新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)綜合訓(xùn)練11數(shù)列（9種題型60題專(zhuān)練）（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．（2023?秦安縣校級(jí)一模）兩個(gè)等差數(shù)列和，其前項(xiàng)和分別為，，且，則等于
A．B．C．D．
【分析】由已知，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，把轉(zhuǎn)化為求解．
【解答】解：因?yàn)椋?br>．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及等差中項(xiàng)的綜合應(yīng)用，以及計(jì)算能力．
2．（2024?江西模擬）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)的和為，則下列結(jié)論一定正確的是
A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列不是等差數(shù)列
【分析】設(shè)出公差，利用等比數(shù)列的定義可判斷，舉常數(shù)列可判斷，，利用等差數(shù)列的定義可判斷．
【解答】解：數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，為常數(shù)，
對(duì)于，數(shù)列是等差數(shù)列，則，
那么為常數(shù)，且，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，故正確；
對(duì)于，當(dāng)數(shù)列是各項(xiàng)都是0的常數(shù)列時(shí)，數(shù)列也是各項(xiàng)都為0的常數(shù)列，此時(shí)不是等比數(shù)列，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)的和為，可設(shè)，為常數(shù)），
令，此時(shí)為常數(shù)，
所以數(shù)列是等差數(shù)列，故正確；
對(duì)于，當(dāng)數(shù)列是各項(xiàng)都是0的等差數(shù)列時(shí)，，此時(shí)，
所以數(shù)列是各項(xiàng)都為0的等差數(shù)列，故錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，屬于基礎(chǔ)題．
二．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（共5小題）
3．（2023?山西模擬）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則
A．15B．1C．D．
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，利用基本量代換求出，進(jìn)而求解．
【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，．
，，解得：，．
，
．
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
4．（2023?黃州區(qū)校級(jí)二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則取最大值時(shí)的值為
A．10B．11C．12D．13
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：等差數(shù)列，
，，
，，
則取最大值時(shí)，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
5．（2023?海淀區(qū)校級(jí)模擬）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則
A．32B．42C．52D．62
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可．
【解答】解：等差數(shù)列，，
，，，
，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，是基礎(chǔ)題．
6．（2023?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則．
【分析】由，得到與的關(guān)系，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式求解．
【解答】解：，
，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
7．（2023?錦州一模）已知正項(xiàng)等差數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，若也是公差為的等差數(shù)列，則．
【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，結(jié)合多項(xiàng)式相等即可求解．
【解答】解：因?yàn)槭枪顬榈恼?xiàng)等差數(shù)列，則，
因?yàn)槭堑炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，所以，
又因?yàn)橐彩枪顬榈牡炔顢?shù)列，則，
從而有，兩邊平方得，
即，
由多項(xiàng)式相等，得出，
解得．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，屬于中檔題．
三．等比數(shù)列的性質(zhì)（共2小題）
8．（2023?大慶三模）定義，已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則
A．4B．C．8D．
【分析】結(jié)合已知定義，利用等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：數(shù)列為等比數(shù)列，且，，
所以，
所以，
則，
因?yàn)榕c符號(hào)一致，
故．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
9．（2023?徐匯區(qū)校級(jí)三模）已知數(shù)列不是常值數(shù)列，且滿(mǎn)足是正整數(shù)），若，則
A．存在、，對(duì)任意、，都有為等比數(shù)列
B．存在、，對(duì)任意、，都有為等比數(shù)列
C．存在、，對(duì)任意、，都有為等差數(shù)列
D．存在、，對(duì)任意、，都有為等差數(shù)列
【分析】本題先將遞推式進(jìn)行變形，然后令，根據(jù)題意有常數(shù)，且．將遞推式通過(guò)換元法簡(jiǎn)化為．兩邊同時(shí)減去，可得．根據(jù)此時(shí)逐步遞推可得．根據(jù)題意有，則當(dāng)，即，即，即時(shí)，可得到數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列．由此可得正確選項(xiàng)．
【解答】解：由題意，得．
令，則，
，為非零常數(shù)且，
，均為非零常數(shù)，
常數(shù)，且．
故．
兩邊同時(shí)減去，
可得．
常數(shù)，且．
，且．
．
數(shù)列是非常數(shù)數(shù)列，
，
則當(dāng)，即，即，即時(shí)，
．
此時(shí)數(shù)列很明顯是一個(gè)等差數(shù)列．
存在，，只要滿(mǎn)足，為非零，且時(shí)，對(duì)任意，，都有數(shù)列為等差數(shù)列．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查遞推式的基本知識(shí)，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)，換元法的應(yīng)用，邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．本題屬中檔題．
四．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（共3小題）
10．（2023?黃岡模擬）已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，數(shù)列滿(mǎn)足．若，
A．24B．32C．36D．40
【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可得解．
【解答】解：因?yàn)槭钦?xiàng)等比數(shù)列，，
所以，則，
所以
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
