知識點(diǎn)一：橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語言表示為：
注意：當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是線段；
當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡不存在．
知識點(diǎn)二：橢圓的方程、圖形與性質(zhì)
橢圓的方程、圖形與性質(zhì)所示．
【解題方法總結(jié)】
（1）過橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長為．
①橢圓上到中心距離最小的點(diǎn)是短軸的兩個端點(diǎn)，到中心距離最大的點(diǎn)是長軸的兩個端點(diǎn)．
②橢圓上到焦點(diǎn)距離最大和最小的點(diǎn)是長軸的兩個端點(diǎn)．
距離的最大值為，距離的最小值為．
（2）橢圓的切線
①橢圓上一點(diǎn)處的切線方程是；
②過橢圓外一點(diǎn)，所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是；
③橢圓 與直線 相切的條件是．
題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
例1．（2023·高二課時練習(xí)）已知橢圓C上任意一點(diǎn)都滿足關(guān)系式，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
例2．（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）已知橢圓的長軸長為，它的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
例3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，且過點(diǎn)則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
變式1．（2023·浙江紹興·紹興一中?？寄M預(yù)測）已知橢圓E：（），F(xiàn)是E的左焦點(diǎn)，過E的上頂點(diǎn)A作AF的垂線交E于點(diǎn)B.若直線AB的斜率為，的面積為，則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
變式2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓焦點(diǎn)在軸，它與橢圓有相同離心率且經(jīng)過點(diǎn)，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
變式3．（2023·北京·高二北大附中?？计谀┡c雙曲線有相同焦點(diǎn)，且長軸長為 6 的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
變式4．（2023·福建福州·高二福建省福州屏東中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交E于P，Q兩點(diǎn)，且，且，，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
變式5．（2023·山東青島·高二青島二中?？计谥校┻^點(diǎn)，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是 ．
變式6．（2023·浙江麗水·高三校考期中）我們把焦點(diǎn)在同一條坐標(biāo)軸上，且離心率相同的橢圓叫做“相似橢圓”.若橢圓，則以橢圓E的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的相似橢圓F的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為M，N，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)（異于M、N），的周長為，且直線AM與AN的斜率之積為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
變式8．（2023·高二課時練習(xí)）已知橢圓的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過和兩點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【解題方法總結(jié)】
（1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫出橢圓方程.
（2）待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在軸還是軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件列出的方程組，解出，從而求得標(biāo)準(zhǔn)方程.
注意：①如果橢圓的焦點(diǎn)位置不能確定，可設(shè)方程為.
②與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)為.
③與橢圓有相同離心率的橢圓，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上）或（，焦點(diǎn)在軸上）.
題型二：橢圓方程的充要條件
例4．（2023·全國·高三對口高考）若是任意實(shí)數(shù)，方程表示的曲線不可能是（ ）
A．圓B．拋物線C．橢圓D．雙曲線
例5．（2023·上海徐匯·位育中學(xué)?？既＃┮阎瑒t方程所表示的曲線為，則以下命題中正確的是（ ）
A．當(dāng)時，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓
B．當(dāng)曲線表示雙曲線時，的取值范圍是
C．當(dāng)時，曲線表示一條直線
D．存在，使得曲線為等軸雙曲線
例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知方程，其中．現(xiàn)有四位同學(xué)對該方程進(jìn)行了判斷，提出了四個命題：
甲：可以是圓的方程； 乙：可以是拋物線的方程；
丙：可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； ?。嚎梢允请p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
其中，真命題有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
變式9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“，”是“方程表示的曲線為橢圓”的（ ）
A．充要條件B．必要不充分條件
C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件
變式10．（2023·云南楚雄·高三統(tǒng)考期末）已知曲線，則“”是“曲線C是橢圓”的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
變式11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為實(shí)數(shù)，則曲線：不可能是（ ）
A．拋物線B．雙曲線C．圓D．橢圓
變式12．（2023·廣西欽州·高三?？茧A段練習(xí)）“”是方程“表示橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條
【解題方法總結(jié)】
表示橢圓的充要條件為：；
表示雙曲線方程的充要條件為：；
表示圓方程的充要條件為：.
