1．（2023?畢節(jié)市模擬）給出下列命題：
①函數(shù)f（x）＝2x﹣x2恰有兩個(gè)零點(diǎn)；
②若函數(shù)在（0，+∞）上的最小值為4，則a＝4；
③若函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（1﹣x）＝4，則；
④若關(guān)于x的方程2|x|﹣m＝0有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，1]．
其中正確的是（ ）
A．①③B．②④C．③④D．②③
【分析】根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)，逐一分析選項(xiàng)，即可得出答案．
【解答】解：對(duì)于①：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝2x﹣x2有2個(gè)零點(diǎn)，2和4，
作出y＝x2和y＝2x的圖像，當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）＝2x﹣x2有1個(gè)零點(diǎn)，
∴函數(shù)f（x）＝2x﹣x2有3個(gè)零點(diǎn)，
故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②：，即，則a＝4，故②正確；
對(duì)于③：①，②，
∵f（x）+f（1﹣x）＝4，
∴，，…，，
∴①+②＝4×9＝36，
∴，故③正確；
對(duì)于④：若關(guān)于x的方程2|x|﹣m＝0有解，則m＝2|x|，
∵|x|≥0，∴m≥1，故④錯(cuò)誤，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷和函數(shù)的基本性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
（多選）2．（2023?長(zhǎng)沙模擬）已知函數(shù)f（x）＝|sinx|+|csx|﹣sin2x﹣1，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．f（x）是以π為周期的函數(shù)
B．直線是曲線y＝f（x）的對(duì)稱軸
C．函數(shù)f（x）的最大值為，最小值為
D．若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，Mπ）上恰有2023個(gè)零點(diǎn)，則
【分析】根據(jù)周期函數(shù)定義判斷A即可；根據(jù)函數(shù)對(duì)稱軸定義判斷B即可；由A知f（x）是以π為周期的函數(shù)，所以根據(jù)求解f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值即可判斷選項(xiàng)C，利用f（x）在區(qū)間[0，π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可判斷選項(xiàng)D．
【解答】解：對(duì)于A，∵f（x+π）＝f（x），
∴f（x）是以π為周期的函數(shù)，故A正確；
對(duì)于B，有f（π﹣x）＝|sinx|+|csx|+sin2x﹣1≠f（x），故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由A知只需考慮f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值，
當(dāng)時(shí)，令，
則，
易知u（t）在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴f（x）的最大值為u（1）＝0，最小值為；
當(dāng)時(shí)，令，
則，
易知v（t）在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴f（x）的最大值為，最小值為v（1）＝0，
綜合可知：函數(shù)f（x）的最大值為，最小值為，故C正確；
對(duì)于D，∵f（x）是以π為周期的函數(shù)，
可以先研究函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，易知f（π）＝0，
當(dāng)時(shí)，令f（x）＝u（t）＝﹣t2+t＝0，解得t＝0或1，
∵，則，
則在區(qū)間上無(wú)解，
在區(qū)間上僅有一解，
當(dāng)時(shí)，令f（x）＝v（t）＝t2+t﹣2＝0，解得t＝﹣2或1，
∵，則，
則在區(qū)間上無(wú)解，
在區(qū)間上也無(wú)解，
綜合可知：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π]上有兩個(gè)零點(diǎn)，分別為和x＝π，
又∵f（x）是以π為周期的函數(shù)，
∴若n∈N*，則f（x）在區(qū)間（0，nπ]上恰有2n個(gè)零點(diǎn)，
又已知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，Mπ）上恰有2023個(gè)零點(diǎn)，
∴，故D正確．
故選：ACD．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題真假的判斷，利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，進(jìn)行分類討論是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．
3．（2023?寶山區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)y＝f（x）是定義域在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝（x﹣2）（x﹣3）+0.02，則關(guān)于y＝f（x）在R上零點(diǎn)的說(shuō)法正確的是（ ）
A．有4個(gè)零點(diǎn)，其中只有一個(gè)零點(diǎn)在（﹣3，﹣2）內(nèi)
B．有4個(gè)零點(diǎn)，其中只有一個(gè)零點(diǎn)在（﹣3，﹣2）內(nèi)，兩個(gè)在（2，3）內(nèi)
C．有5個(gè)零點(diǎn)，都不在（0，2）內(nèi)
D．有5個(gè)零點(diǎn)，其中只有一個(gè)零點(diǎn)在（0，2）內(nèi)，一個(gè)在（3，+∞）
【分析】本題可以先從函數(shù)圖象右側(cè)入手借助于圖象或性質(zhì)找到其零點(diǎn)，然后根據(jù)奇函數(shù)特性f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，故f（0）＝0，加上奇函數(shù)對(duì)稱性應(yīng)用，即可以找到所有零點(diǎn)位置．
【解答】解：根據(jù)對(duì)稱性可以分三種情況研究：
（1）x＞0的情況，f（x）是把拋物線y＝（x﹣2）（x﹣3）與x軸交點(diǎn)為（2，3）向上平移了0.02，
則與x軸交點(diǎn)變至（2，3）之間了．所以在（2，3）之間有兩個(gè)零點(diǎn)．
（2）當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝﹣（x+2）（x+3）﹣0.02，根據(jù)對(duì)稱性（﹣3，﹣2）之間也有兩個(gè)零點(diǎn)，
（3）f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，故f（0）＝0（奇函數(shù)特性），
所以有五個(gè)零點(diǎn)．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生靈活運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)和運(yùn)用奇函數(shù)性質(zhì)的能力，屬于難題．
二．函數(shù)零點(diǎn)的判定定理（共2小題）
4．（2023?西安模擬）已知f（x）＝ex+lnx+2，若x0是方程f（x）﹣f'（x）＝e的一個(gè)解，則x0可能存在的區(qū)間是（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
【分析】根據(jù)題意，求出g（x）的解析式，分析g（x）的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)判定定理分析可得答案．
【解答】解：已知f（x）＝ex+lnx+2，則，x＞0，
設(shè)g（x）＝f（x）﹣f′（x）﹣e，
則，
易得y＝g（x）（0，+∞）上為增函數(shù)，
又g（2）＜0而g（3）＞0，則則x0可能存在的區(qū)間是（2，3）．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，涉及函數(shù)與方程的關(guān)系，屬于中檔題．
5．（2023?東方校級(jí)模擬）已知函數(shù)，其中n為正整數(shù)，a＜0且為常數(shù)．若對(duì)于任意n，函數(shù)y＝fn（x）在內(nèi)均存在唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．
C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）D．
【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．
【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)fn′（x）＝nxn﹣1+1，
當(dāng)x＞0時(shí)，恒成立，
∴函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
若函數(shù)y＝fn（x）在內(nèi)均存在唯一零點(diǎn)只需即可，
即，
∵n為正整數(shù)，，
∴對(duì)一切n≥1成立，
∵當(dāng)n≥1時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)n＝1時(shí)等號(hào)成立，
∴a∈（﹣2，﹣1）．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)零點(diǎn)存在條件轉(zhuǎn)化為不等式關(guān)系進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．
三．函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系（共22小題）
6．（2023?普陀區(qū)校級(jí)模擬）定義符號(hào)函數(shù)，則方程的解集為 ．
【分析】由，可得x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），按照分段函數(shù)分類討論即可．
【解答】解：由方程，可得x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），
當(dāng)x＞0時(shí)，原式等價(jià)于2lg2x+0＝1，lg2x＝，x＝＝；
當(dāng)x＜0時(shí)，原式等價(jià)于0+2×2x＝1，即2x+1＝1，x+1＝0，x＝﹣1，
故答案為：{﹣1，}．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于新概念題，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題．
7．（2023?敘州區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)f（x）＝|x﹣m|．
（1）當(dāng)m＝2時(shí)，解不等式；
（2）若函數(shù)有三個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【分析】（1）利用零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式；
（2）函數(shù)有三個(gè)不等實(shí)根轉(zhuǎn)化為x|x﹣m|＝1有三個(gè)實(shí)根，分m＝0，m＞0及m＜0三種情況討論即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解答】解：（1）當(dāng)m＝2時(shí)，，
即．
當(dāng)x≤1時(shí)，，即，此式恒成立，故x≤1；
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，，即，解得；
當(dāng)x≥2時(shí)，，即，此式不成立，不等式無(wú)解．
綜上，原不等式的解集是．
（2）由，可得x|x﹣m|＝1，顯然當(dāng)x＝0時(shí)，等式不成立，
令．
①當(dāng)m＝0時(shí)，g（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，不符合題意，舍去．
②當(dāng)m＞0時(shí)，g（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在[m，+∞）上單調(diào)遞增，且g（m）＝0，
則只需滿足，解得m＞2或m＜﹣2，故m＞2．
③當(dāng)m＜0時(shí)，g（x）在（﹣∞，m]上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且g（m）＝0，
故不可能有三個(gè)實(shí)數(shù)根．
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為（2，+∞）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含絕對(duì)值不等式的解法、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題．
8．（2023?甲卷）函數(shù)y＝f（x）的圖象由y＝cs（2x+）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則y＝f（x）的圖象與直線y＝x﹣的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用三角函數(shù)的圖象變換，求解函數(shù)的解析式，然后判斷兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．
【解答】解：y＝cs（2x+）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到f（x）＝cs（2x+）＝﹣sin2x，
在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖：
y＝f（x）的圖象與直線y＝x﹣的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為：3．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象的變換，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的求法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是中檔題．
9．（2023?武侯區(qū)校級(jí)模擬）函數(shù)f（x）＝ex﹣1﹣sin（11x）在[0，+∞）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】令f（x）＝0，可得ex﹣1＝sin（11x），作出y＝ex﹣1，y＝sin（11x）的圖象，結(jié)合圖象即可得解．
【解答】解：令f（x）＝0，可得ex﹣1＝sin（11x），
作出函數(shù)y＝ex﹣1，y＝sin（11x）的大致圖象如下圖所示，
由于，且，
結(jié)合圖象可知，函數(shù)y＝ex﹣1與函數(shù)y＝sin（11x）的圖象在[0，+∞）上有2個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)f（x）在[0，+∞）上有2個(gè)零點(diǎn)．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．
10．（2023?西寧二模）函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】令f（x）＝0兩個(gè)解為零點(diǎn)，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)換成，h（x）＝|x﹣1|兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，作圖即可求出零點(diǎn)，且g（x）和h（x）的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，零點(diǎn)也關(guān)于x＝1對(duì)稱，即可求出所有零點(diǎn)之和．