11．（2023?石家莊一模）已知數(shù)列為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，則的值為
A．70B．72C．74D．76
【分析】根據(jù)已知條件求得以及通項(xiàng)公式，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解結(jié)論．
【解答】解：數(shù)列為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，
設(shè)公比為，且，
，
解得，舍），
故，
，
，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
12．（2023?大興區(qū)模擬）設(shè)是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和．已知，，若存在使得的乘積最大，則的一個(gè)可能值是
A．4B．5C．6D．7
【分析】由已知利用等比數(shù)列的性質(zhì)可求，又，可得，解得，或，分類(lèi)討論可求的值，即可求解數(shù)列的各項(xiàng)，即可求解．
【解答】解：等比數(shù)列中，公比；
由，
所以，
又，
所以，解得：，或，
若時(shí)，可得，可得的值為2，4，8，，不會(huì)存在使得的乘積最大（舍去），
若時(shí)，可得，可得的值為8，4，2，1，，，觀察可知存在，使得的乘積最大，
綜上，可得的一個(gè)可能是4．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．
五．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（共4小題）
13．（2023?開(kāi)福區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則
A．B．C．2D．3
【分析】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，變形可得，進(jìn)而求出的值，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，
若，即，變形可得，則有，
又由，則．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．
14．（2023?東城區(qū)模擬）已知為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若，，則
A．7B．8C．15D．31
【分析】利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公比，由此能求出等比數(shù)列的前4項(xiàng)和．
【解答】解：為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，，，
，
解得，，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的前4項(xiàng)和的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
15．（2023?南開(kāi)區(qū)校級(jí)模擬）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈
A．1盞B．3盞C．5盞D．9盞
【分析】設(shè)塔的頂層共有盞燈，則數(shù)列公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式能求出結(jié)果．
【解答】解：設(shè)塔的頂層共有盞燈，
則數(shù)列公比為2的等比數(shù)列，
，
解得．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
16．（2023?佛山一模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則的值為
A．30B．10C．9D．6
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，結(jié)合，列出關(guān)于和的方程組，求出和的值，進(jìn)而求出的值．
【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，且，
，，
又，，
，解得，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．
六．?dāng)?shù)列的求和（共20小題）
17．（2023?寧都縣校級(jí)模擬）已知數(shù)列，，，，，那么數(shù)列的前項(xiàng)和為
A．B．C．D．
【分析】先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，繼而數(shù)列的通項(xiàng)公式為，經(jīng)裂項(xiàng)后，前項(xiàng)的和即可計(jì)算．
【解答】解：數(shù)列的通項(xiàng)公式為
數(shù)列的通項(xiàng)公式為
其前項(xiàng)的和為
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列求和的兩種方法：公式法和裂項(xiàng)相消法．屬于基礎(chǔ)題．
18．（2023?南京模擬）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知?jiǎng)t ．
【分析】根據(jù)遞推式直接遞推即可得出前8項(xiàng)，再用裂項(xiàng)相消法求和．
【解答】解：由，可得：
，，，，，，，，
所以
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列遞推式求通項(xiàng)，考查裂項(xiàng)相消求和，屬基礎(chǔ)題．
19．（2023?西山區(qū)校級(jí)模擬）定義各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列的“美數(shù)”為．若各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列的“美數(shù)”為，且，則．
【分析】首先利用“美數(shù)”的定義，得到，再求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并得到，最后利用裂項(xiàng)相消法求和．
【解答】解：因?yàn)楦黜?xiàng)為正數(shù)的數(shù)列的“美數(shù)”為，
所以，
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
則，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以，滿(mǎn)足式子，
所以，
又，所以，
所以．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)列的遞推式，考查了裂項(xiàng)相消法求和，同時(shí)考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
20．（2023?西安校級(jí)三模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．給定，記集合的元素個(gè)數(shù)為．
（1）求，，的值；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，判斷數(shù)列的單調(diào)性，并證明．
【分析】（1）由題意設(shè)等差數(shù)列的公差為，結(jié)合題意可得，即，求出，即可得出答案；
（2）由（1）得集合，的元素個(gè)數(shù)為，即集合，的元素個(gè)數(shù)為，，即，求出，利用作差法，即可證明結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
，且，，成等比數(shù)列，
，即，解得，
，
集合，的元素個(gè)數(shù)為，
當(dāng)時(shí)，集合，的元素個(gè)數(shù)為，即；
當(dāng)時(shí)，集合，的元素個(gè)數(shù)為，即，
當(dāng)時(shí)，集合，的元素個(gè)數(shù)為，即，
故，，；
（2）數(shù)列單調(diào)遞增，
證明：由（1）得集合，的元素個(gè)數(shù)為，即集合，的元素個(gè)數(shù)為，
，即，
，
，
數(shù)列單調(diào)遞增．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的求和、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