題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長與面積及其他問題
例7．（2023·貴州黔東南·高三校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則（ ）
A．1B．2C．4D．5
例8．（2023·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）如圖，過橢圓的右焦點(diǎn)作一條直線，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則的內(nèi)切圓面積可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
例9．（2023·江西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓為兩個焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，若的周長為4，則（ ）
A．2B．3C．D．
變式13．（2023·河南·高三階段練習(xí)）已知分別為橢圓的兩個焦點(diǎn)，且的離心率為為橢圓上的一點(diǎn)，則的周長為（ ）
A．6B．9C．12D．15
變式14．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，左、右焦點(diǎn)分別為，，延長交橢圓E于點(diǎn)P．若點(diǎn)A到直線的距離為，的周長為16，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
變式15．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與橢圓的一個交點(diǎn)為，若，則的面積為（ ）
A．B．C．4D．
變式16．（2023·廣東廣州·高三華南師大附中校考開學(xué)考試）橢圓的兩焦點(diǎn)分別為 ，是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時，（ ）
A．B．C．D．
變式17．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，則的面積為（ ）
A．6B．12C．D．
變式18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（ ）
A．1B．2C．4D．5
變式19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn) P在C上，，則（ ）
A．B．C．D．
變式20．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)校考模擬預(yù)測）若橢圓的離心率為，兩個焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)是的內(nèi)心，連接并延長交于點(diǎn)，則（ ）
A．2B．C．4D．
變式21．（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，則的面積等于（ ）
A．18B．10C．9D．6
變式22．（2023·貴州黔西·?？家荒＃┰O(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為．P是C上一點(diǎn)，且．若的面積為2，則（ ）
A．1B．2C．D．4
變式23．（2023·云南昆明·昆明市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上一點(diǎn)，且，若關(guān)于平分線的對稱點(diǎn)在橢圓上，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
變式24．（2023·四川綿陽·高三綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）在橢圓中，已知焦距為2，橢圓上的一點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)的距離的和等于4，且，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
變式25．（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為上異于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，的角平分線交線段于點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【解題方法總結(jié)】
焦點(diǎn)三角形的問題常用定義與解三角形的知識來解決，對于涉及橢圓上點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)將距離問題常用定義，即.
題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問題
例10．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）已知分別為橢圓的兩個焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．64B．16C．8D．4
例11．（2023·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，P是橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．9B．16C．25D．50
例12．（2023·河南·高三期末）已知是橢圓上的動點(diǎn)，且與的四個頂點(diǎn)不重合，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在的平分線上，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
變式26．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知是橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
變式27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若橢圓C：，則該橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為（ ）
A．3B．2＋
C．2D．＋1
變式28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動，點(diǎn)在圓上運(yùn)動，則的最大值為（ ）
A．B．C．5D．6
【解題方法總結(jié)】
利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題
例13．（2023·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（ ）
A．B．
C．D．前三個答案都不對
例14．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，A是C上一點(diǎn)，，則的最大值為（ ）
A．7B．8C．9D．11
例15．（2023·江蘇·統(tǒng)考三模）已知F為橢圓C：的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，Q為圓M：上一點(diǎn)，則PQ＋PF的最大值為（ ）
A．3B．6
C．D．
變式29．（2023·河北·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若平面向量滿足，若，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
