1.橢圓的簡單幾何性質(zhì)
1．一個橢圓的半焦距為，離心率，那么它的短軸長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，∴，∴．
2．橢圓的左、右頂點分別為，左、右焦點分別為,若成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【解析】∵，∴．
∴，∴，∴．
3．已知中心在原點的橢圓的右焦點為，離心率等于，則橢圓的方程是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依題意，，∴，∴，．
4．已知，分別是橢圓：的左, 右焦點, 點在橢圓上, , 則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴．
∵點在橢圓上,
∴，∴，，．
考點一 與橢圓離心率相關(guān)的問題
【例1】直線經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)橢圓方程為，
設(shè)直線的方程為， 即．
∴，，即．
【方法技巧】求橢圓離心率的方法
（1）直接求出的值，利用離心率公式直接求解．
（2）列出含有，，的齊次方程(或不等式)，借助于消
去，轉(zhuǎn)化為含有的方程(或不等式)求解．
【變式如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓 的右焦點，直線與橢圓交于兩點，且，則該橢圓的離心率是______ ．
【答案】
【解析】由題意得，
∴，
∴，∴．
考點二 與橢圓相關(guān)的最值問題
【例2】(1)求到橢圓上的動點距離的最大值和最小值；
(2) 已知是橢圓的左焦點，是此橢圓上的動點，是一定點，求的最大值和最小值．
【解析】(1)設(shè)橢圓上的動點，
則，
∵點是橢圓上的點，∴.
∴的最大值為，最小值為．
【解析】（2）由題意知，．
設(shè)橢圓右焦點為，則．
∵，
∴.
當(dāng)三點共線時，取到最大值，
或者最小值.
∴的最大值為，最小值為.
【方法技巧】橢圓中距離的最值的解法
（1）把距離問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值的問題；
（2）利用橢圓的定義結(jié)合平面幾何知識求解．
【變式】為橢圓上任意一點，為圓:的任意一條直徑，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)，則．
，
∵，∴，故選C．
考點三 直線與橢圓的綜合問題
【例3】已知橢圓：的右焦點為，點在橢圓上．（1）求橢圓的方程；
（2）過點的直線，交橢圓于、兩點，點在橢圓上，坐標(biāo)原點恰為的重心，求直線的方程．
【解析】（1）由題意可得，左焦點，．
∴，
∴，即，
∴橢圓的方程為．
（2）顯然直線與軸不垂直，設(shè)：，．
由，得，
∴，，
∴的中點，
∵原點恰為的重心，∴．
∵點在橢圓上，∴,
∴，解得或（舍），即．
∴直線l的方程為．
【溫馨提醒】的重心坐標(biāo)為．
1．若點為橢圓上一點，則的最大值為（D ）
A． B． C． D．
【解析】∵點為橢圓上一點，
∴可設(shè)，
∴．
∴的最大值為．
2．已知橢圓的離心率為，橢圓上一點到兩焦點距離之和為，則（ D ）
A． B． C． D．
【解析】依題意，∴．
∵，∴，∴．
3．已知動點在橢圓上，為橢圓的右焦點，若點滿足且，則的最小值為（A ）
A． B． C． D．
【解析】∵，∴．
∴．
∵，即．
∵，∴
4．已知為坐標(biāo)原點，是橢圓：的左焦點，分別為橢圓的左，右頂點．為橢圓上一點，且軸．過點的直線與線段交于點，與軸交于點．若直線經(jīng)過的中點，則的離心率為（ A ）
A． B． C． D．
【解析】設(shè)直線的方程為，
分別令與，
得，，
∵∥，∴，
∴，解得．
5．已知圓經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，則橢圓的離心率 ．
【解析】∵圓與軸的交點坐標(biāo)為，
∴，．
6．已知、分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上的任意一點, 則的取值范圍是 ．
【解析】當(dāng)時，,
∵，，
∴．
7．設(shè)橢圓的方程為點為坐標(biāo)原點，點，點在線段上，滿足，直線的斜率為．
（1）求的離心率；
（2）設(shè)點，為線段的中點，證明：．
【解析】（1）∵，，∴．
∵直線的斜率為，∴，∴．
∴，∴，∴．
（2）由題意可知點的坐標(biāo)為．
∴，，
∴，
∴．
8．已知橢圓的對稱中心為原點，焦點在軸上，左右焦點分別為和，且，點在該橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）過的直線與橢圓相交于兩點，若的面積為，求以為圓心且與直線相切圓的方程．
【解析】（1）∵，∴．∵點在上，∴．
由，解得，．∴橢圓的方程為．
（2）設(shè)直線的方程為，
由，得，
∴，，
，
，
∴．
∴直線的方程為，
∴圓的半徑，
∴圓的方程為．
焦點位置
焦點在上
焦點在上
圖 形
標(biāo)準(zhǔn)方程
范圍
對稱性
對稱軸：坐標(biāo)軸 對稱中心：原點
軸
長軸；短軸
焦距
離心率

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