21．（2023?撫松縣校級(jí)模擬）已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，成等差數(shù)列，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．
【分析】（1）首先列方程，求公比；其次，列方程，求首項(xiàng)，即可得出答案；
（2）求出，然后運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求出，即可證明結(jié)論；
【解答】解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，
，，成等差數(shù)列，，即，解得，
又，則，解得，
，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）證明：由（1）得，
故，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，，
，
故．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和裂項(xiàng)相消法求和，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
22．（2023?和平區(qū)校級(jí)一模）已知數(shù)列滿(mǎn)足．
（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若記為滿(mǎn)足不等式的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求關(guān)于的不等式的最大正整數(shù)解．
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義，證明為常數(shù)，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，即可得出答案；
（2）不等式即為，從而可確定的個(gè)數(shù)，即，然后由錯(cuò)位相減法求得，結(jié)合是遞增數(shù)列，通過(guò)估值法得出不等式的最大正數(shù)解．
【解答】解：（1），
，即，
數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，
故；
（2），
，
這樣有個(gè)，
故，，，
，
兩式相減得，
，
又為遞增數(shù)列，
又，，，則，
故最大正整數(shù)解為8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的求和，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
23．（2023?杭州模擬）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）能否從中選出以為首項(xiàng)，以原次序組成的等比數(shù)列．若能，請(qǐng)找出公比最小的一組，寫(xiě)出此等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出數(shù)列的前項(xiàng)和；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推式得到數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；
（2）當(dāng)，時(shí)，會(huì)得到數(shù)列中原次序的一列等比數(shù)列，此時(shí)的公比，是最小的，此時(shí)該等比數(shù)列的項(xiàng)均為偶數(shù)，均在數(shù)列中，整理得的通項(xiàng)公式為：，利用分組求和即可求解．
【解答】解：（1）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，
，，
當(dāng)時(shí)，，即，
得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，由，①
得，②
①②得：，
化簡(jiǎn)得，
因?yàn)?，所以，?br>即數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
所以，
則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
（2）存在．
當(dāng)，時(shí)，
會(huì)得到數(shù)列中原次序的一列等比數(shù)列，
此時(shí)的公比，是最小的，此時(shí)該等比數(shù)列的項(xiàng)均為偶數(shù)，均在數(shù)列中；
下面證明此時(shí)的公比最小：
，假若取，公比為，
則為奇數(shù)，不可能在數(shù)列中，
所以，
又，所以，即的通項(xiàng)公式為：，
故．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和分組求和，屬于中檔題．
24．（2023?廣東模擬）已知數(shù)列，時(shí)，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【分析】（1）根據(jù)，的關(guān)系，即可得出答案；
（2）利用錯(cuò)位相減法，即可得出答案．
【解答】解：（1）①，
當(dāng)時(shí)，②，
由①②得，
，
當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足上式，
；
（2）由（1）得，
則，
又在各項(xiàng)非零的等差數(shù)列中，則，
，
③，④，
由③④得，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
25．（2023?湖南模擬）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．
【分析】（1）利用與的關(guān)系，結(jié)合已知條件以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得出答案；
（2）由（1）得，則，利用裂項(xiàng)求和法求得，即可證明結(jié)論．
【解答】解：（1）①，
當(dāng)時(shí)，，，則，
當(dāng)時(shí)，②，
由①②得，
又，則，
數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
；
（2）證明：由（1）得，則，
，
故成立．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的求和，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
26．（2023?市中區(qū)校級(jí)二模）已知兩個(gè)正項(xiàng)數(shù)列，滿(mǎn)足，．
（1）求，的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿(mǎn)足，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，求的前項(xiàng)和．
【分析】（1）依題意可得，，即可求出、；
（2）根據(jù)高斯函數(shù)先推出的解析式，再運(yùn)用等差數(shù)列求和公式計(jì)算可得．
【解答】解：（1）由，得，
由，得，，是正項(xiàng)數(shù)列，，
；
（2），
，
當(dāng)時(shí)
，
當(dāng)時(shí)滿(mǎn)足，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
27．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且滿(mǎn)足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，．若對(duì)于任意，有，求的取值范圍．
【分析】（1），，兩式相減，求解并驗(yàn)證即可；
（2）根據(jù)（1）得到的通項(xiàng)公式，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求出，再分和兩種情況，討論即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意可知，
，
則，
兩式相減得：，
即，
則，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，符合上式，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（2）根據(jù)（1）可知，當(dāng)時(shí)，，
即，
，
，
當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，