變式30．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為是上一點(diǎn)，，則的最大值為（ ）
A．7B．8C．9D．11
變式31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別為和上的點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．4B．5C．6D．7
變式32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別為橢圓的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．2B．C．4D．
變式33．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓外一點(diǎn)A(5，6)，l為橢圓的左準(zhǔn)線，P為橢圓上動點(diǎn)，點(diǎn)P到l的距離為d，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
變式34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為橢圓上一動點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．1B．－1C．D．
【解題方法總結(jié)】
在解析幾何中，我們會遇到最值問題，這種問題，往往是考察我們定義．求解最值問題的過程中，如果發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問題能迎刃而解．
題型六：離心率的值及取值范圍
方向1：利用橢圓定義去轉(zhuǎn)換
例16．（2023·四川成都·高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，某同學(xué)用兩根木條釘成十字架，制成一個橢圓儀.木條中間挖一道槽，在另一活動木條的處鉆一個小孔，可以容納筆尖，各在一條槽內(nèi)移動，可以放松移動以保證與的長度不變，當(dāng)各在一條槽內(nèi)移動時，處筆尖就畫出一個橢圓.已知，且在右頂點(diǎn)時，恰好在點(diǎn)，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的一個焦點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例18．（2023·安徽·高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為，，P，Q為C上兩點(diǎn)，，若，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
變式35．（2023·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，已知圓柱底面半徑為2，高為3，是軸截面，分別是母線上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），過與軸截面垂直的平面與圓柱側(cè)面的交線是圓或橢圓，當(dāng)此交線是橢圓時，其離心率的取值范圍是（ ）

A．B．C．D．
變式36．（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，分別是橢圓（）的左，右焦點(diǎn)，M，N是橢圓C上兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
變式37．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）橢圓的左右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P為橢圓上不在坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M，N滿足，，若四邊形的周長等于，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
變式38．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？既＃┮阎狹，N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)O對稱的兩點(diǎn)，P是橢圓C上異于的點(diǎn)，且的最大值是，則橢圓C的離心率是（ ）
A．B．C．D．
方向2：利用與建立一次二次方程不等式
變式39．（2023·四川綿陽·高三鹽亭中學(xué)?？茧A段練習(xí)）橢圓?的左、右焦點(diǎn)分別為?，焦距為?，若直線?與橢圓?的一個交點(diǎn)為?在?軸上方，滿足?，則該橢圓的 離心率為（ ）
A．?B．?
C．?D．?
變式40．（2023·廣東深圳·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓E：的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，若E上的點(diǎn)P滿足軸，，則E的離心率為（ ）
A．B．C．D．
變式41．（2023·廣東廣州·高三華南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn).延長，交橢圓于，兩點(diǎn)，，，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
變式42．（2023·河南開封·校考模擬預(yù)測）已知橢圓，，分別是的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，是的左焦點(diǎn)，若，則的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
變式43．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，斜率為的直線經(jīng)過左焦點(diǎn)且交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），設(shè)△的內(nèi)切圓半徑為的內(nèi)切圓半徑為，若，則橢圓的離心率的值為（ ）
A．B．
C．D．
變式44．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為F，B為橢圓上一點(diǎn)，，，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
變式45．（2023·湖北荊州·沙市中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知橢圓，為其左焦點(diǎn)，直線與橢圓交于點(diǎn)，，且．若，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
方向3：利用最大頂角滿足
變式46．（2023·四川成都·高三樹德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知、是橢圓的兩個焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
變式47．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓外存在點(diǎn)使得，則橢圓的離心率的取值范圍______．
變式48．（2023·北京豐臺二中高三階段練習(xí)）已知，分別是某橢圓的兩個焦點(diǎn)，若該橢圓上存在點(diǎn)使得（，是已知數(shù)），則該橢圓離心率的取值范圍是________.