【解答】解：令f（x）＝0，得，解得x＝﹣3或x＝5，即為零點(diǎn)，
令，h（x）＝|x﹣1|，
g（x）的周期，對(duì)稱軸x＝1+4k，k∈Z，且h（x）的對(duì)稱軸x＝1，
做出和h（x）＝|x﹣1|的圖象如圖所示：
顯然，f（x）在（0，1）和（1，2）上各存在一個(gè)零點(diǎn)，
∵，h（4）＝3＞g（4）＝0，在（4，5）上兩函數(shù)必存在一個(gè)交點(diǎn)，
∴f（x）在（4，5]上有兩個(gè)零點(diǎn)，同理f（x）在[﹣3，﹣2）上存在兩個(gè)零點(diǎn)，
所以f（x）在[﹣3，5]上存在6個(gè)零點(diǎn)，
因?yàn)間（x）和h（x）關(guān)于x＝1對(duì)稱，則f（x）零點(diǎn)關(guān)于x＝1對(duì)稱，
所以f（x）的所有零點(diǎn)之和為6×1＝6．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
11．（2023?豐臺(tái)區(qū)校級(jí)三模）設(shè)函數(shù)f（x）＝Asinωxcsωx+cs2ωx（A＞0，ω＞0），從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使得f（x）存在．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)，若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣m恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．
條件①：f（x）＝f（﹣x）；
條件②：f（x）的最小值為；
條件③：f（x）的圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為．
【分析】（1）由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的奇偶性可排除條件①，先利用輔助角公式化簡(jiǎn)f（x），再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)x的取值范圍的取值范圍，再求出函數(shù)在上的單調(diào)性，依題意y＝f（x）與y＝m在上有兩個(gè)交點(diǎn)，即可求出參數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）若選擇條件①，
因?yàn)椋?br>所以，
由f（x）＝f（﹣x）可得Asin2ωx＝0對(duì)x∈R恒成立，與A＞0，ω＞0矛盾，
所以選擇條件②③，
由題意可得，
其中，，
因?yàn)閒（x）的最小值為，所以，解得，
所以，設(shè)，則，
由f（x）的圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為，可得，
所以，解得ω＝1，
所以；
（2）當(dāng)時(shí)，，
令，解得，所以f（x）在上單調(diào)遞增，
且，則，
令，解得，所以f（x）在上單調(diào)遞減，
且，則，
因?yàn)楹瘮?shù)g（x）＝f（x）﹣m恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以y＝f（x）與y＝m在上有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)在函數(shù)解析式求解中的應(yīng)用，還考查了由函數(shù)零點(diǎn)求解參數(shù)的范圍，屬于中檔題．
12．（2023?乙卷）函數(shù)f（x）＝x3+ax+2存在3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣4，﹣1）D．（﹣3，0）
【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，f（x）存在3個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)為f′（x）＝0有兩個(gè)不同的根，且極大值大于0極小值小于0，求函數(shù)的極值，建立不等式關(guān)系即可．
【解答】解：f′（x）＝3x2+a，
若函數(shù)f（x）＝x3+ax+2存在3個(gè)零點(diǎn)，
則f′（x）＝3x2+a＝0，有兩個(gè)不同的根，且極大值大于0極小值小于0，
即判別式Δ＝0﹣12a＞0，得a＜0，
由f′（x）＞0得x＞或x＜﹣，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得﹣＜x＜，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減，
即當(dāng)x＝﹣時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，當(dāng)x＝時(shí)，f（x）取得極小值，
則f（﹣）＞0，f（）＜0，
即﹣（﹣+a）+2＞0，且（﹣+a）+2＜0，
即﹣×+2＞0，①，且×+2＜0，②，
則①恒成立，
由×+2＜0，2＜﹣×，
平方得4＜﹣×，即a3＜﹣27，
則a＜﹣3，綜上a＜﹣3，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣3）．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值與0的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．
13．（2023?大武口區(qū)校級(jí)四模）已知函數(shù)f（x）＝，若方程f（x）＝a（x+3）有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．（﹣∞，4﹣2）B．（4﹣2，4+2）
C．（0，4﹣2]D．（0，4﹣2）
【分析】y＝a（x+3）恒過(guò)點(diǎn)（﹣3，0），結(jié)合函數(shù)圖象，先得到a≥0，然后轉(zhuǎn)化為x2+（a+2）x+3a＝0在x∈（﹣2，0）時(shí)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而得到a的范圍．
【解答】解：設(shè)y＝a（x+3），該直線恒過(guò)點(diǎn)（﹣3，0），如圖，
結(jié)合函數(shù)圖象，可知若方程f（x）＝a（x+3）有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a≥0，
又直線y＝a（x+3）與曲線y＝﹣x2﹣2x在x∈（﹣2，0）時(shí)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，
所以x2+（a+2）x+3a＝0在x∈（﹣2，0）時(shí)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
令g（x）＝x2+（a+2）x+3a，則，
解得．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查了二次函數(shù)根的分布問(wèn)題，屬于中檔題．
14．（2023?臺(tái)江區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)f（x）＝xlnx﹣x+|x﹣a|，若f（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知可得y＝|x﹣a|與y＝x﹣xlnx存在兩個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解答】解：由f（x）＝0可知|x﹣a|＝x﹣xlnx，即y＝|x﹣a|與y＝x﹣xlnx存在兩個(gè)交點(diǎn)，
令g（x）＝x﹣xlnx，則g'（x）＝﹣lnx，令g′（x）＝1，解得，
則g（x）在 處的切線方程為，令g′（x）＝﹣1，解得x＝e，
則g（x）在x＝e處的切線方程為y＝﹣x+e，且這兩條切線在x軸上的截距分別為﹣，e，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根，考要導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬中檔題．
15．（2023?新吳區(qū)校級(jí)模擬）從古至今，中國(guó)人一直追求著對(duì)稱美學(xué)．世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)——故宮：金黃的宮殿，朱紅的城墻，漢白玉的階，琉璃瓦的頂……沿著一條子午線對(duì)稱分布，壯美有序，和諧莊嚴(yán)，映祇著藍(lán)天白云，宛如東方仙境．再往遠(yuǎn)眺，一線貫穿的對(duì)稱風(fēng)格，撐起了整座北京城．某建筑物的外形輪廓部分可用函數(shù)f（x）＝+的圖像來(lái)刻畫，滿足關(guān)于x的方程f（x）＝b恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3＝b（其中a，b∈（0，+∞）），則b的值為（ ）
A．﹣B．C．D．
【分析】先確定函數(shù)f（x）的對(duì)稱性，然后根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性確定根，從而列出關(guān)于a，b的方程組，解方程組即可求解．
【解答】解：因?yàn)閒（x+2a）＝+＝+＝f（﹣x），
所以關(guān)于x＝a對(duì)稱，
所以f（x）＝b的根應(yīng)成對(duì)出現(xiàn)，
又因?yàn)閤的方程f（x）＝b恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3＝b，
所以該方程f（x）＝b的一個(gè)根是a，得x1＝2a﹣b，x2＝a，x3＝b，
所以，由f（a）＝2＝b，得b2＝4a，
當(dāng)b﹣2a≥0，即0＜b≤2時(shí)，
f（b）＝+＝b，①則﹣＝＝＝﹣，②
由①﹣②可求出b＝，所以a＝；
當(dāng)b﹣2a＜0，即b＞2時(shí)，f（b）＝+＝b，③
﹣＝＝＝﹣2，
由③﹣④得方程組無(wú)實(shí)數(shù)解；
綜上，方程組的解為a＝，b＝，
所以b﹣a＝﹣＝．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的對(duì)稱性、函數(shù)的零點(diǎn)及分類討論，屬于中檔題．
16．（2023?浙江二模）已知函數(shù)f（x）＝|x﹣a|ex，則f（f（x））＝a至多有 7 個(gè)實(shí)數(shù)解．
【分析】分類討論x，a的大小關(guān)系脫掉絕對(duì)值符號(hào)，求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而作出函數(shù)的大致圖象，設(shè)t＝f（x），則f（f（x））＝a即f（t）＝a，從而將f（f（x））＝a的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，即可求得答案．
【解答】解：由f（x）＝|x﹣a|ex可得f（x）≥0，由f（f（x））＝a知a≥0，f（0）＝a，
當(dāng)x≤a時(shí)，f（x）＝（a﹣x）ex，f′（x）＝（a﹣x﹣1）ex，
當(dāng)x≤a﹣1時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在（﹣∞，a﹣1]單調(diào)遞增，
當(dāng)a﹣1＜x≤a時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（a﹣1，a]單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞a時(shí)，f（x）＝（x﹣a）ex，f′（x）＝（x﹣a+1）ex＞0，f（x）在（a，+∞）單調(diào)遞增，
則可作出函數(shù)f（x）＝|x﹣a|ex的大致圖像如圖：
三個(gè)圖分別對(duì)應(yīng)a＝1，a＜1，a＞1時(shí)的情況，
設(shè)t＝f（x），則f（f（x））＝a即f（t）＝a，
則f（t）＝a的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題即為y＝f（t），y＝a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，
結(jié)合f（x）＝|x﹣a|ex的圖象可知y＝f（t），y＝a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多是3個(gè)，
即為圖2個(gè)和圖3所示情況，
不妨設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為t1，t2，t3，t1＜t2＜t3，當(dāng)如圖2所示時(shí)，t1＜0，t2＝0，t3＞0，
此時(shí)t1＝f（x）無(wú)解，t2＝f（x）有1個(gè)解，t3＝f（x）最多有3個(gè)解，
故此時(shí)最多有4個(gè)解；
當(dāng)如第3個(gè)圖所示時(shí)，t1＝0，0＜t2＜a，t3＞a，
此時(shí)t1＝f（x）有一個(gè)解，t2＝f（x）最多有3個(gè)解，t3＝f（x）最多有3個(gè)解，
故此時(shí)最多有7個(gè)解；
故答案為：7．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
17．（2023?浙江模擬）若函數(shù)f（x）＝ax2﹣b（a，b∈R）與函數(shù)g（x）＝x+的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，則a的取值范圍為 （﹣，0）或（0，） ．
【分析】把兩個(gè)函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為三次方程有三個(gè)根的問(wèn)題，設(shè)出三個(gè)根，利用恒等式建立關(guān)系 并求解作答．
【解答】解：依題意，方程，即ax3﹣x2﹣bx﹣1＝0有三個(gè)不等實(shí)根，
設(shè)兩個(gè)函數(shù)圖象的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即方程的三個(gè)根為x1＝m﹣d，x2＝m，x3＝m+d（d≠0），
于是aa3﹣x﹣bx﹣1＝a[x﹣（m﹣d）]（x﹣m）[x﹣（m+d）]，
整理得，
因此，則＝（﹣d2），即有，解得﹣＜a＜0或0＜a＜，
所以a的取值范圍為（﹣，0）或（0，）．
故答案為：（﹣，0）或（0，）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題．
18．（2023?市中區(qū)校級(jí)模擬）已知f（x）是定義域?yàn)镽的函數(shù)，f（2x+20）為奇函數(shù)，f（2x+21）為偶函數(shù)，當(dāng)﹣1≤x＜0時(shí)，f（x）＝﹣．若y＝f（x）﹣a（x+6）（a＞0）有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 （，）
【分析】由f（2x+20）為奇函數(shù)可得f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（20，0）對(duì)稱，由f（2x+21）為偶函數(shù)可得f（x）的圖像關(guān)于直線x＝21對(duì)稱，從而可得4為f（x）的周期．再結(jié)合圖像即可求解．
【解答】解：由f（2x+20）為奇函數(shù)，得f（﹣2x+20）＝﹣f（2x+20），則f（20﹣2x）+f（20+2x）＝0，所以f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（20，0）對(duì)稱，
則f（40﹣x）＝﹣f（x），
由f（2x+21）為偶函數(shù)，得f（﹣2x+21）＝f（2x+21），
則f（x）的圖像關(guān)于直線x＝21對(duì)稱，則f（42﹣x）＝f（x）．
因?yàn)椹乫（x）＝f（40﹣x）＝f[42﹣（x+2）]＝f（x+2），所以f（x+2）＝﹣f（x），
所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），則4為f（x）的周期，
由函數(shù)的周期性可知，f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，
因?yàn)楫?dāng)﹣1≤x＜0時(shí)，f（x）＝﹣，所以當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）＝，
對(duì)y＝兩邊平方，整理可得（x﹣1）2+y2＝1（y≥0），
故該函數(shù)的圖像為圓心（1，0），半徑為1的半圓，
若y＝f（x）﹣a（x+6）（a＞0）有5個(gè)零點(diǎn)，只需曲線y＝f（x）與直線y＝a（x+6）（a＞0）有5個(gè)交點(diǎn)，