當(dāng)時(shí)，存在，使得，
則，
所以，不滿(mǎn)足條件，
所以．
故的取值范圍是，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，屬于中檔題．
28．（2023?漢濱區(qū)校級(jí)模擬）在數(shù)列中，已知，．
（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【分析】（Ⅰ）先將題干中遞推公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步推導(dǎo)即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，通過(guò)計(jì)算數(shù)列的通項(xiàng)公式即可計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）先根據(jù)第（Ⅰ）題的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再運(yùn)用錯(cuò)位相減法即可計(jì)算出數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解答】解：（Ⅰ）依題意，當(dāng)時(shí)，由，
兩邊同時(shí)減去，
可得，
，
數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
，
故，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
，
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
則，
，
兩式相減，
可得
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列由遞推公式推導(dǎo)出通項(xiàng)公式，以及數(shù)列求和問(wèn)題．考查了整體思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，錯(cuò)位相減法，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的運(yùn)用，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題．
29．（2023?撫松縣校級(jí)模擬）已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足．
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)于集合，，定義集合且．設(shè)數(shù)列和中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合，，將集合的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前50項(xiàng)和．
【分析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，進(jìn)而得到；由數(shù)列的遞推式和您的通項(xiàng)公式求得；
（2）求得數(shù)列的前50項(xiàng)中數(shù)列和中相同的項(xiàng)，可得數(shù)列前50項(xiàng)由數(shù)列的前52項(xiàng)再去掉的，這兩項(xiàng)構(gòu)成，由等差數(shù)列的求和公式計(jì)算可得所求和．
【解答】解：（1）由等差數(shù)列滿(mǎn)足，，
可得，解得，
；
數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足．
可得時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，
化為，
可得；
（2）由于，，，，
所以中要去掉數(shù)列的2項(xiàng)：9，81，
所以數(shù)列前50項(xiàng)由數(shù)列的前52項(xiàng)再去掉的，這兩項(xiàng)構(gòu)成，
所以．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，考查方程思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．
30．（2023?廣西模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，在①且；②；③且，，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并求解：
（1）已知數(shù)列滿(mǎn)足_____，求的通項(xiàng)公式；
（2）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿(mǎn)足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和
【分析】（1）若選①，由已知可推得，進(jìn)而得出數(shù)列是常數(shù)列，從而得出；若選②，由已知推得，進(jìn)而根據(jù)與的關(guān)系，即可推得；若選③，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，可推得數(shù)列是等差數(shù)列，然后由已知求得，即可得出；
（2）根據(jù)已知可求出，然后根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算以及裂項(xiàng)化簡(jiǎn)可得，然后相加即可得出．
【解答】解：（1）若選①且，
由可得，
又，
所以數(shù)列是常數(shù)列，且，所以；
若選②，
由已知可得，，
當(dāng)時(shí)，有，
當(dāng)時(shí)，有，
，
兩式作差可得，，
所以，
又滿(mǎn)足，所以；
若選③且，，
由可得，，
所以，數(shù)列是等差數(shù)列，
又，，
所以，所以，所以；
（2）由（1）知，，所以，
設(shè)等比數(shù)列公比為，
由已知可得，解得，
所以，
所以，
所以．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的遞推式和裂項(xiàng)相消求和，屬于中檔題．
31．（2023?讓胡路區(qū)校級(jí)三模）已知數(shù)列、，滿(mǎn)足，，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【分析】（1）分析可知對(duì)任意的，，推導(dǎo)出數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求出的表達(dá)式，然后利用裂項(xiàng)相消法可求得的表達(dá)式．
【解答】解：（1）因?yàn)椋瑒t，，，
以此類(lèi)推可知，對(duì)任意的，，所以，
即，，
又因?yàn)?，所以是首?xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以的通項(xiàng)公式為．
（2），則，
所以，
故．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列遞推式，數(shù)列的求和，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
32．（2023?華容縣模擬）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，滿(mǎn)足，，．
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【分析】（1）直接利用題中的已知條件，建立方程組，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用乘公比錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和．
【解答】（1）解：設(shè)的公差為，的公比為，，，
聯(lián)立，整理可得，解得，
所以，．
（2）解：由（1）知，
則，①，
，②，
①②，得．
所以．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列的求和，乘公比錯(cuò)位相減法的求和，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．
33．（2023春?袁州區(qū)校級(jí)期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，，．
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算得，利用等比數(shù)列定義求通項(xiàng)公式，利用等差中項(xiàng)判斷數(shù)列為等差數(shù)列，建立方程求出公差，從而可得的通項(xiàng)；