變式49．（2023·廣東·廣州市真光中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在一點(diǎn)使得，則該橢圓離心率的取值范圍是________．
方向4：坐標(biāo)法
變式50．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，（如圖），過的直線交于，兩點(diǎn)，且軸，，則的離心率為（ ）

A．B．C．D．
變式51．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為．傾斜角為的直線與交于兩點(diǎn)，并且滿足，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
變式52．（2023·廣東佛山·?？寄M預(yù)測）已知橢圓的下焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，直線交橢圓于另一點(diǎn)，且，則橢圓的離心率是（ ）
A．B．C．D．
變式53．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測）設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，是上的一個動點(diǎn)．當(dāng)運(yùn)動到下頂點(diǎn)時，取得最大值，則的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
變式54．（2023·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：（）的左焦點(diǎn)為，過左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
變式55．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？级＃┮阎獧E圓的右焦點(diǎn)為，過右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
變式56．（2023·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)為，離心率為，又點(diǎn)是橢圓上異于長軸端點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足，若，則（ ）
A．5B．4C．3D．2
變式57．（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
變式58．（2023·全國·高三對口高考）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為，以原點(diǎn)O為圓心，a為半徑作圓O，過點(diǎn)作圓O的兩切線互相垂直，則該橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
變式59．（2023·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)且與軸垂直，直線與的另一個交點(diǎn)為，若，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理
變式60．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)位于第一象限，直線與橢圓另交于點(diǎn)，且，若，，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
變式61．（2023·江蘇·高三江蘇省前黃高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)、分別為橢圓：的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)，在橢圓上，若，，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
變式62．（2023·湖南衡陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為、，過作直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，，且，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
變式63．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得線段與直線垂直垂足為Q，若，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
變式64．（2023·江西南昌·校聯(lián)考二模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線經(jīng)過點(diǎn)交于 ，兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，，，，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
變式65．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，分別是橢圓：（）的左，右焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若，且，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理
變式66．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別為橢圓的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓E上的點(diǎn)，，且，則橢圓E的離心率為（ ）
A．B．C．D．
變式67．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））已知橢圓＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2c，若橢圓上存在點(diǎn)M使得中，，則該橢圓離心率的取值范圍為( )
A．(0，－1)B．C．D．(－1,1)
變式68．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓的左、右焦點(diǎn)，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
變式69．（2023·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在點(diǎn)（異于長軸的端點(diǎn)），使得，則該橢圓離心率的取值范圍是______．
變式70．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓的左、右焦點(diǎn)，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
方向7：利用基本不等式
變式71．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，橢圓上的兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
變式72．（2023·江蘇南京·高三階段練習(xí)）設(shè)、分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，是橢圓準(zhǔn)線上一點(diǎn)，的最大值為60°，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
變式73．（2023·山西運(yùn)城·高三期末（理））已知點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過橢圓的右焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點(diǎn)P滿足，則橢圓離心率的最大值______________.
變式74．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知F是橢圓的一個焦點(diǎn)，若直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且，記橢圓的離心率為e，則的取值范圍是___________.
方向8：利用焦半徑的取值范圍為．
變式75．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率取值范圍是________．
變式76．（2023·廣西南寧·二模（理））已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在一點(diǎn)使，則該橢圓的離心率的取值范圍是______.
變式77．（2023·河南·信陽高中高三期末（文））若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，其中分別是的左、右焦點(diǎn)，則的離心率的取值范圍為______.
變式78．（2023·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，若橢圓C上恰好有6個不同的點(diǎn)P，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
變式79．（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上一點(diǎn)Р到焦點(diǎn)的最大距離為7，最小距離為3，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
變式80．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，分別是橢圓C：的左?右焦點(diǎn)，B是橢圓C的上頂點(diǎn)，P是橢圓C上任意一點(diǎn)，且C的焦距大于短軸長，若的最大值是的最小值的倍，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．或D．
方向9：利用橢圓第三定義．
變式81．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：（），點(diǎn)A，B為長軸的兩個端點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)P，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．
變式82．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓上異于的一點(diǎn)．若橢圓的離心率的取值范圍是，則直線，斜率之積的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
變式83．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）下列結(jié)論：①若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是；②雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)相同．③M是雙曲線上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別是雙曲線左右焦點(diǎn)，若，則或1．④直線與橢圓C：交于P，Q兩點(diǎn)，A是橢圓上任一點(diǎn)（與P，Q不重合），已知直線AP與直線AQ的斜率之積為，則橢圓C的離心率為．錯誤的個數(shù)是（ ）
A．4個B．3個C．2個D．1個
變式84．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為弦的中點(diǎn)，則橢圓的離心率是（ ）
A．B．C．D．
變式85．（2023·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn).若直線的斜率之積為，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【解題方法總結(jié)】
求離心率的本質(zhì)就是探究之間的數(shù)量關(guān)系，知道中任意兩者間的等式關(guān)系或不等關(guān)系便可求解出的值或其范圍.具體方法為方程法、不等式法、定義法和坐標(biāo)法.