在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝f（x）與直線y＝a（x+6）（a＞0），如圖：
當(dāng)直線y＝a（x+6）（a＞0）與半圓 （x+3）2+y2＝1（y≥0）相切時(shí)，＝1，解得a＝；
當(dāng)直線y＝a（x+6）（a＞0）與半圓 （x﹣1）2+y2＝1（y≥0）相切時(shí)，＝1，解得a＝；
結(jié)合圖形可知＜a＜，
故答案為：（，）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性，也考查了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．
19．（2023?沙河口區(qū)校級(jí)一模）已知函數(shù)（ω＞0，|φ|＜π），其圖像的一條對(duì)稱軸與相鄰對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)相差，_____，從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在空白橫線中．
①函數(shù)f（x）的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱且f（0）＜0；
②函數(shù)f（x）的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為且．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若關(guān)于x的方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)題意，由三角恒等變換化簡(jiǎn)，然后由條件可得ω，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即可求得φ；
（2）根據(jù)題意，將方程根問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，再結(jié)合換元法求得 的值域，即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）因?yàn)?br>＝2sinωxcsφ+2sinφ﹣2（1﹣csωx）sinφ
＝2sinωxcsφ+2csωxsinφ＝2sin（ωx+φ），
又其圖像的一條對(duì)稱軸與相鄰對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)相差，
所以，即T＝π，所以ω＝2，即f（x）＝2sin（2x+φ），
若選①，則函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后為，
又其為偶函數(shù)，所以，即，
又因?yàn)閨φ|＜π，且f（0）＜0，所以，所以；
若選②，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為，
則，即，所以，
又因?yàn)閨φ|＜π，且，所以，所以，
故無(wú)論選①還是選②，都有
（2）因?yàn)?br>＝
＝，令，則t∈[﹣1，1]，
即y＝2t2+2t+1，t∈[﹣1，1]，則
則方程有實(shí)根，
即與y2＝2m有交點(diǎn)，
所以，則
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
20．（2022?東城區(qū)校級(jí)三模）已知函數(shù)f（x）＝ex﹣ax﹣1．
（Ⅰ）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅲ）當(dāng)0＜a＜e時(shí)，設(shè)函數(shù)﹣4，x∈（0，π），判斷g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．
【分析】（Ⅰ）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，求出f′（0）及f（0），利用點(diǎn)斜式得答案；
（Ⅱ）分a≤0及a＞0判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而得到極值情況；
（Ⅲ）當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，令g（x）＝0，可得ex﹣ax﹣1﹣4sinx＝0，令h（x）＝ex﹣ax﹣1﹣4sinx，x∈（0，π），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得出結(jié)論．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝ex﹣a，則f′（0）＝1﹣a，
又f（0）＝0，則所求切線方程為y＝（1﹣a）x；
（Ⅱ）當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＝ex﹣a＞0，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＝ex﹣a＝0，解得x＝lna，易知當(dāng)x∈（﹣∞，lna）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（lna，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）的極小值為f（lna）＝a﹣alna﹣1，無(wú)極大值；
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)極值；當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）有極小值a﹣alna﹣1，無(wú)極大值；
（Ⅲ）g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，證明如下：
當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，令，則ex﹣ax﹣1﹣4sinx＝0，
令h（x）＝ex﹣ax﹣1﹣4sinx，x∈（0，π），則h′（x）＝ex﹣a﹣4csx，令φ（x）＝h′（x），則φ′（x）＝ex+4sinx＞0在（0，π）上恒成立，
∴φ（x）＝h′（x）在（0，π）上為增函數(shù)，
由0＜a＜e可知，h′（0）＝﹣3﹣a＜0，h′（π）＝eπ+4﹣a＞0，
∴h′（x）在（0，π）上存在唯一零點(diǎn)x0，且當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（x0，π）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
又，而h（x）在（x0，π）上單調(diào)遞增，
∴h（x）在（x0，π）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，h（x）＜h（0）＝0，h（x）無(wú)零點(diǎn)；
所以，h（x）在（0，π）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以，g（x）在（0，π）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及零點(diǎn)，考查邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
21．（2023?皇姑區(qū)校級(jí)模擬）已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x）滿足f（1﹣2x）＝f（1+2x），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＝x，若將方程f（x）＝lgn+1|x|（n∈N*）實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)記為an，則＝ ．
【分析】由條件分析得函數(shù)的周期性，結(jié)合對(duì)稱性作出草圖，分析兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，得出數(shù)列通項(xiàng)，裂項(xiàng)相消求和即可．
【解答】解：因?yàn)槎x域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x）滿足f（1﹣2x）＝f（1+2x），
所以f（﹣x）＝f（x），f（1﹣x）＝f（1+x），所以f（﹣x）＝f（x+2）＝f（x），
所以函數(shù)f（x）是以2為周期得周期函數(shù)，
方程f（x）＝lgn+1|x|（n∈N*）的實(shí)數(shù)解個(gè)數(shù)，
即函數(shù)y＝f（x），y＝lgn+1|x|（n∈N*）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
不難發(fā)現(xiàn)y＝lgn+1|x|（n∈N*）也是偶函數(shù)，
所以兩函數(shù)的交點(diǎn)是關(guān)于縱軸對(duì)稱的，
這里只分析x＞0的情況．
結(jié)合條件作出兩函數(shù)簡(jiǎn)要圖象如下：
當(dāng)n＝1時(shí)，
此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，即a1＝2，
當(dāng)n＝2時(shí)，
此時(shí)有4個(gè)交點(diǎn)，即a2＝4，
當(dāng)n＝3時(shí)，
此時(shí)有6個(gè)交點(diǎn)，即a3＝6，以此類推，可知an＝2n，
故＝（﹣），
所以＝（1﹣）＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性、周期性、函數(shù)與方程思想，也考查了數(shù)形結(jié)合思想，裂項(xiàng)相消求和，屬于中檔題．
22．（2022?上杭縣校級(jí)模擬）已知函數(shù)f（x）＝sinx﹣xcsx．
（1）證明：當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，f（x）＞0；
（2）記函數(shù)g（x）＝f（x）﹣x，判斷g（x）在區(qū)間（﹣2π，2π）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【分析】（1）求導(dǎo)后可知f（x）在（0，π）上單調(diào)遞增，由f（x）＞f（0）＝0可得結(jié)論；
（2）由g（π）＝0可知x＝π是g（x）的一個(gè)零點(diǎn)；分別在x∈（，π）和x∈（π，2π）的情況下，結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而得到g（x）的單調(diào)性，確定區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，得到g（x）在（0，2π）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可得最終結(jié)果．
【解答】解：（1）證明：由題意得：f′（x）＝xsinx；
當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，sinx＞0，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，π）上單調(diào)遞增，
∴f（x）＞f（0）＝0；
（2）因?yàn)間（x）＝sinx﹣xcsx﹣x，g'（x）＝xsinx﹣1，
∵g（π）＝sinπ﹣πcsπ﹣π＝0，
∴x＝π是g（x）的一個(gè)零點(diǎn)；
①當(dāng)x∈（0，]時(shí)，設(shè)h（x）＝sinx﹣x，則h′（x）＝csx﹣1＜0，
∴h（x）在（0，]上單調(diào)遞減，
∴h（x）＜h（0）＝0，
又﹣xcsx＜0，
∴g（x）＜0，
即g（x）在（0，]上無(wú)零點(diǎn)；
②當(dāng)x∈（，π）時(shí)，g″（x）＝sinx+xcsx，g′″（x）＝2csx﹣xsinx＜0，
∴g″（x）在（，π）上單調(diào)遞減，
又g″（）＝1＞0，g″（π）＝﹣π＜0，
∴?x0∈（，π），使得g″（x0）＝0，
當(dāng)x∈（，x0）時(shí)，g″（x）＞0；當(dāng)x∈（x0，π）時(shí)，g″（x）＜0；
∴g′（x）在（，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，π）上單調(diào)遞減；
∵g′（x0）＞g'（）＝﹣1＞0，g′（π）＝﹣1＜0，
∴g′（x）在（，π）上存在唯一零點(diǎn)x1，
當(dāng)x∈（，x1）時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)x∈（x1，π）時(shí)，g′（x）＜0；
∴g（x）在（，x1）上單調(diào)遞增，在（x1，π）上單調(diào)遞減，
∵g（x1）＞g（π）＝0，g（）＝1﹣＜0，
∴g（x）在（，π）有唯一零點(diǎn)；
③當(dāng)x∈（π，2π）時(shí)，sinx＜0，
∴g′（x）＜0，∴g（x）在（π，2π）上單調(diào)遞減，
∴g（x）＜g（π）＝0，
∴g（x）在（π，2π）上無(wú)零點(diǎn)；
綜上所述：g（x）在（0，2π）上有兩個(gè)零點(diǎn)；
∵g（﹣x）＝﹣sinx+xcsx+x＝﹣g（x），
∴g（x）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴g（x）在（﹣2π，0）上有兩個(gè)零點(diǎn)；
又g（0）＝0，
∴g（x）在（﹣2π，2π）上共有5個(gè)零點(diǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，解題基本思路是能夠根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的形式，對(duì)所給區(qū)間進(jìn)行分段，通過(guò)說(shuō)明導(dǎo)函數(shù)在每段區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，得到原函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，屬于難題．
23．（2022?日照二模）已知函數(shù)，其中a＞0．
（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）討論方程根的個(gè)數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)已知條件去掉絕對(duì)值，再利導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值即可求解；
（2）根據(jù)已知條件及對(duì)數(shù)恒等式，利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而得出自變量的關(guān)系，再結(jié)合方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)即可求解．
【解答】解析：（1）a＝1時(shí)，．
①0＜x＜1時(shí)，，
，
顯然此時(shí)f'（x）＜0，即f（x）在0＜x＜1時(shí)單調(diào)遞減；
②x＞1時(shí)，
．
顯然此時(shí)f'（x）＞0，即f（x）在x＞1時(shí)單調(diào)遞增；
故f（x）的最小值是f（1）＝2．
（2）由題意可得，x＞0，
則，
即．
所以f（ex）＝f（ax）．
0＜x＜1時(shí)，；
x＞1時(shí)，；
所以，f（x）在（0，1）上遞減；在（1，+∞）上遞增．
又因?yàn)?，所以f（ex）＝f（ax），當(dāng)且僅當(dāng)ex＝ax或．
又ex＞1，故ex＝ax和不可能同時(shí)成立．
所以方程根的個(gè)數(shù)是
兩函數(shù)s（x）＝ex﹣ax和的零點(diǎn)個(gè)數(shù)之和，其中x＞0．
當(dāng)s（x）＝0時(shí)，函數(shù)s（x）＝ex﹣ax的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)換為直線y＝a與函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
，
易知0＜x＜1時(shí)，h（x）單調(diào)遞減，x＞1時(shí)，h（x）單調(diào)遞增；
所以h（x）在x＝1處取得最小值為e，
所以0＜a＜e時(shí)，直線y＝a與函數(shù)h（x）圖像無(wú)交點(diǎn)，函數(shù)s（x）無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)a＝e時(shí)，直線y＝a與函數(shù)h（x）圖像有一個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)s（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a＞e時(shí)，直線y＝a與函數(shù)h（x）圖像有2個(gè)交點(diǎn)函數(shù)，s（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．