（2）利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即可．
【解答】解：（1），
，
，為等比數(shù)列，
又，得，
，
，是等差數(shù)列，
又且，，
，解得，，
；
（2），，
，
，
，
兩式相減可得：
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，錯(cuò)位相減法求和，方程思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
34．（2023?邵陽(yáng)二模）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，記．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）已知，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．
【分析】（1）由數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得所求通項(xiàng)公式；
（2）求得，分別討論為奇數(shù)或偶數(shù)，再由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)，可得證明．
【解答】解：（1）由，可得，
即，即有，
可得，
則，；
（2）證明：
，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
，
由在上遞增，可得；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
，
由，可得．
所以．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
35．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）已知正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足，．
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．
【分析】（1）根據(jù)遞推公式將其分解整理可得，兩邊同時(shí)加1即可證明數(shù)列是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可寫(xiě)出，分別對(duì)是奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論即可求得結(jié)果．
【解答】解：（1）將等式右邊分解得，
因?yàn)橐阎?，所以?br>所以，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，
所以，
即．
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為
（2）結(jié)合（1）知，
所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．
所以數(shù)列的前項(xiàng)和
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和數(shù)列的并項(xiàng)求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
36．（2023?建華區(qū)校級(jí)三模）在等比數(shù)列和等差數(shù)列中，，，．
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）令，，記數(shù)列的前項(xiàng)積為，證明：．
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解；（2）求出，判斷的單調(diào)性即可求解．
（2）由已知先判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后結(jié)合單調(diào)性即可求解．
【解答】解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，數(shù)列的公差為，
由，有，，
又由，有，有，
又由，有，有，有，
可得，得或（舍去），故，，
故，；
（2）證明：由（1）知：，，
則，
當(dāng)，2時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，即，
又，，，，，
故，，
當(dāng)時(shí)，，，
故．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，還考查了數(shù)列單調(diào)性在數(shù)列最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．
七．?dāng)?shù)列遞推式（共8小題）
37．（2023?漢濱區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)函數(shù)，數(shù)列，滿(mǎn)足，，則
A．B．C．D．
【分析】由函數(shù)的解析式求得，，計(jì)算可得結(jié)論．
【解答】解：函數(shù)，數(shù)列，滿(mǎn)足，，
可得，，即，
則，，，，，
可得．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的解析式和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
38．（2023?遼寧模擬）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則
A．B．C．D．
【分析】由題意可得：數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，然后結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法求解即可．
【解答】解：已知數(shù)列滿(mǎn)足，，
則，
又，
即數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
即，
則．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用數(shù)列遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，重點(diǎn)考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，屬基礎(chǔ)題．
39．（2023?福建模擬）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，恒成立，則的最小值為
A．3B．2C．1D．
【分析】通過(guò)等差數(shù)列的定義求出的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求出，進(jìn)而確定的最小值．
【解答】解：，是等差數(shù)列，
又，，
故對(duì)，，
也符合上式，
，
故，即的最小值為1．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列遞推式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
40．（2023?廣州二模）在數(shù)列中，，，若，則正整數(shù) 10 ．
【分析】由題意令，則，可得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，求出，結(jié)合題意，即可得出答案．
【解答】解：，，
令，則，
數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，
，
又，即，
，解得或，
為正整數(shù)，．
故答案為：10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推式，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
41．（2023?吉林模擬）著名的斐波那契數(shù)列滿(mǎn)足，，其通項(xiàng)公式為，則是斐波那契數(shù)列中的第 101 項(xiàng)；又知高斯函數(shù)也稱(chēng)為取整函數(shù)，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，則
【分析】根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義，化簡(jiǎn)得，即可得出答案；利用，則，即可得出答案．
