身高為，方差為，女生平均身高為，方差為，
則樣本的平均數(shù)，
樣本的方差，
用樣本估計(jì)總體，則該學(xué)校學(xué)生身高的方差為．
故答案為：．
13．(1)0.002
(2)選擇方案（2）
(3)每日的平均業(yè)務(wù)量至少應(yīng)達(dá)82單
【分析】（1）由頻率分布直方圖的矩形面積和為1求出的值；
（2）由每日人均業(yè)務(wù)量的平均值分別求出方案（1）和（2）的人均日收入；比較大小后再做選擇；
（3）用40除以400得到，該員工收入需要進(jìn)入公司群體人員收入的前10%，即超過90%，分析90%是否在前5組頻率和以及前6組頻率和之間，設(shè)對(duì)應(yīng)銷為，由頻率分布直方圖的百分位數(shù)的公式得到對(duì)應(yīng)的值.
【詳解】（1）∵，
∴
（2）每日人均業(yè)務(wù)量的平均值為：，
方案（1）人均日收入為：元，
方案（2）人均日收入為： 元，
∵248元>224元，
所以選擇方案（2）
（3）∵，即設(shè)該銷售員收入超過了90%的公司銷售人員.
由頻率分布直方表可知：
前5組的頻率和為
前6組的頻率和為
∵，設(shè)該銷售的每日的平均業(yè)務(wù)量為，
則，
∴，又∵
∴最小取82，
故他每日的平均業(yè)務(wù)量至少應(yīng)達(dá)82單.
14．或．
【分析】方法一：計(jì)算出A組的方差，從而計(jì)算出B組的平均數(shù)，利用方差相等列出方程，求出或11；
方法二：按照兩組數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，結(jié)合方差相等，得到B組數(shù)據(jù)也應(yīng)該依次增大1，從而得到或.
【詳解】方法一：A組的平均數(shù)為，
故A組的方差為，
故B組的平均數(shù)為，
故B組的方差為，
解得或11，
方法二：由于兩組數(shù)據(jù)的方差相同，A組的數(shù)據(jù)依次增大1，
而B組數(shù)據(jù)除之外，其余數(shù)據(jù)也依次增大1，
故要想兩組數(shù)據(jù)的方差相同，B組數(shù)據(jù)也應(yīng)該依次增大1，
將B組數(shù)據(jù)重新排列，
A組：，
B組：，
或
A組：；
B組：．
所以，或.
15．(1)平均數(shù)：，眾數(shù)為：.
(2)
【分析】（1）由頻率直方圖先求出的值，然后求解平均數(shù)與眾數(shù)即可；
（2）設(shè)第二組，第四組同學(xué)成績的平均數(shù)與方差分別為：，計(jì)算出兩組頻率之比為，然后計(jì)算這次第二組和第四組所有同學(xué)成績的方差即可.
【詳解】（1）由題意可知：，
解得：，
所以每組的頻率依次為：，
所以平均數(shù)為：，
眾數(shù)為：.
（2）設(shè)第二組，第四組同學(xué)成績的平均數(shù)與方差分別為：，
兩組頻率之比為：，
則第二組與第四組所有同學(xué)成績的平均數(shù)為：，
第二組與第四組所有同學(xué)成績的方差為：，
故估計(jì)這次第二組和第四組所有同學(xué)成績的方差為：.
16．(1)
(2)92.5
(3)
【分析】（1）根據(jù)直方圖中頻率和為1即可求解；
（2）由百分位數(shù)的定義，結(jié)合直方圖即可求解；
（3）利用分層抽樣及頻率求各組人數(shù)，利用列舉法結(jié)合古典概型運(yùn)算求解.
【詳解】（1）由圖可知：，
解得：；
故的值為；
（2），
分位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，令其為，
則，
解得：
所以滿意度評(píng)分的分位數(shù)為92.5；
（3）因?yàn)樵u(píng)分在的頻率分別為，
則在中抽取人，設(shè)為；
在中抽取人，設(shè)為；
從這6人中隨機(jī)抽取2人，則有：
，
，共有15個(gè)基本事件，
設(shè)選取的2人評(píng)分分別在和內(nèi)各1人為事件，
則有，
共有8個(gè)基本事件，
所以.
即選取的2人評(píng)分分別在和內(nèi)各1人的概率為.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
D
C
B
A
D
A
ABD
AD


甲
7.0
8.3
8.9
8.9
9.2
9.3
乙
8.1
8.5
8.6
8.6
8.7
9.1
甲
乙
中位數(shù)
A正確
極差
B正確
第75百分位數(shù)
，故第75百分位數(shù)是第5個(gè)數(shù)
C錯(cuò)誤
9.2
8.7
方差
由題圖可以看出甲得分的波動(dòng)比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差
D正確

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