同理：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)y＝xex圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
易知，函數(shù)y＝xex單調(diào)遞增，且在x＝0處的值為0，
所以a＞0時(shí)，t（x）在（0，+∞）上必有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，0＜a＜e時(shí)，方程有一個(gè)根；a＝e時(shí)，方程有二個(gè)根；a＞e時(shí)，方程有三個(gè)根．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，屬于難題．
24．（2022?香坊區(qū)校級(jí)一模）已知f（x）＝lnx，．
（1）證明：函數(shù)h（x）＝f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
（2）若函數(shù)F（x）＝λf（x）﹣g（x）在（0，+∞）上有3個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
【分析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)h（1），即可得證；
（2）令F（x）＝λlnx﹣x+（x＞0），求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令﹣x2+λx﹣1＝0，則Δ＝λ2﹣4，分﹣2≤λ≤2、λ＜﹣2與λ＞2三種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得解．
【解答】解：（1）證明：因?yàn)椋?br>∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
且h（1）＝0，
∴h（x）在（0，+∞）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
（2）
令，
①當(dāng)Δ＝λ2﹣4≤0，即﹣2≤λ≤2時(shí)，
此時(shí)F（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，至多有一零點(diǎn)，﹣2≤λ≤2舍．
②當(dāng)λ＜﹣2時(shí)，，
此時(shí)F（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，至多有一零點(diǎn)，λ＜﹣2舍．
③當(dāng)λ＞2時(shí)，Δ＝λ2﹣4＞0，
不妨設(shè)﹣x2+λx﹣1＝0兩根分別為，，
由韋達(dá)定理知0＜x1＜1＜x2
所以F（x）在（0，x1）上單調(diào)遞減，在（x1，x2）上單調(diào)遞增，在（x2，+∞）上單調(diào)遞減，
1°因?yàn)镕（1）＝0，所以此時(shí)F（x）在（x1，x2）上有一個(gè)零點(diǎn)，
由lnx＜x（x＞0）可得，；
2°當(dāng)0＜x＜1時(shí)，，
令，得且F（x3）＞0，F(xiàn)（x1）＜0，
所以此時(shí)F（x）在（0，x1）上有一個(gè)零點(diǎn)；
3°當(dāng)x＞1時(shí)，，
令，得且F（x4）＜0，F(xiàn)（x2）＞0，
所以此時(shí)F（x）在（x2，+∞）上有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上若F（x）＝λf（x）﹣g（x）在（0，+∞）上有3個(gè)零點(diǎn)則λ＞2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用、分類討論思想，綜合性較強(qiáng)，屬于難題．
25．（2022?開福區(qū)校級(jí)一模）已知函數(shù)f（x）＝（x+b）（ex﹣a）（b＞0）在（﹣1，f（﹣1））處的切線l方程為（e﹣1）x+ey+e﹣1＝0．
（1）求a，b，并證明函數(shù)y＝f（x）的圖象總在切線l的上方（除切點(diǎn)外）；
（2）若方程f（x）＝m有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1＜x2，證明：．
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得f（﹣1）＝0，，即可解得a、b，從而得到f（x）＝（x+1）（ex﹣1），設(shè)f（x）在（﹣1，0）處的切線l方程為y＝h（x），令F（x）＝f（x）﹣h（x），利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證；
（2）由（1）知f（x1）≥h（x1），設(shè)h（x）＝m的根為x'1，則，即可得到x1′≤x1，再設(shè)y＝f（x）在（0，0）處的切線方程為y＝t（x），令T（x）＝f（x）﹣t（x），利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到f（x2）≥t（x2）．設(shè)t（x）＝m的根為x2′，則x2′＝m，再說(shuō)明x'2≥x2，即可得證．
【解答】解：（1）由題意f（﹣1）＝0，所以，
又f'（x）＝（x+b+1）ex﹣a，所以，
若，則b＝2﹣e＜0，與b＞0予盾，故a＝1，b＝1．
∴f（x）＝（x+1）（ex﹣1），f（0）＝0，f（﹣1）＝0，
證明：設(shè)f（x）在（﹣1，0）處的切線l方程為，
令F（x）＝f（x）﹣h（x），
即，
當(dāng)x≤﹣2時(shí)，，
當(dāng)x＞﹣2時(shí)，設(shè)，G'（x）＝（x+3）ex＞0，
故函數(shù)F'（x）在（﹣2，+∞）上單調(diào)遞增，又F'（﹣1）＝0，
所以當(dāng)x∈（﹣2，﹣1）時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0，當(dāng)x∈（﹣1，+∞）時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0，
綜合得函數(shù)F（x）在區(qū)間（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，
故F（x）≥F（﹣1）＝0，
即函數(shù)y＝f（x）的圖象總在切線l的上方（除切點(diǎn)外）；
（2）證明：由（1）知f（x1）≥h（x1），
設(shè)h（x）＝m的根為x'1，則，
又函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，故h（x'1）＝f（x1）≥h（x1），故x'1≤x1，
設(shè)y＝f（x）在（0，0）處的切線方程為y＝t（x），易得t（x）＝x．
令T（x）＝f（x）﹣t（x）＝（x+1）（ex﹣1）﹣x，T'（x）＝（x+2）ex﹣2，
當(dāng)x≤﹣2時(shí)，T'（x）＝（x+2）ex﹣2≤﹣2＜0，
當(dāng)x＞﹣2時(shí)，設(shè)H（x）＝T'（x）＝（x+2）ex﹣2，則H'（x）＝（x+3）ex＞0，
故函數(shù)T'（x）在（﹣2，+∞）上單調(diào)遞增，又T'（0）＝0，
所以當(dāng)x∈（﹣2，0）時(shí)，T'（x）＜0，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，T'（x）＞0，
綜合得函數(shù)T（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以T（x）≥T（0）＝0，即f（x2）≥t（x2）．
設(shè)t（x）＝m的根為x'2，則x'2＝m，
又函數(shù)t（x）單調(diào)遞增，故t（x'2）＝f（x2）≥t（x2），
故x'2≥x2，又x'1≤x1，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及綜合運(yùn)用，也考查了學(xué)生的推理能力，屬于難題．
26．（2023?海淀區(qū)校級(jí)三模）已知f（x）＝ax2﹣2x﹣bln|x﹣1|，給出以下命題：
①當(dāng)a＝0時(shí)，存在b＞0，f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；
②當(dāng)a＝0時(shí)，存在b＜0，f（x）有三個(gè)不同的零點(diǎn)；
③當(dāng)a＝1時(shí)，對(duì)任意的b∈R，f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱；
④當(dāng)a＝1時(shí)，對(duì)任意的b∈R，f（x）有且只有兩個(gè)零點(diǎn)．
其中所有正確的命題序號(hào)是 ①②③ ．
【分析】利用分類討論，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性分別求解即可．
【解答】解：對(duì)于①，當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝﹣2x﹣bln|x﹣1|，則f（x）定義域?yàn)閧x|x≠1）
當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）＝﹣2x﹣bln（1﹣x），∴f′（x）＝﹣2+＝，
當(dāng)b＞0時(shí)，令f′（x）＝0，解得：，
∴當(dāng)x∈（﹣∞，1﹣b）時(shí)，f（x）＜0；當(dāng) 時(shí)，f（x）＞0；
∴f（x）在（﹣∞，1﹣b）上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增；
f（x）min＝f（1﹣b）＝﹣2+b﹣bln（b），
令t（b）＝﹣2+b﹣bln（b），則t′（b）＝﹣ln（b），
當(dāng)b∈（0，2）時(shí)，t′（b）＞0；當(dāng)b∈（2，+∞）時(shí)，t′（b）＜0；
∴t（b）在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減；
∴t（b）≤t（2）＝0，即當(dāng)b＝2時(shí)，f（0）＝0，則f（x）在（﹣∞，1）上有唯一零點(diǎn)x＝0，
當(dāng)b＝2，x＞1時(shí)，f（x）＝﹣2x﹣2ln（x﹣1），，
f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，f（+1）＝4﹣＞0，f（2）＝﹣4＜0，?x0∈（+1，2），
使得f（x）＝0，∴f（x）在（1，+∞）有唯一零點(diǎn)x＝x0；
則當(dāng)a＝0，b＝2時(shí)，f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，①正確；
對(duì)于②，當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝﹣2x﹣bln|x﹣1|，則f（x）定義域?yàn)閧x|x≠1}；
當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）＝﹣2x﹣bln（1﹣x），∴，
當(dāng)b＜0時(shí)，﹣2+b＜﹣2，2x＜2，∴f′（x）＜0，
∴f（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)遞減；又f（0）＝0，∴f（x）在（﹣∞，1）上有唯一零點(diǎn)x＝0，
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＝﹣2x﹣bln（x﹣1），∴；令f′（x）＝0，解得：．
∴當(dāng) 時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng) 時(shí)，f（x）＜0；
∴f（x）在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減；
f（x）＝f（1﹣b）＝﹣2+b﹣bln（﹣b），令，則，
∴當(dāng)b∈（﹣∞，﹣2）時(shí)，Q'（b）＜0；當(dāng)b∈（﹣2，0）時(shí)，φ'（b）＞0；
∴φ（b）在 （﹣∞，﹣2）上單調(diào)遞減，在（﹣2，0）上單調(diào)遞增；
不妨取b＝﹣2e2，f（x）max＝f（1+e2）＝﹣2+2e2＞0；
∴f（x）在（1，1+e2）上單調(diào)遞增，在（1+e2，+∞）上單調(diào)遞減；
又，f（1+e4）＝﹣2e4﹣2+8e2＝2e2（4﹣e2）﹣2＜0，
∴?x1∈（，1+e2），，使得f（x1）＝f（x2）＝0，
即f（x）在 （1，+∞）上存在兩個(gè)不同零點(diǎn)x＝x1和x＝x2；
則當(dāng)a＝0，b＝﹣2e2 時(shí)，f（x）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，②正確；
對(duì)于③，當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝x2﹣2x﹣bln|x﹣1|，
∴f（2﹣x）＝（2﹣x）2﹣2（2﹣x）﹣bln|2﹣x﹣1|＝x2﹣2x﹣bln|﹣x|＝f（x），
二對(duì)于任意的b∈R，f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，③正確；
對(duì)于④，當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝x2﹣2x﹣bln|x﹣1|，則f（x）定義域?yàn)閧x1}；
當(dāng)b≤0時(shí)，若x＞1，f（x）＝x2﹣2x﹣bln（x﹣1），∴，
則f（x）＞0恒成立，∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，又f（2）＝0，
∴f（x）在 （1，+∞） 上有唯一零點(diǎn)x＝2；
若x＜1，f（x）＝x2﹣2x﹣bln（1﹣x），f′（x）＝2x﹣2+＝；
則f（x）＜0恒成立，∴f（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)遞減，又f（0）＝0，∴f（x）在（﹣∞，1）上有唯一零點(diǎn)x＝0；
∴當(dāng)b≤0時(shí)，f（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)b＞0時(shí)，
若x＞1，f（x）＝x2﹣2x﹣bln（x﹣1），，令f′（x）＝0，
解得： （舍）或 ，
∴當(dāng)x∈（1，1+）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1+，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)不妨取b＝8，則f（x）在（1，3）上單調(diào)遞減，在（3，+∞）上單調(diào)遞增，
f（x）min＝f（3）＝3﹣8ln2＜0；又f（1+e2）＝（1+e2）2﹣2（1+e2）﹣16＝e4﹣17＞0，
?x3∈（3，1+e2），使得f（x3）＝0，又f（2）＝0，f（0）＝0恒成立，
∴當(dāng)b＝8時(shí)，f（x）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，④錯(cuò)誤．
故答案為：①②③．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查分類討論思想，考查運(yùn)算求解能力，屬難題．
27．（2022?乙卷）已知函數(shù)f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．
（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）若f（x）在區(qū)間（﹣1，0），（0，+∞）各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．
【分析】（1）將a＝1代入，對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，求出f′（0）及f（0），由點(diǎn)斜式得答案；
（2）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，分a≥0及a＜0討論，當(dāng)a≥0時(shí)容易判斷不合題意，當(dāng)a＜0時(shí)，設(shè)g（x）＝ex+a（1﹣x2），利用導(dǎo)數(shù)判斷g（x）的性質(zhì)，進(jìn)而判斷得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可得解．
【解答】解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝ln（1+x）+xe﹣x，則，