題型七：橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題
例19．（2023·甘肅隴南·高三統(tǒng)考期中）已知雙曲線 的一個焦點(diǎn)是，橢圓 的焦距等于 ，則 ．
例20．（2023·上海崇明·上海市崇明中學(xué)?？寄M預(yù)測）若拋物線的焦點(diǎn)恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，則 .
例21．（2023·浙江嘉興·?？寄M預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)、，若橢圓上頂點(diǎn)為點(diǎn)，且為等腰直角三角形，則 .
變式86．（2023·四川南充·高三統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)、，動點(diǎn)滿足：直線的斜率與直線的斜率之積為，則的取值范圍為 ．
變式87．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若為橢圓上的一點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則的最大值為 .
變式88．（2023·全國·高三專題練習(xí)）AB是平面上長度為4的一條線段，P是平面上一個動點(diǎn)，且，M是AB的中點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
變式89．（2023·云南·云南師大附中?？寄M預(yù)測）如圖所示，在圓錐內(nèi)放入兩個大小不同的球，，使得它們分別與圓錐的側(cè)面和平面都相切，平面分別與球，相切于點(diǎn)，.數(shù)學(xué)家GerminalDandelin利用這個模型證明了平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，，為此橢圓的兩個焦點(diǎn)，這兩個球也被稱為Dandelin雙球.若球，的半徑分別為6和3，球心距離，則此橢圓的長軸長為 .

變式90．（2023·全國·高三專題練習(xí)）2022年神舟接力騰飛，中國空間站全面建成，我們的“太空之家”遨游蒼穹．太空中飛船與空間站的對接，需要經(jīng)過多次變軌．某飛船升空后的初始運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個焦點(diǎn)的橢圓，其遠(yuǎn)地點(diǎn)（長軸端點(diǎn)中離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）到地面的距離為，近地點(diǎn)（長軸端點(diǎn)中離地面最近的點(diǎn)）到地面的距離為，地球的半徑為R，則該橢圓的短軸長為 （用，，R表示）．
【解題方法總結(jié)】
題型八：利用第一定義求解軌跡
例22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是橢圓中垂直于長軸的動弦，是橢圓長軸的兩個端點(diǎn)，則直線和的交點(diǎn)的軌跡方程為 ．
例23．（2023·廣東東莞·高三?？茧A段練習(xí)）已知圓，圓，動圓與圓外切并與圓內(nèi)切，則圓心的軌跡方程為
例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，O為原點(diǎn)，M滿足，則點(diǎn)M的軌跡方程為 ．
變式91．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面上一定點(diǎn)和直線l：x=8，P為該平面上一動點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且·=0．則動點(diǎn)P的軌跡方程為 ；
變式92．（2023·全國·高三專題練習(xí)）一個動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則這個動圓圓心的軌跡方程為 ．
變式93．（2023·全國·高三對口高考）已知，B是圓（F為圓心）上一動點(diǎn).線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點(diǎn)P的軌跡方程為 .
變式94．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，圓：，動圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線，則曲線的方程為____________.