【解答】解：，，
，
則是斐波那契數(shù)列中的第101項(xiàng)；
列出斐波那契數(shù)列有1，1，2，3，5，8，13，，，
則，
，令，則，
，
，
，故，
則，
．
故答案為：101；842．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推式，考查運(yùn)算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．
42．（2023?斗門(mén)區(qū)校級(jí)三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則 2000 ．
【分析】令，可得，利用等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得出答案．
【解答】解：令，
，且，
，，
，
數(shù)列是首項(xiàng)為8，公比為2的等比數(shù)列，
，即，
．
故答案為：2000．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列的求和，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
43．（2023?黃州區(qū)校級(jí)三模）已知數(shù)列滿(mǎn)足：，若，且數(shù)列為遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【分析】根據(jù)題意，兩邊同時(shí)取倒數(shù)，然后變形即可得到數(shù)列是等比數(shù)列，從而得到，再根據(jù)其為遞增數(shù)列，列出不等式，即可得到結(jié)果．
【解答】解：因?yàn)?，兩邊取倒?shù)可得，
變形可得，所以數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為2，所以，
則，又，數(shù)列為遞增數(shù)列，
所以，即．
當(dāng)時(shí)，，即，解得．
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)列的單調(diào)性在參數(shù)范圍求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．
44．（2023?朝陽(yáng)區(qū)二模）斐波那契數(shù)列又稱(chēng)為黃金分割數(shù)列，在現(xiàn)代物理、化學(xué)等領(lǐng)域都有應(yīng)用，斐波那契數(shù)列滿(mǎn)足，．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①存在，使得，，成等差數(shù)列；
②存在，使得，，成等比數(shù)列；
③存在常數(shù)，使得對(duì)任意，都有，，成等差數(shù)列；
④存在正整數(shù)，，，，且，使得．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ①③④ ．
【分析】由，，成等差數(shù)列判斷①；由數(shù)列任意連續(xù)三項(xiàng)為奇數(shù)，奇數(shù)，偶數(shù)或奇數(shù)，偶數(shù)，奇數(shù)，結(jié)合是否能成立判斷②；利用遞推式可得，即判斷③；寫(xiě)出前16項(xiàng)判斷是否存在使判斷④．
【解答】解：由題設(shè)，，顯然，，成等差數(shù)列，①正確；
由題設(shè)知：，，在上，依次為奇數(shù)，奇數(shù)，偶數(shù)或奇數(shù)，偶數(shù)，奇數(shù)或偶數(shù)，奇數(shù)，奇數(shù)，
所以不可能有，故不存在使，，成等比數(shù)列，②錯(cuò)誤；
由，，，
所以，故，則成等差數(shù)列，
故存在使得對(duì)任意，都有，，成等差數(shù)列，③正確；
由，，，，，，
所以，則，
由題設(shè)，數(shù)列前16項(xiàng)分別為1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，
其中，
所以存在正整數(shù)，，，，且，使得，④正確．
故答案為：①③④．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差、等比數(shù)列的定義性質(zhì)判斷，還考查了數(shù)列的遞推關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．
八．?dāng)?shù)列與不等式的綜合（共9小題）
45．（2023?淄博二模）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為2．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足．
（1）求取得最小值時(shí)的值；
（2）若，證明：．
【分析】（1）利用累加法結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即得；
（2）利用裂項(xiàng)求和法結(jié)合條件即得．
【解答】解：（1）由，得，，，，
累加可得：，
所以，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，取最小值時(shí)，的值為2；
證明：（2）由（1）可知，若，則，
所以
，
顯然時(shí)，，
可得．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了裂項(xiàng)相消法求和，屬于中檔題．
46．（2023?河南模擬）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）證明：．
【分析】（1）利用等差數(shù)列前項(xiàng)和基本量的運(yùn)算求解公差，寫(xiě)出等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可；
（2）對(duì)和變形后利用裂項(xiàng)相消法求和，再利用放縮法證明即可．
【解答】（1）解：由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則，
解得，
，．
（2）證明：由（1）可得，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的基本運(yùn)算，以及數(shù)列求和與不等式的綜合問(wèn)題．考查了方程思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，裂項(xiàng)相消法，放縮法，等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題．
47．（2023?鄭州三模）已知數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為和且對(duì)任意，恒成立．
（1）若，，求；
（2）若對(duì)任意，都有，及恒成立，求正整數(shù)的最小值．
【分析】（1）根據(jù)題干已知條件并結(jié)合公式推導(dǎo)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入后化簡(jiǎn)整理，進(jìn)一步推導(dǎo)即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可計(jì)算出前項(xiàng)和的表達(dá)式；
（2）先根據(jù)代入進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，進(jìn)一步推導(dǎo)即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，初步計(jì)算出前項(xiàng)和關(guān)于首項(xiàng)的表達(dá)式，然后運(yùn)用裂項(xiàng)相消法計(jì)算出，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式，最后根據(jù)不等式的性質(zhì)即可推導(dǎo)出滿(mǎn)足不等式的正整數(shù)的最小值．
【解答】解：（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，也滿(mǎn)足上式，
，，
由，
可得，
整理，得，
，
數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
．
（2）依題意，由及，
可得，
化簡(jiǎn)整理，得，
故數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
，
，
，
對(duì)任意，都有恒成立，
，即，
的為正整數(shù)，