∴f′（0）＝1+1＝2，
又f（0）＝0，
∴所求切線方程為y＝2x；
（2）＝，
若a≥0，當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，則f（x）＜f（0）＝0，不合題意；
設(shè)g（x）＝ex+a（1﹣x2），g′（x）＝ex﹣2ax，
當(dāng)﹣1≤a＜0時(shí)，在（0，+∞）上，g（x）＞e0+a≥0，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，無(wú)零點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)a＜﹣1時(shí)，當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，則g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，g（0）＝1+a＜0，g（1）＝e＞0，
所以存在唯一的x0∈（0，1），使得g（x0）＝0，且f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，f（x0）＜f（0）＝0，
先證當(dāng)x＞0時(shí)，，
設(shè)，則，
易知當(dāng)0＜x＜2時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單減，當(dāng)x＞2時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單增，
所以，則當(dāng)x＞0時(shí)，，
所以，
再證，
設(shè)，則，
易知當(dāng)0＜x＜1時(shí)，m′（x）＜0，m（x）單減，當(dāng)x＞1時(shí)，m′（x）＞0，m（x）單增，
所以m（x）≥m（1）＝0，即，
則由a＜﹣1，可得，
則當(dāng)x＞1+a2時(shí)，＞0，
此時(shí)f（x）在（0，+∞）上恰有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，g′（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞增，，
故存在唯一的x1∈（﹣1，0），使得g′（x1）＝0，且g（x）在（﹣1，x1）上單調(diào)遞減，在（x1，0）上單調(diào)遞增，
，
故存在唯一的x2∈（﹣1，x1），使得g（x2）＝0，
所以f（x）在（﹣1，x2）上單調(diào)遞增，在（x2，0）上單調(diào)遞減，
x→﹣1時(shí)，f（x）→﹣∞，f（0）＝0，此時(shí)f（x）在（﹣1，0）上恰有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，﹣1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)問(wèn)題，考查分類討論思想及運(yùn)算求解能力，屬于難題．
四．二分法的定義與應(yīng)用（共3小題）
28．（2022?開平市校級(jí)模擬）在下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）＝ex+4x﹣3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．D．
【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)f（x）＝ex+4x﹣3單調(diào)遞增，運(yùn)用零點(diǎn)判定定理，判定區(qū)間．
【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝ex+4x﹣3
∴f′（x）＝ex+4
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＝ex+4＞0
∴函數(shù)f（x）＝ex+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上為f（0）＝e0﹣3＝﹣2＜0，
f（）＝+2﹣3＝﹣1＝﹣e0＞0，
∴f（0）?f（）＜0，
∴函數(shù)f（x）＝ex+4x﹣3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（0，）
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法，借助導(dǎo)數(shù)，函數(shù)值，屬于中檔題．
29．（2023?梅州二模）用二分法求方程近似解時(shí)，所取的第一個(gè)區(qū)間可以是（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
【分析】，判斷函數(shù)單調(diào)性，求出區(qū)間的端點(diǎn)的函數(shù)值，再根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理即可得出答案．
【解答】解：令，
因?yàn)楹瘮?shù)在（0，+∞）上都是增函數(shù)，
所以函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)，，
所以函數(shù)在區(qū)間（1，2）上有唯一零點(diǎn)，
所以用二分法求方程近似解時(shí)，所取的第一個(gè)區(qū)間可以是（1，2）．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二分法的定義與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
30．（2023?遼寧三模）人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問(wèn)題．牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法．這種求方程根的方法，在科學(xué)界已被廣泛采用，例如求方程x3+2x2+3x+3＝0的近似解，先用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，令f（x）＝x3+2x2+3x+3，f（﹣2）＝﹣3＜0，f（﹣1）＝1＞0，得（﹣2，﹣1）上存在零點(diǎn)，取x0＝﹣1，牛頓用公式反復(fù)迭代，以xn作為f（x）＝0的近似解，迭代兩次后計(jì)筫得到的近似解為 ；以（﹣2，﹣1）為初始區(qū)間，用二分法計(jì)算兩次后，以最后一個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)值作為方程的近似解，則近似解為 ．
【分析】由牛頓法公式結(jié)合二分法的定義求解即可．
【解答】解：f′（x）＝3x2+4x+3，
迭代1次后，，
迭代2次后，，
用二分法計(jì)算第1次，區(qū)間（﹣2，﹣1）的中點(diǎn)為，，，
所以近似解在上，
用二分法計(jì)算第2次，區(qū)間的中點(diǎn)為，，，
所以近似解在上，取其中點(diǎn)值，所求近似解為．
故答案為：；．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二分法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
五．函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用（共4小題）
31．（2023?湖北模擬）已知函數(shù)f（x）＝xα，g（x）＝xβ，其中x∈[0，+∞），0＜α＜1，β＞1，若點(diǎn)，，，滿足|MP|＝|NQ|，則（ ）
A．4α﹣4β＝2α+βB．4α+4β＝2α+βC．2α﹣2β＝2α+βD．2α+2β＝2α+β
【分析】由|MP|＝|NQ|且橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等，知縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值對(duì)應(yīng)相等，化簡(jiǎn)即得．
【解答】解：因?yàn)閨MP|＝|NQ|，且0＜α＜1，β＞1，
故，
故，則2α+2β＝2α+β．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
32．（2023?江西模擬）已知函數(shù)f（x）＝xex 與g（x）＝lnx+（a2﹣2a﹣2）x+1，（a∈R）的圖象存在公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣∞，﹣1）
C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）
【分析】根據(jù)題目條件列出方程，然后同構(gòu)變形，借助ex﹣x﹣1≥0，即可求得本題答案．
【解答】解：先根據(jù)函數(shù)f（x）＝xex與g（x）＝lnx+（a2﹣2a﹣2）x+1（a∈R）的圖象無(wú)公共點(diǎn)，即相當(dāng)于xex＝lnx+（a2﹣2a﹣2）x+1（a∈R）無(wú)解，
變形得，a2﹣2a﹣2＝ex﹣，
令h（x）＝ex﹣，則h′（x）＝，
令m（x）＝x2ex+lnx，則m（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
而m（）＝e﹣1＜0，m（1）＝e＞0，故m（x）＝0有唯一解，x＝x0，
且?e+lnx0＝0，＜x0＜1，
化簡(jiǎn)得，x0?e＝?ln，
即lnex0?e＝?ln，
設(shè)n（x）＝xlnx，x＞1，
則n′（x）＝1+lnx＞0，
故n（x）＝xlnx在（1，+∞）上為增函數(shù)，
故e＝，
所以x0＝﹣lnx0，
當(dāng)x＞x0時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)x＜x0時(shí)，h′（x）＞0，
所以h（x）≥h（x0）＝e﹣＝＝1，
所以，當(dāng)a2﹣2a﹣2＜1時(shí)無(wú)解，即﹣1＜a＜3．
故函數(shù)f（x）＝xex 與g（x）＝lnx+（a2﹣2a﹣2）x+1，（a∈R）的圖象存在公共點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了轉(zhuǎn)化思想、導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，難點(diǎn)在于確定函數(shù)h（x）的單調(diào)性，屬于中檔題．
33．（2023?靖遠(yuǎn)縣模擬）定義：若函數(shù)y＝f（x）在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0，使得f（x0+k）＝f（x0）+f（k）成立，其中k為大于0的常數(shù)，則稱點(diǎn)（x0，k）為函數(shù)f（x）的k級(jí)“平移點(diǎn)”．
（1）判斷函數(shù)g（x）＝xln（x+1）的2級(jí)“平移點(diǎn)”的個(gè)數(shù)，并求出2級(jí)“平移點(diǎn)”；
（2）若函數(shù)h（x）＝ax2+xlnx在[1，+∞）上存在1級(jí)“平移點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)題意，可得g（x0+2）＝g（x0）+g（2），代入解析式求解即可；
（2）根據(jù)k級(jí)“平移點(diǎn)”定義知h（x+1）＝h（x）+h（1）有解，即可得在[1，+∞）上有解，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、最值，即可求a的范圍．
【解答】解：（1）函數(shù)g（x）＝xln（x+1），x＞﹣1，存在的2級(jí)“平移點(diǎn)”，則g（x0+2）＝g（x0）+g（2），
即g（x0）＝x0ln（x0+1），g（2）＝2ln3，g（x0+2）＝（x0+2）ln（x0+3），
∴（x0+2）ln（x0+3）＝x0ln（x0+1）+2ln3，即（x0+2）ln（x0+3）﹣x0ln（x0+1）﹣2ln3＝0，
令k（x）＝（x+2）ln（x+3）﹣xln（x+1）﹣2ln3，
則，
當(dāng)x＞﹣1時(shí)，，∴k'（x）＞0，
∴k（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，而k（0）＝2ln3﹣2ln3＝0，
∴k（x）在（﹣1，+∞）只有1個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)g（x）＝xln（x+1）的2級(jí)“平移點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1，且2級(jí)“平移點(diǎn)”為（0，2）．
（2）由h（x）＝ax2+xlnx在[1，+∞）上存在1級(jí)“平移點(diǎn)”，則h（x+1）＝h（x）+h（1）有解，
即：a（x+1）2+（x+1）ln（x+1）＝ax2+xlnx+a，得：2ax＝xlnx﹣（x+1）ln（x+1），
∴在[1，+∞）上有解，
令，x∈[1，+∞），則，
∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，則h（x）≥h（1）＝﹣2ln2，
∴2a≥﹣2ln2，即a≥﹣ln2，
實(shí)數(shù)a的取值范圍為：[﹣ln2，+∞）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
34．（2023?閔行區(qū)校級(jí)二模）已知關(guān)于的x函數(shù)y＝f（x），y＝g（x）與y＝h（x）在區(qū)間上恒有f（x）≥h（x）≥g（x），則稱h（x）滿足f★g性質(zhì)
（1）若，，h（x）＝2x2+3，D＝[1，2]，判斷h（x）是否滿足f★g性質(zhì)，并說(shuō)明理由；
（2）若f（x）＝ex，h（x）＝kx+1，且f（x）≥h（x），求k的值并說(shuō)明理由；
（3）若f（x）＝ex，，h（x）＝kx+b（k，b∈R），D＝（0，+∞），試證：b＝k﹣1是h（x）滿足f★g性質(zhì)的必要條件．
【分析】（1）結(jié)合題意，利用配方法與二次函數(shù)的性質(zhì)，分別證明f（x）﹣h（x）≥0，h（x）﹣g（x）≥0即可；
（2）先根據(jù)題意得到x＝0是φ（x）的極小值點(diǎn)，從而求得k＝1，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可；
（3）構(gòu)造函數(shù)F（x）＝ex﹣（+1），求得F（x）的隱零點(diǎn)，結(jié)合題意得到＝，kx0+b＝與k＝，從而得證．
【解答】解：（1）滿足，理由如下：
因?yàn)?，，h（x）＝2x2+3，
所以f（x）﹣h（x）＝x﹣（2x2+3）＝﹣2（x﹣）2+，
所以f（x）﹣h（x）在[1，]上單調(diào)遞增，在[，2]上單調(diào)遞減，
當(dāng)x＝2時(shí)，f（x）﹣h（x）取到最小值0，故f（x）﹣h（x）≥0，
又h（x）﹣g（x）＝2x2+3+2x＝2（x+）2≥0，
綜上，h（x）滿足f★g性質(zhì)；
（2）k＝1，理由如下：
設(shè)φ（x）＝ex﹣（kx+1），x∈R，則φ′（x）＝ex﹣k，
由條件知φ（x）≥0＝φ（0），則x＝0是φ（x）的極小值點(diǎn)，
所以φ′（0）＝1﹣k＝0，即k＝1，
當(dāng)k＝1時(shí)，φ（x）＝ex﹣（kx+1），φ′（x）＝ex﹣1，
當(dāng)x＞0時(shí)，φ′（x）＞0；當(dāng)x＜0時(shí)，φ′（x）＜0；
所以φ（x）≥φ（0）＝0，
即ex≥x+1恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)），
因此k＝1；
（3）證明：設(shè)F（x）＝ex﹣（+1），x＞0，
由（2）所證的ex≥x+1（當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)）知：
F（x）＝ex﹣（+1）＝[xex﹣（x+lnx+1）]＝[ex+lnx﹣（x+lnx+1）]≥[x+lnx+1﹣（x+lnx+1）]＝0，當(dāng)x+lnx＝0時(shí)取等號(hào)，
設(shè)G（x）＝x+lnx，x∈（0，+∞），則G′（x）＝1+＞0，
所以G（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又G（1）＝1＞0，G（e﹣1）＝e﹣1﹣1＜0，
所以存在x0∈（e﹣1，1）使得G（x0）＝0，
即x0+lnx0＝0，則x0＝ln，＝，
又F（x0）＝0，則＝+1，
結(jié)合條件可得≥kx0+b≥+1＝，
所以kx0+b＝，
設(shè)H（x）＝ex﹣kx﹣b，x∈（0，+∞），
則H（x0）＝0，H′（x）＝ex﹣k，
又由已知H（x）≥0＝H（x0），則x0是H（x）的極小值點(diǎn)，
所以H′（x0）＝﹣k＝0，即k＝，
結(jié)合＝，kx0+b＝，可得1+b＝k，故b＝k+1，