變式95．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓上任意一點(diǎn)，過焦點(diǎn)F1向∠F1AF2的外角平分線作垂線，垂足為D，則點(diǎn)D的軌跡方程是________．
變式96．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））如圖，已知△ABC的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)，，圓E是△ABC的內(nèi)切圓，在邊AC，BC，AB上的切點(diǎn)分別為P，Q，R，|CP|=2，動點(diǎn)C的軌跡方程為___________.
變式97．（2023·全國·高三專題練習(xí)）一動圓與圓：內(nèi)切，且與圓：外切，則動圓圓心的軌跡方程是______．
變式98．（2023·遼寧·沈陽二中高三階段練習(xí)（理））一動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為___________.
變式99．（2023·江西宜春·高三階段練習(xí)（文））已知定點(diǎn),直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為，則動點(diǎn)的軌跡方程為_______．
變式100．（2023·廣東湛江·一模（理））已知圓，點(diǎn)，點(diǎn)為動點(diǎn)，以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓，則動點(diǎn)的軌跡方程是______．
【解題方法總結(jié)】
常見考題中，會讓我們利用圓錐曲線的定義求解點(diǎn)P的軌跡方程，這時候要注意把動點(diǎn)P和滿足焦點(diǎn)標(biāo)志的定點(diǎn)連起來做判斷． 焦點(diǎn)往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為F的點(diǎn)；（3）圓心；（4）題上提到的定點(diǎn)等等．當(dāng)看到滿足以上的標(biāo)志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點(diǎn)特征的點(diǎn)連起來結(jié)合曲線定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍.
1．（2023?甲卷）已知橢圓，，為兩個焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，則
A．B．C．D．
2．（2023?新高考Ⅰ）設(shè)橢圓，的離心率分別為，．若，則
A．B．C．D．
3．（2023?新高考Ⅱ）已知橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為和，直線與交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，若△面積是△面積的兩倍，則
A．B．C．D．
考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
（1）理解橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率）．
（3）掌握橢圓的簡單應(yīng)用．
2023年I卷II卷第5題，5分
2023年北京卷第19題，15分
2023年甲卷（理）第12題，5分
2022年甲卷（理）第10題，5分
橢圓是圓雉曲線的重要內(nèi)容，高考主要考查橢圓定義的運(yùn)用、橢圓方程的求法以及橢圓的簡單幾何性質(zhì)，尤其是對離心率的求解，更是高考的熱點(diǎn)問題，因方法多，試題靈活，在各種題型中均有體現(xiàn)．
焦點(diǎn)的位置
焦點(diǎn)在軸上
焦點(diǎn)在軸上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
統(tǒng)一方程
參數(shù)方程
第一定義
到兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2，即（）
范圍
且
且
頂點(diǎn)
、
、
、
、
軸長
長軸長，短軸長
長軸長，短軸長
對稱性
關(guān)于軸、軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱
焦點(diǎn)
、
、
焦距
離心率
準(zhǔn)線方程
點(diǎn)和橢圓
的關(guān)系
切線方程
（為切點(diǎn)）
（為切點(diǎn)）
對于過橢圓上一點(diǎn)的切線方程，只需將橢圓方程中換為，換為可得
切點(diǎn)弦所在的直線方程
焦點(diǎn)三角形面積
①，（為短軸的端點(diǎn)）
②
③
焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是
焦半徑
左焦半徑：
又焦半徑：
上焦半徑：
下焦半徑：
焦半徑最大值，最小值
通徑
過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=（最短的過焦點(diǎn)的弦）
弦長公式
設(shè)直線與橢圓的兩個交點(diǎn)為，，，
則弦長
（其中是消后關(guān)于的一元二次方程的的系數(shù)，是判別式）
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖形
性質(zhì)
焦點(diǎn)
，
，
焦距
范圍
，
，
對稱性
關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對稱
頂點(diǎn)
，
，
軸
長軸長，短軸長
離心率
（注：離心率越小越圓，越大越扁）

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