滿(mǎn)足不等式的正整數(shù)的最小值為3．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列由遞推公式推導(dǎo)出通項(xiàng)公式，以及數(shù)列求和與不等式的綜合問(wèn)題．考查了整體思想，分類(lèi)討論思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式的運(yùn)用，不等式的性質(zhì)運(yùn)用，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題．
48．（2023?包河區(qū)模擬）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法商功》中，后人稱(chēng)為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，．球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，滿(mǎn)足，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求證：．
【分析】（1）利用累加法求解即可；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求解即可．
【解答】解：（1）因?yàn)?，，所以，?br>所以當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，上式也成立，
所以；
（2）證明：由，
所以．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列與不等式的綜合，數(shù)列遞推式，裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
49．（2023?讓胡路區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列滿(mǎn)足，且，．
（1）求，的通項(xiàng)公式；
（2）證明：．
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；
（2）利用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為．
由，
所以數(shù)列為等差數(shù)列，且，的公差相等，均為．
由，得，則．
由，得，即．
因?yàn)?，所以，則有，則，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
則數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）證明：由（1）可知，
則
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列與不等式的綜合，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
50．（2023?渭南模擬）已知首項(xiàng)為1的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求及數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列中是否存在連續(xù)的三項(xiàng)成一個(gè)等差數(shù)列？如果存在，求出所有的這三項(xiàng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若數(shù)列滿(mǎn)足，求證：．
【分析】（1）由已知遞推式兩邊同時(shí)除以，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系，可得及數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列中假設(shè)存在連續(xù)的三項(xiàng)成一個(gè)等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，化簡(jiǎn)整理，可得結(jié)論；
（3）由，結(jié)合不等式的放縮法和不等式的性質(zhì)，可得證明．
【解答】解：（1）由，
兩邊同時(shí)除以，可得，
則是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
即有，
即為，
時(shí)，，
上式對(duì)也成立，
所以，；
（2）數(shù)列中假設(shè)存在連續(xù)的三項(xiàng)成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)，，成等差數(shù)列，
則，即為，
即，即有不成立，所以不存在連續(xù)的三項(xiàng)成一個(gè)等差數(shù)列；
（3）證明：由，可得，
所以．
即有原不等式成立．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和不等式的放縮法，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．
51．（2023?哈爾濱二模）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿(mǎn)足．
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足求最小的實(shí)數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)均成立．
【分析】（1）條件兩端取倒數(shù)，化成目標(biāo)的形式，根據(jù)等比數(shù)列定義即可；
（2）先求出，奇偶項(xiàng)分開(kāi)求和，一部分是等比數(shù)列求和，一部分是裂項(xiàng)相消求和．
【解答】解：（1）證明：由于，則，
于是，由于，則，
故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為等比數(shù)列；
（2）由（1）知，則，
由于，則
，
當(dāng)時(shí)，，
由對(duì)一切正整數(shù)均成立可得，
故最小的實(shí)數(shù)為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的概念，以及分組求和、裂項(xiàng)相消求和，屬于中檔題．
52．（2023?葫蘆島一模）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，等比數(shù)列滿(mǎn)足，．
（1）求；
（2）設(shè)，求證：．
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)性質(zhì)，計(jì)算得，；
（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比中項(xiàng)性質(zhì)，計(jì)算得，錯(cuò)位相減法證明．
【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則由題意得，
解得，
，，
；
證明：（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由題意得，，解得：，，
，，
，
又，
令，
，
兩式相減得，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查求等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于中檔題．
53．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，，且．
（1）求；
（2）若對(duì)任意恒成立，求的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)等常數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)，即可得答案．
（2）利用裂項(xiàng)求和法求得的表達(dá)式，根據(jù)對(duì)任意恒成立，可得相應(yīng)不等式，求得答案．
【解答】解：（1）由題意等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，，且，
，
所以，
則，即，
故．
（2），
所以，
而，
故對(duì)任意恒成立，
需，即或．
所以的取值范圍為，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列以及裂項(xiàng)求和法的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
九．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合（共7小題）