所以b＝k﹣1是h（x）滿足f★g性質(zhì)的必要條件．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用、利用轉(zhuǎn)化思想解決恒成立問(wèn)題、導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，屬于難題．
六．函數(shù)最值的應(yīng)用（共2小題）
35．（2022?興慶區(qū)校級(jí)一模）若函數(shù)f（x）＝?csx+3在[﹣，]上的最大值與最小值之和為（ ）
A．6B．3C．4D．8
【分析】f（x）＝?csx+3＝?csx+3，x∈[﹣，]，令g（x）＝?csx，x∈[﹣，]，由函數(shù)的奇偶性，可得g（x）是[﹣，]上的奇函數(shù)，則g（x）max+g（x）min＝g（x0）+g（﹣x0）＝g（x0）﹣g（x0）＝0，即可得出答案．
【解答】解：f（x）＝?csx+3＝?csx+3，x∈[﹣，]，
令g（x）＝?csx，x∈[﹣，]，
g（﹣x）＝?cs（﹣x）＝?csx＝﹣?csx，
所以g（x）＝g（﹣x），
所以g（x）是[﹣，]上的奇函數(shù)，
根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)，g（x）在x＝x0有最大值，則g（x）在x＝﹣x0最小值，
所以g（x）max+g（x）min＝g（x0）+g（﹣x0）＝g（x0）﹣g（x0）＝0，
所以f（x）max+f（x）min＝f（x0）+f（﹣x0）＝g（x0）+3+g（﹣x0）+3＝6，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中需要理清思路，屬于中檔題．
36．（2022?合肥二模）已知函數(shù)f（x）＝x2﹣asinx﹣1，a∈R．
（1）設(shè)函數(shù)g（x）＝f′（x），若y＝g（x）是區(qū)間上的增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a＝2時(shí)，證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．
【分析】（1）求導(dǎo)f′（x）＝2x﹣acsx．又因?yàn)間（x）＝f′（x）＝2x﹣acsx，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)g（x）是區(qū)間上的增函數(shù)，由g′（x）≥0在區(qū)間上恒成立求解；
（2）求導(dǎo)f′（x）＝2x﹣2csx，利用導(dǎo)數(shù)法證明．
【解答】解：（1）∵f′（x）＝2x﹣acsx，
又因?yàn)間（x）＝f′（x）＝2x﹣acsx，
∴g′（x）＝2+asinx，
∵函數(shù)g（x）是區(qū)間上的增函數(shù)，
∴g′（x）＝2+asinx≥0在區(qū)間上恒成立，
若x＝0，則g′（x）＝2≥0恒成立，此時(shí)a∈R；
若x∈（0，]，此時(shí)0＜sinx≤1，
∴g'（x）＝2+asinx≥0恒成立，
即a恒成立；
∴a≥﹣2．
綜合上：a的取值范圍是[﹣2，+∞）；
（2）證明：當(dāng)a＝2時(shí)，f（x）＝x2﹣2sinx﹣1，x∈（0，π），
則f′（x）＝2x﹣2csx，
∵f″（x）＝2+2sinx≥0，
∴f'（x）在區(qū)間（0，π）上單調(diào)遞增．
∵f'（）＝2（﹣）＜0，f′（）＝2（﹣0）＞0，
∴存在x0∈（，），使得f′（x0）＝0．
當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x0，π）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
又f（0）＝﹣1＜0，f（π）＝π2﹣1＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用及恒成立問(wèn)題，關(guān)鍵點(diǎn)是確定確定函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．
七．分段函數(shù)的應(yīng)用（共8小題）
37．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)f（x）＝|3x+1|﹣2|x﹣1|．
（1）畫出y＝f（x）的圖象；
（2）求不等式f（x）＞f（x+1）的解集．
【分析】（1）將函數(shù)零點(diǎn)分段，即可作出圖象；
（2）由于f（x+1）是函數(shù)f（x）向左平移了一個(gè)單位，作出圖象可得答案；
【解答】解：函數(shù)f（x）＝|3x+1|﹣2|x﹣1|＝，
圖象如圖所示
（2）由于f（x+1）的圖象是函數(shù)f（x）的圖象向左平移了一個(gè)單位所得，（如圖所示）
直線y＝5x﹣1向左平移一個(gè)單位后表示為y＝5（x+1）﹣1＝5x+4，
聯(lián)立，解得橫坐標(biāo)為x＝，
∴不等式f（x）＞f（x+1）的解集為{x|x}．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值函數(shù)的解法，分段作出圖象是解題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．
38．（2023?北京模擬）已知函數(shù)，若方程f（x）＝1的實(shí)根在區(qū)間（k，k+1），k∈Z上，則k的最大值是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．1D．2
【分析】根據(jù)x的取值范圍不同，分別解出f（x）＝1根即可得出答案．
【解答】解：當(dāng)x≤﹣2時(shí)，f（x）＝x2﹣5，當(dāng)f（x）＝1時(shí)，解得；
當(dāng)x＞﹣2時(shí)，f（x）＝xlg（x+2），其中f（1）＝lg3＜1，f（2）＝2lg4＝lg16＞1，
當(dāng)f（x）＝1時(shí)，解得x∈（1，2），綜上k的最大值是1．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．
39．（2023?古冶區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，若f（x）的最小值為1，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【分析】討論分段函數(shù)各段上的函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合分類討論研究函數(shù)最小值，進(jìn)而確定a≥0的情況下有滿足要求的情況，再比較兩分段上最小值列不等式求參數(shù)范圍．
【解答】解：由x≤a，則x﹣a﹣1≤﹣1，僅當(dāng)x＝a時(shí)等號(hào)成立，
所以|x﹣a﹣1|＝a+1﹣x≥1，在（﹣∞，a]上遞減，且最小值為1，
對(duì)于y＝x2﹣1在（a，+∞）上，當(dāng)a＜0時(shí)ymin＝﹣1；當(dāng)a≥0時(shí)y＞a2﹣1，無(wú)最小值；
顯然，a＜0時(shí)f（x）的最小值不為1，不合題意；
所以a≥0，此時(shí)必有a2﹣1≥1，可得．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．
40．（2023?河南模擬）已知函數(shù)，若f（m）＜f（2﹣m2），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 （﹣2，1） ．
【分析】畫出分段函數(shù)的圖象，可得函數(shù)的單調(diào)性，把原不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的不等式求解．
【解答】解：作出函數(shù)的圖象如圖，
由圖可知，函數(shù)y＝f（x）在R上為增函數(shù)，
由f（m）＜f（2﹣m2），得m＜2﹣m2，即m2+m﹣2＜0，
解得：﹣2＜m＜1．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣2，1）．
故答案為：（﹣2，1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．
41．（2023?密云區(qū)三模）設(shè)函數(shù)．
①當(dāng)a＝2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為 （﹣∞，1]，[2，+∞） ；
②若?x∈R且x≠0，使得f（1+x）＝f（1﹣x）成立，則實(shí)數(shù)a的一個(gè)取值范圍 （1，+∞） ．
【分析】①把a(bǔ)＝2代入函數(shù)解析式，作出圖象，數(shù)形結(jié)合得答案；
②分a≤0，0＜a≤1和a＞1作出函數(shù)的圖象，由圖可得?x∈R，使得f（1+x）＝f（1﹣x）成立的a的取值范圍．
【解答】解：．
①當(dāng)a＝2時(shí)，f（x）＝，函數(shù)的圖象如圖：
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，1]，[2，+∞）；
②當(dāng)x＜a時(shí)，f（x）＝﹣x2+2x，其圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，
若?x∈R且x≠0，使得f（1+x）＝f（1﹣x）成立，
如圖，
則a＞1，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）．
故答案為：①（﹣∞，1]，[2，+∞）；②（1，+∞）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想與分類討論的數(shù)學(xué)思想，是中檔題．
42．（2023?北流市模擬）函數(shù)f（x）＝，且a≠0，若關(guān)于x的不等式f（x）≥0的解集為[﹣2，+∞），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 [0，] ．
【分析】當(dāng)x＞0時(shí)，由f（x）≥0，運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造新函數(shù)，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、最值，可得a的范圍；再由x≤0時(shí)，由因式分解和二次不等式的解法，討論a的范圍，結(jié)合集合的并集定義，計(jì)算可得所求取值范圍．
【解答】解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝ex﹣ax2，由f（x）≥0，可得a≤，
設(shè)g（x）＝，可得g′（x）＝，
則g（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
可得g（x）＞g（2）＝，
∴a≤；
當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝﹣x2+（a﹣2）x+2a＝﹣（x+2）（x﹣a），
可得當(dāng)a＞﹣2時(shí)，f（x）≥0的解集為[﹣2，a]；
當(dāng)a≤﹣2時(shí)，f（x）≥0的解集為[a，﹣2]，不滿足題意，舍去．
∵關(guān)于x的不等式f（x）≥0的解集為[﹣2，+∞），
當(dāng)a≥0時(shí)，[﹣2，a]∩（﹣∞，0]＝[﹣2，0]，滿足[﹣2，0]∪（0，+∞）＝[﹣2，+∞）；
當(dāng)﹣2＜a＜0時(shí)，[﹣2，a]∩（﹣∞，0]＝[﹣2，a]，不滿足[﹣2，a]∪（0，+∞）＝[﹣2，+∞）．
綜上可得，a的取值范圍是[0，]．
故答案為：[0，]．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，以及不等式的解法、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想、化簡(jiǎn)運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．
43．（2023?攀枝花二模）已知函數(shù)，若存在非零實(shí)數(shù)x0，使得f（1﹣x0）＝f（1+x0）成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 [﹣e﹣2，+∞） ．
【分析】不妨設(shè)x0＞0，由f（1﹣x0）＝f（1+x0），得有正數(shù)解，令g（x）＝（x＞0），則函數(shù)y＝g（x），x＞0的圖象與函數(shù)y＝k的圖象有交點(diǎn)，再由導(dǎo)數(shù)求最值得答案．
【解答】解：，存在非零實(shí)數(shù)x0，使得f（1﹣x0）＝f（1+x0）成立，
不妨設(shè)x0＞0，則1﹣x0＜1，1+x0＞1，可得k（1﹣x0﹣1）+1＝ln（1+x0﹣1），
整理得，由已知方程有正數(shù)解，
令g（x）＝（x＞0），則函數(shù)y＝g（x），x＞0的圖象與函數(shù)y＝k的圖象有交點(diǎn)，
g′（x）＝，當(dāng)0＜x＜e2時(shí)，g'（x）＜0，函數(shù)g（x）在（0，e2）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞e2時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）在（e2，+∞）上單調(diào)遞增．
∴g（x）≥g（e2）＝﹣e﹣2．
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是[﹣e﹣2，+∞）．
故答案為：[﹣e﹣2，+∞）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，是中檔題．
（多選）44．（2023?湖北模擬）已知m＞n＞0，定義：[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[3.1]＝3，[﹣2.1]＝﹣3．若函數(shù)f（x）＝[ex﹣ax]+ln[ax]，其中a＞0，則（ ）
A．當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）存在零點(diǎn)B．若f（x）≥1，則
C．若f（n）≤f（m），則a∈（0，e]D．若f（m）＝0，則[ln（am）]＝0
【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，把a(bǔ)＝1代入可得f（x）≥1，所以f（x）不存在零點(diǎn)；對(duì)于選項(xiàng)B，構(gòu)造函數(shù)，求其最值即可；對(duì)于選項(xiàng)C，用反證法先假設(shè)a＞e，推出矛盾；對(duì)于選項(xiàng)D，令ln[am]＝n，即可得出am的取值范圍即可．
【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?f（x）＝[ex﹣ax]+ln[ax]，，a＞0，
所以當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝[ex﹣x]+ln[x]≥[e﹣1]+ln1＝1，所以f（x）不存在零點(diǎn)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤．
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋?，即 ，所以0＜a≤．
當(dāng)0＜a≤時(shí)，令g（x）＝ex﹣ax，則g'（x）＝ex﹣a，
令g'（x）＝0，解得x＝lna，所以g（x）在（0，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，
又因?yàn)閘na﹣≤ln（）﹣ln2＝﹣[ln（ln2）+ln2]＝﹣ln（ln4）＜0，所以lna≤，
所以f（x）在[，+∞）上遞增，所以f（x）≥f（）≥1．故選項(xiàng)B正確．
對(duì)于選項(xiàng)C，假設(shè)a＞e，則f（）＝[﹣1]≥0，因?yàn)閒（1）＝[e﹣a]+ln[a]≤﹣1+ln2＜0，
又因?yàn)椋?，與f（）＞f（1）矛盾，所以a∈（0，e]正確．故選項(xiàng)C正確．
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)閒（m）＝0，所以f（m）＝[em﹣am]+ln[am]＝0，令ln[am]＝n，n∈N*，所以[am]＝en，n∈N*，
所以n＝0，[am]＝1，所以1≤am＜2，所以0≤lnam＜ln2，即[ln（am）]＝0，故選項(xiàng)D正確．
故選：BCD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題．
八．根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類型（共16小題）
45．（2021?甲卷）青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L＝5+lgV．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（ ）（≈1.259）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
【分析】把L＝4.9代入L＝5+lgV中，直接求解即可．
【解答】解：在L＝5+lgV中，L＝4.9，所以4.9＝5+lgV，即lgV＝﹣0.1，
解得V＝10﹣0.1＝＝＝≈0.8，
所以其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
46．（2023?嘉定區(qū)校級(jí)三模）一般的數(shù)學(xué)建模包含如下活動(dòng)過(guò)程：①建立模型；②實(shí)際情境；③提出問(wèn)題；④求解模型；⑤實(shí)際結(jié)果；⑥檢驗(yàn)結(jié)果，請(qǐng)寫出正確的序號(hào)順序 ②③①④⑥⑤ ．
【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)學(xué)建模的活動(dòng)過(guò)程及順序?qū)懗鼋Y(jié)論作答．
【解答】解：數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，根據(jù)實(shí)際情境，提出問(wèn)題，基于問(wèn)題，建立模型，通過(guò)模型的求解，以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ徒鉀Q問(wèn)題的結(jié)果，
若結(jié)果不符合實(shí)際，還需重新建立模型；若結(jié)果符合實(shí)際，問(wèn)題的回答便有了實(shí)際的結(jié)果，
所以正確的序號(hào)順序是②③①④⑥⑤．
故答案為：②③①④⑥⑤．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)學(xué)建模的活動(dòng)過(guò)程及順序，屬于基礎(chǔ)題．
47．（2023?宜賓模擬）當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)碳14會(huì)按照確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，照此規(guī)律，人們獲得了生物體內(nèi)碳14含量與死亡時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式k（t）＝k0（，其中k0為生物死亡之初體內(nèi)的碳14含量，t為死亡時(shí)間（單位：年），通過(guò)測(cè)定發(fā)現(xiàn)某古生物遺體中碳14含量為k0，則該生物的死亡時(shí)間大約是 17190 年前．
【分析】根據(jù)題意，列出方程，求得t的值，即可得到答案．
【解答】解：由題意，生物體內(nèi)碳14含量與死亡時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式，
因?yàn)闇y(cè)定發(fā)現(xiàn)某古生物遺體中碳14含量為，
令，可得，所以，
解得t＝17190年．
故答案為：17190．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
48．（2023?西山區(qū)校級(jí)模擬）2020年初至今，新冠肺炎疫情襲擊全球，對(duì)人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴(yán)重影響．在黨和政府強(qiáng)有力的抗疫領(lǐng)導(dǎo)下，我國(guó)控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復(fù)工復(fù)產(chǎn)，減輕經(jīng)濟(jì)下降對(duì)企業(yè)和民眾帶來(lái)的損失．為降低疫情影響，某廠家擬在2022年舉行某產(chǎn)品的促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用m萬(wàn)元（m≥0）滿足x＝4﹣．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本為8萬(wàn)元，生產(chǎn)成本為16萬(wàn)元/萬(wàn)件，廠家將產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為萬(wàn)元/萬(wàn)件（產(chǎn)品年平均成本）的1.5倍．
（1）將2022年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)用m萬(wàn)元的函數(shù)；
（2）該廠家2022年的促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？
【分析】（1）根據(jù)題中的條件，列出利潤(rùn)與促銷費(fèi)用之間的函數(shù)關(guān)系式，即可解出；
（2）利用（1）的式子，再由基本不等式，即可解出．
【解答】解：（1）y＝1.5×﹣8﹣16x﹣m
＝4+8x﹣m
＝4+8（4﹣）﹣m
＝36﹣﹣m，（m≥0）；
即 y＝36﹣﹣m，（m≥0）；
（2）由（1）知y＝37﹣（）≤37﹣2＝29，
當(dāng)且僅當(dāng)，即m＝3時(shí)取等號(hào)．
所以廠家2022年的促銷費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，基本不等式，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
49．（2023?廣陵區(qū)校級(jí)模擬）為了測(cè)量某種海魚死亡后新鮮度的變化．研究人員特意通過(guò)檢測(cè)該海魚死亡后體內(nèi)某微量元素的含量來(lái)決定魚的新鮮度．若海魚的新鮮度h與其死亡后時(shí)間t（小時(shí)）滿足的函數(shù)關(guān)系式為h＝1﹣m?at．若該種海魚死亡后2小時(shí)，海魚的新鮮度為80%，死亡后3小時(shí)，海魚的新鮮度為60%，那么若不及時(shí)處理，這種海魚從死亡后大約經(jīng)過(guò)（ ）小時(shí)后，海魚的新鮮度變?yōu)?0%．（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7，ln3≈1.1）
A．3.3B．3.6C．4D．4.3
【分析】本題根據(jù)函數(shù)關(guān)系式和給出的條件求出函數(shù)解析式里m和a的值，再代入h＝0.4求出t的值．
【解答】解：因?yàn)楹ｔ~的新鮮度h與其死亡后時(shí)間t（小時(shí)）滿足的函數(shù)關(guān)系式為h＝1﹣m?at，
所以根據(jù)題意可列式?，
∴h＝1﹣0.05×2t，現(xiàn)在新鮮度變?yōu)?0%，即h＝0.4，
代入函數(shù)式可得0.4＝1﹣0.05×2t，解得t≈3.6．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)際問(wèn)題與函數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．
50．（2023?普陀區(qū)校級(jí)模擬）某公司按銷售額給銷售員提成作獎(jiǎng)金，每月的基本銷售額為20萬(wàn)元，超額中的第一個(gè)5萬(wàn)元（含5萬(wàn)元以下），按超額部分的2%提成作獎(jiǎng)金；超額中的第二個(gè)5萬(wàn)元，按超額部分的4%提成作獎(jiǎng)金；…后每增加5萬(wàn)元，其提成比例也增加一個(gè)2%．如銷售員某月銷售額為27萬(wàn)元，則按照合約，他可得獎(jiǎng)金為50000×2%+（70000﹣50000）×4%＝1800元．試求：
（1）銷售員某月獲得獎(jiǎng)金7200元，則他該月的銷售額為多少？
（2）若某銷售員7、8月份的總銷售額為60萬(wàn)元，且兩月都完成基本銷售額，那么他這兩個(gè)月的總獎(jiǎng)金的最大、最小值分別是多少？
【分析】（1）根據(jù)題意利用分段求值法判斷銷售超額部分的范圍，再列方程求解即可．
（2）根據(jù)獎(jiǎng)金方案得出同樣的超額銷售，當(dāng)月累積的越多，獎(jiǎng)金越高，由此求出總獎(jiǎng)金最高與最低值．
【解答】解：（1）設(shè)該月銷售額為x萬(wàn)元，則獎(jiǎng)金為f（x）＝，
超額第一個(gè)5萬(wàn)元可得獎(jiǎng)金1000元，超額第二個(gè)5萬(wàn)元可得獎(jiǎng)金2000元，
超額第三個(gè)5元可得獎(jiǎng)金3000元，超額第四個(gè)5萬(wàn)元可得獎(jiǎng)金4000元，
故銷售員該月的銷售超額部分在15萬(wàn)元到20萬(wàn)元之間．
設(shè)銷售額為x萬(wàn)元，提成比例為8%，即（x﹣35）×8%＝7200﹣6000，
可得x＝36.5萬(wàn)元．
（2）根據(jù)獎(jiǎng)金方案，同樣的超額銷售，累積的越多，獎(jiǎng)金越高．
故當(dāng)他一個(gè)月銷售額為20萬(wàn)元，另一個(gè)月為40萬(wàn)元時(shí)，總獎(jiǎng)金最高
此時(shí)總獎(jiǎng)金為1000+2000+3000+4000＝10000元；
當(dāng)他兩個(gè)月的銷售額都是30萬(wàn)元時(shí)，總獎(jiǎng)金最低，
此時(shí)總獎(jiǎng)金為（1000+2000）×2＝6000元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了分類討論思想，是中檔題．
51．（2023?青羊區(qū)校級(jí)模擬）2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI發(fā)布的名為“ChatGTP”的人工智能聊天程序進(jìn)入中國(guó)，迅速以其極高的智能化水平引起國(guó)內(nèi)關(guān)注．深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中L表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，L0表示初始學(xué)習(xí)率，D表示衰減系數(shù)，G表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，G0表示衰減速度．已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.8，衰減速度為12，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為12時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為0.5．則學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（ ）（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010）
A．36B．37C．38D．39
【分析】根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法求出學(xué)習(xí)率模型函數(shù)，然后利用取對(duì)數(shù)法解指數(shù)不等式即可．
【解答】解：已知L0＝0.8，G0＝12，當(dāng)G＝12時(shí)，L＝0.5，
∵，∴，
得，
即L＝0.8×（），由，得，
不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，
即，
因此G至少為36．
故選A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查與指數(shù)不等式，對(duì)數(shù)不等式有關(guān)的問(wèn)題，利用待定系數(shù)法以及取對(duì)數(shù)法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．
（多選）52．（2023?新高考Ⅰ）噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視．用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)Lp＝20×lg，其中常數(shù)p0（p0＞0）是聽覺(jué)下限閾值，p是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：
已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為p1，p2，p3，則（ ）
A．p1≥p2B．p2＞10p3C．p3＝100p0D．p1≤100p2
【分析】根據(jù)題意分別計(jì)算p1，p2，p3的范圍，進(jìn)行比較即可求解．
【解答】解：由題意得，60≤20lg≤90，1000p0≤p1≤p0，
50≤20lg≤60，10p0≤p2≤1000p0，
20lg＝40，p3＝100p0，
可得p1≥p2，A正確；
p2≤10p3＝1000p0，B錯(cuò)誤；
p3＝100p0，C正確；
p1≤p0＝100×10p0≤100p2，p1≤100p2，D正確．
故選：ACD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)模型的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．
53．（2023?廣州三模）某地的水果店老板記錄了過(guò)去50天某類水果的日需求量x（單位：箱），整理得到數(shù)據(jù)如下表所示，已知每箱某類水果的進(jìn)貨價(jià)為50元，售價(jià)為100元，如果當(dāng)天賣不完，剩下的水果第二天將在售價(jià)的基礎(chǔ)上打五折進(jìn)行特價(jià)銷售，但特價(jià)銷售需要運(yùn)營(yíng)成本每箱30元．根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)第二天特價(jià)水果都能售馨，并且不影響正價(jià)水果的銷售．
（1）一次進(jìn)貨太多，水果會(huì)變得不新鮮；進(jìn)貨太少，又不能滿足顧客的需求店長(zhǎng)希望每天的某類水果盡量新鮮，又能70%地滿足顧客的需求（在100天中，大約有70天可以滿足顧客的需求）．請(qǐng)根據(jù)頻數(shù)分布表，估計(jì)每天某類水果的進(jìn)貨量t箱．（結(jié)果保留一位小數(shù)）
（2）以這50天記錄的日需求量的頻率作為日需求量發(fā)生的概率，設(shè)（1）中所求t的值，如果店老板計(jì)劃每天購(gòu)進(jìn)n0箱或n0+1箱的某類水果，請(qǐng)以利潤(rùn)的期望作為決策依據(jù)，判斷店老板應(yīng)當(dāng)購(gòu)進(jìn)的箱數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)題意，70%地滿足顧客的需求即求頻數(shù)分布表中第70%位數(shù)；
（2）分別求進(jìn)貨量為24和25箱時(shí)利潤(rùn)的期望，比較后得出結(jié)論．
【解答】解：（1）70%地滿足顧客需求相當(dāng)于估計(jì)某類水果日銷售量的70%分位數(shù)．
由表可知，把50個(gè)日需求量的數(shù)據(jù)從小到大排列，70%×50＝35，日需求量在24箱以下的天數(shù)為10+10+15＝35，
可以估計(jì)日需求量的第70%分位數(shù)為，
所以能70%地滿足顧客的需求，估計(jì)每天應(yīng)該進(jìn)貨量為24.5箱．
（2）由（1）知24≤t＝24.5＜25，即n0＝24，
設(shè)每天的進(jìn)貨量為24箱的利潤(rùn)為X，
由題設(shè)，每天的進(jìn)貨量為24箱，當(dāng)天賣完的概率為，當(dāng)天賣不完剩余的概率為，當(dāng)天賣不完剩余2箱的概率為．
若當(dāng)天賣完，則X＝24×（100﹣50）＝1200元，
若當(dāng)天賣不完剩余1箱，則X＝23×（100﹣50）﹣1×30＝1120元，
若當(dāng)天賣不完剩余2箱，則X＝22×（100﹣50）﹣2×30＝1040元，
所以，
設(shè)每天的進(jìn)貨量為25箱的利潤(rùn)為Y，
由題設(shè)，每天的進(jìn)貨量為25箱，
當(dāng)天賣完的概率為，當(dāng)天賣不完剩余1箱的概率為，當(dāng)天賣不完剩余2箱的概率為，當(dāng)天賣不完剩余3箱的概率為．
若當(dāng)天賣完，則Y＝25×（100﹣50）＝1250元，
當(dāng)天賣不完剩余1箱，則Y＝24×（100﹣50）﹣1×30＝1170元，
當(dāng)天賣不完剩余2箱，則Y＝23×（100﹣50）﹣2×30＝1090元，
當(dāng)天賣不完剩余3箱，則Y＝22×（100﹣50）﹣3×30＝1010元，
所以E（Y）＝ 元，
由于E（Y）＜E（X），顯然每天的進(jìn)貨量25箱的期望利潤(rùn)小于每天的進(jìn)貨量為24箱的期望利潤(rùn)，