54．（2023?大理市二模）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿(mǎn)足，，，．
（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）數(shù)列和中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合，，將的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前60項(xiàng)和．
【分析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公差和公比，再求出的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）分的前60項(xiàng)中含有的前6項(xiàng)，的前60項(xiàng)中含有的前7項(xiàng)兩種情況，求得的范圍，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，再求出．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
由，
，，
，．
（Ⅱ）當(dāng)?shù)那?0項(xiàng)中含有的前6項(xiàng)時(shí)，
令，可得，
此時(shí)至多有項(xiàng)（不符）；
當(dāng)?shù)那?0項(xiàng)中含有的前7項(xiàng)時(shí)，
令，可得，
且，，是和的公共項(xiàng)，
則的前60項(xiàng)中含有的前7項(xiàng)且含有的前56項(xiàng)，再減去公共的三項(xiàng)．
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．
55．（2023?德陽(yáng)模擬）已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的最大項(xiàng)．
【分析】（1）設(shè)出公比，分和兩種情況，根據(jù)條件得到方程，求出公比，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式得到，換元后，利用函數(shù)單調(diào)性求出最大值．
【解答】解：（1）由題意得，
設(shè)公比為，若，此時(shí)，此時(shí)不滿(mǎn)足；
若，則，
故，即，
由于，故，解得或1（舍去），
故；
（2），故，
所以，
令，，
由對(duì)勾函數(shù)可知在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，
所以數(shù)列的最大項(xiàng)為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差（比數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的求法，以及利用函數(shù)知識(shí)求數(shù)列的最大值，屬于中檔題．
56．（2023?泰和縣一模）公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，，成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和．
【分析】（Ⅰ）公差不為零的等差數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得公差和首項(xiàng)，即可得到所求通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，所以，再由數(shù)列的分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求和．
【解答】解：（Ⅰ）公差不為零的等差數(shù)列，
由，得，即，可得，
又，，成等比數(shù)列，，
即，
可得，
解得或（舍去），
，故．
（Ⅱ）由是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，可得，
所以，
所以前項(xiàng)和
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查分組求和方法，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
57．（2023?興慶區(qū)校級(jí)四模）在等差數(shù)列中，已知公差，，且，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求的值．
【分析】（1）由已知列式求得等差數(shù)列的公差，可得通項(xiàng)公式；
（2）由，得，由，得，把去絕對(duì)值后利用等差數(shù)列的求和公式求解．
【解答】解：（1），，，，
又，，成等比數(shù)列，，
即，
化簡(jiǎn)得，解得或，
又，，
；
（2）由（1）得，由，得，由，得，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．
58．（2023?龍崗區(qū)校級(jí)二模）已知是等差數(shù)列，，，且，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，記，求．
【分析】（1）設(shè)出公差，利用已知條件求解公差，然后求解數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式，通過(guò)為偶數(shù)與奇數(shù)，轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：（1）是等差數(shù)列，，，且，，成等比數(shù)列，
設(shè)等差數(shù)列公差為，由題意，
解得或（不符合題意，舍去），
所以．
（2）由題意知，，
．
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
．
綜上．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．
59．（2023?上饒模擬）已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，，求滿(mǎn)足條件的的最小值．
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，成等比，求得，再由，求得或，進(jìn)而得到，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）求得，得到，
令，進(jìn)而得到的最小值．
【解答】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，成等比?br>所以，
可得，整理得，
又因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>解得或，
當(dāng)時(shí)，，不合題意舍去；
當(dāng)時(shí)，，則，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（2）解：由，可得，
所以，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，，
令，可得，
即，解得，
所以的最小值為4．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，還考查了數(shù)列的裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用，屬于中檔題．
60．（2023?濰坊二模）已知等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，，求數(shù)列的最大項(xiàng)．
【分析】（1）由已知建立方程求出等差數(shù)列的首項(xiàng)，即可求出通項(xiàng)公式；
（2）把數(shù)列的通項(xiàng)公式代入，整理后換元，再由函數(shù)的單調(diào)性求最值．
【解答】解：（1）由題可知，公差，且，，成等比數(shù)列，
則，即，
，
解得，
；
（2），
令，則，
，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
當(dāng)或時(shí)，可能取得最大值，而時(shí)，不合題意，
故，即時(shí)，數(shù)列取最大值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等比數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，是中檔題．

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