所以店老板應(yīng)當(dāng)購(gòu)進(jìn)24箱．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，屬于中檔題．
54．（2023?浦東新區(qū)校級(jí)三模）某晚報(bào)曾刊登過(guò)一則生活趣事，某市民唐某乘坐出租車時(shí)，在半途中罵罵咧咧要求司機(jī)臨時(shí)?？浚虮碛?jì)價(jià)結(jié)賬，然后重新計(jì)價(jià)，繼續(xù)前行，該市民解釋說(shuō)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，這樣分開支付車費(fèi)比一次性付費(fèi)便宜一些，他的這一說(shuō)法有道理嗎？
確實(shí)，由于出租車運(yùn)價(jià)上調(diào)，有些人出行時(shí)會(huì)估計(jì)一下可能的價(jià)格，再?zèng)Q定是否乘坐出租車．
據(jù)了解，2018年上海出租車在5時(shí)到23時(shí)之間起租價(jià)為14元/3千米，超起租里程單價(jià)為2.50元/千米，總里程超過(guò)15千米（不含15千米）部分按超起租里程單價(jià)加50%．此外，相關(guān)部門還規(guī)定了低速等候費(fèi)和其他時(shí)段的計(jì)價(jià)辦法，以及適合其他車型的計(jì)價(jià)辦法．
你乘坐過(guò)出租車嗎？你會(huì)仿效那位市民唐某的做法嗎？為什么？
（1）根據(jù)上述情境你能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？為了解決你的問(wèn)題，你能否作出一些合理假設(shè)？
（2）你能否根據(jù)你的假設(shè)建立數(shù)學(xué)模型，并回答你所提出的問(wèn)題．
【分析】（1）根據(jù)題意可分析出出租車費(fèi)用為分段函數(shù)的模型，故可以提出求解里程計(jì)價(jià)費(fèi)用與里程的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題，并假設(shè)只能在路程的中點(diǎn)處?？恳淮危偾蠼獯藭r(shí)的函數(shù)關(guān)式；
（2）分別求解不停靠與?？恐悬c(diǎn)時(shí)的費(fèi)用，再作圖分析判斷即可．
【解答】解：（1）由題意，出租車費(fèi)用為分段函數(shù)的模型，故可提出問(wèn)題：
①上海出租車在5時(shí)到23時(shí)之間起租價(jià)為14元/3千米，超起租里程單價(jià)為2.50元/千米，總里程超過(guò)15千米（不含15千米）部分按超起租里程單價(jià)加50%，求里程計(jì)價(jià)費(fèi)用f（x）與里程x的函數(shù)關(guān)系式子；
②若只能在路程的中點(diǎn)處停靠一次，分析不停靠與?？?jī)煞N計(jì)費(fèi)方式哪種更劃算．
（2）由（1）中所建立的函數(shù)模型：
①由題意，當(dāng)0＜x≤3時(shí)，f（x）＝14；
當(dāng)3＜x≤15時(shí)，f（x）＝14+2.5（x﹣3）＝2.5x+6.5，
當(dāng)x＞15時(shí)，f（x）＝2.5×15+6.5+2.5×（x﹣15）×1.5＝3.75x﹣12.25．
故f（x）＝，
②若只能在路程的中點(diǎn)處?？恳淮危?br>則路費(fèi)函數(shù)g（x）＝，
即g（x）＝，
分別作出函數(shù)圖象：
由圖象可得，f（x）＝3.75x﹣12.25與g（x）＝2.5x+13有交點(diǎn)．
聯(lián)立有3.75x﹣12.25＝2.5x+13，解得x＝20.2．
故若只能在路程的中點(diǎn)處停靠一次，則當(dāng)路程不足202公 時(shí)不停靠更劃算，當(dāng)路程不足20.2公里時(shí)停靠更劃算．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，屬于中檔題．
55．（2023?福州模擬）如圖，直線l1∥l2，線段DE與l1，l2均垂直，垂足分別是E，D，點(diǎn)A在DE上，且AE＝1，AD＝2．C，B分別是l1，l2上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足．設(shè)∠ABD＝x，△ABC面積為S（x）．
（1）寫出函數(shù)解析式S（x）；
（2）求S（x）的最小值．
【分析】（1）根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系得AC，AB關(guān)于x的表達(dá)式，再根據(jù)三角形面積公式即可得函數(shù)解析式S（x）；
（2）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)S（x），再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得S（x）的最小值．
【解答】解：（1）結(jié)合圖形可知，若∠ABD＝x，則，所以，
又，所以，
又在Rt△ACE中，，
在Rt△ABD中，，
所以△ABC面積為．
（2）由（1），，
因?yàn)?，所以，所以的取值范圍是?，1]，
所以當(dāng)時(shí)，S（x）取得最小值．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類型，函數(shù)解析式的求法，函數(shù)最值的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
56．（2023?河南模擬）某超市采購(gòu)了一批袋裝的進(jìn)口牛肉干進(jìn)行銷售，共1000袋，每袋成本為30元，銷售價(jià)格為50元，經(jīng)過(guò)科學(xué)測(cè)定，每袋牛肉干變質(zhì)的概率為p（0＜p），且各袋牛肉干是否變質(zhì)相互獨(dú)立．依據(jù)消費(fèi)者權(quán)益保護(hù)法的規(guī)定：超市出售變質(zhì)食品的，消費(fèi)者可以要求超市退一賠三．為了保護(hù)消費(fèi)者權(quán)益，針對(duì)購(gòu)買到變質(zhì)牛肉干的消費(fèi)者，超市除退貨外，并對(duì)每袋牛肉干以銷售價(jià)格的三倍現(xiàn)金賠付，且把變質(zhì)牛肉干做廢物處理，不再進(jìn)行銷售．
（1）若銷售完這批牛肉干后得到的利潤(rùn)為X，且7500＜E（X）＜10000，求p的取值范圍；
（2）已知p＝，若超市聘請(qǐng)兼職員工來(lái)檢查這批牛肉干是否變質(zhì)，超市需要支付兼職員工工資5000元，這樣檢查到的變質(zhì)牛肉干直接當(dāng)廢物處理，就不會(huì)流入到消費(fèi)者手中．請(qǐng)以超市獲取的利潤(rùn)為決策依據(jù)，判斷超市是否需要聘請(qǐng)兼職員工來(lái)檢驗(yàn)這批牛肉干是否變質(zhì)？
【分析】（1）令Y表示1000袋牛肉干中變質(zhì)牛肉干的數(shù)量，由題意有Y～B（1000，p），則E（Y）＝1000p，E（X）＝20000﹣200000p，進(jìn)而求解；
（2）當(dāng)p＝時(shí)，由（1）知，E（Y）＝1000×＝50，E（Z）＝50×3×50＝7500，由7500＞5000，進(jìn)而求解．
【解答】解：（1）令Y表示1000袋牛肉干中變質(zhì)牛肉干的數(shù)量，
由題意有Y～B（1000，p），則E（Y）＝1000p，
故E（X）＝（1000﹣1000p）（50﹣30）﹣1000p×（30+50×3）＝20000﹣200000p，
由7500＜E（X）＜10000，有7500＜20000﹣200000p＜10000，解得：＜p＜，
故當(dāng)7500＜E（X）＜10000時(shí)，p的取值范圍為＜p＜．
（2）對(duì)這批牛肉干來(lái)說(shuō)，變質(zhì)牛肉干不管數(shù)量有多少，未變質(zhì)牛肉干的銷售后產(chǎn)生的利潤(rùn)與變質(zhì)牛肉干作廢物處理后產(chǎn)生的費(fèi)用是不變的，
是否聘請(qǐng)兼職員工來(lái)檢查這批牛肉干是否，產(chǎn)生的費(fèi)用是工資和給消費(fèi)者賠付的費(fèi)用，
當(dāng)p＝時(shí)，由（1）知，E（Y）＝1000×＝50，
設(shè)需要賠付給消費(fèi)者的費(fèi)用為Z元，
有E（Z）＝50×3×50＝7500，由7500＞5000，
以超市獲取的利潤(rùn)為決策依據(jù)，故超市需要聘請(qǐng)兼職員工來(lái)檢驗(yàn)這批牛肉干是否變質(zhì)．
【點(diǎn)評(píng)】考查數(shù)學(xué)概率，期望在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，屬于中檔題．
57．（2023?海淀區(qū)校級(jí)模擬）農(nóng)業(yè)技術(shù)員進(jìn)行某種作物的種植密度試驗(yàn)，把一塊試驗(yàn)田劃分為8塊面積相等的區(qū)域（除了種植密度，其它影響作物生長(zhǎng)的因素都保持一致），種植密度和單株產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)如下：
根據(jù)上表所提供信息，第 5 號(hào)區(qū)域的總產(chǎn)量最大．
【分析】分別求出種植密度函數(shù)和單株產(chǎn)量函數(shù)的解析式，再求總產(chǎn)量的函數(shù)解析式，由此確定其最大值及取最大值的條件即可．
【解答】解：設(shè)區(qū)域代號(hào)為x，種植密度為y1，單株產(chǎn)量為y2，
則x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，
由圖象可得種植密度y1是區(qū)域代號(hào)x的一次函數(shù)，
故設(shè)y1＝kx+b，x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，
由已知函數(shù)y1＝kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2.4），（8，4.5），
所以，解得，
所以y1＝0.3x+2.1，
由圖象可得單株產(chǎn)量y2是區(qū)域代號(hào)x的一次函數(shù)，
故可設(shè)y2＝mx+n，x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，
觀察圖象可得當(dāng)x＝1時(shí)，y2＝1.28，當(dāng)x＝8時(shí)，y2＝0.72，
所以，解得，
所以y2＝﹣0.08x+1.36，
所以總產(chǎn)量m（x）＝（0.3x+2.1）（﹣0.08x+1.36）＝﹣0.024（x2﹣10x﹣119），
當(dāng)x＝5時(shí)，函數(shù)m（x）有最大值，即5號(hào)區(qū)域總產(chǎn)量最大，最大值為3.456．
故答案為：5．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
58．（2023?興慶區(qū)校級(jí)一模）重慶某公園有兩塊三角形草坪，準(zhǔn)備修建三角形道路（不計(jì)道路寬度），道路三角形的頂點(diǎn)分別在草坪三角形的三條邊上．
（1）第一塊草坪的三條邊AB＝80米，AC＝70米，BC＝50米，若，ED⊥AB（如圖1），△DEF區(qū)域內(nèi)種植郁金香，求郁金香種植面積．
（2）第二塊草坪的三條邊PQ＝60米，QR＝80米，PR＝100米，M為PQ中點(diǎn)，MN⊥MK（如圖2），△MNK區(qū)域內(nèi)種植紫羅蘭，求紫羅蘭種植面積的最小值．
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理和三角形面積公式，即可求解．
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，以及三角含的和差化積公式，即可求解．
【解答】（1）∵，
∴米，米，
在△ABC中，運(yùn)用余弦定理可得，＝，
∵0＜B＜π，
∴B＝，
在△BDE中，，
∴．
（2）設(shè)∠QMN＝α，則，
在△MNK中，，，
由正弦定理可得，，可得MK＝，
所以，
∵，
∴，
故當(dāng)時(shí)取得最小值450平方米．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，以及正余弦定理，需要學(xué)生較強(qiáng)的綜合能力，屬于難題．
59．（2023?萬(wàn)州區(qū)校級(jí)模擬）如圖，某市一學(xué)校H位于該市火車站O北偏東45°方向，且OH＝4km，已知OM，ON是經(jīng)過(guò)火車站O的兩條互相垂直的筆直公路，CE，DF及圓弧都是學(xué)校道路，其中CE∥OM，DF∥ON，以學(xué)校H為圓心，半徑為2km的四分之一圓弧分別與CE，DF相切于點(diǎn)C，D．當(dāng)?shù)卣顿Y開發(fā)△AOB區(qū)域發(fā)展經(jīng)濟(jì)，其中A，B分別在公路OM，ON上，且AB與圓弧相切，設(shè)∠OAB＝θ，△AOB的面積為Skm2．
（1）求S關(guān)于θ的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)θ為何值時(shí)，△AOB面積S為最小，政府投資最低？
【分析】（1）求出HK，再求出OK，再求出OL，進(jìn)而求出OA，OB，再求△AOB的面積為S；
（2）令 ，則 ，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分式函數(shù)最值問(wèn)題求解即可．
【解答】解：（1）連結(jié) OH 交 AB于K，作OL⊥AB于L，
∵，∴，
∴，
∴．
∵，∴，
∴，
∴，
，
∴，
＝
＝
＝
＝．
（2）令 ，
則 ，
，
令 ，
則 ，
∵ 在 單調(diào)遞減，
∴ 時(shí)，，
，此時(shí) ．
答：當(dāng)θ＝時(shí)，△AOB面積S為最小，政府投資最低．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，應(yīng)優(yōu)先結(jié)合實(shí)際建立合適的數(shù)學(xué)模型，再按模型求最值，屬于難題．
60．（2023?酉陽(yáng)縣校級(jí)模擬）某公司決定采用增加廣告投入和技術(shù)改造投入兩項(xiàng)措施來(lái)獲得更大的收益．通過(guò)對(duì)市場(chǎng)的預(yù)測(cè)，當(dāng)對(duì)兩項(xiàng)投入都不大于3（百萬(wàn)元）時(shí)，每投入x（百萬(wàn)元）廣告費(fèi)，增加的銷售額可近似的用函數(shù)y1＝﹣2x2+14x（百萬(wàn)元）來(lái)計(jì)算；每投入x（百萬(wàn)元）技術(shù)改造費(fèi)用，增加的銷售額可近似的用函數(shù)y2＝﹣x3+2x2+5x（百萬(wàn)元）來(lái)計(jì)算．現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入3（百萬(wàn)元），分別用于廣告投入和技術(shù)改造投入，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種資金分配方案，使得該公司的銷售額最大．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）
【分析】先計(jì)算投入帶來(lái)的銷售額增加值，再利用導(dǎo)數(shù)法，即可確定函數(shù)的最值．
【解答】解：設(shè)3百萬(wàn)元中技術(shù)改造投入為x（百萬(wàn)元），廣告費(fèi)投入為3﹣x（百萬(wàn)元），則廣告收入帶來(lái)的銷售額增加值為﹣2（3﹣x）2+14（3﹣x）（百萬(wàn)元），技術(shù)改造投入帶來(lái)的銷售額增加值為﹣x3+2x2+5x（百萬(wàn)元），
所以，投入帶來(lái)的銷售額增加值F（x）＝﹣2（3﹣x）2+14（3﹣x）﹣x3+2x2+5x．
整理上式得F（x）＝﹣x3+3x+24，
因?yàn)镕′（x）＝﹣x2+3，令F′（x）＝0，解得x＝或x＝﹣（舍去），
當(dāng)x∈[0，），F(xiàn)′（x）＞0，當(dāng)x∈（，3]時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，
所以，x＝≈1.73時(shí)，F(xiàn)（x）取得最大值．
所以，當(dāng)該公司用于廣告投入1.27（百萬(wàn)元），用于技術(shù)改造投入1.73（百萬(wàn)元）時(shí)，公司將有最大的銷售額．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．
聲源
與聲源的距離/m
聲壓級(jí)/dB
燃油汽車
10
60～90
混合動(dòng)力汽車
10
50～60
電動(dòng)汽車
10
40
x
22
23
24
25
26
頻數(shù)
10
10
15
9
6

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