一、選擇題
1．橢圓 eq \f(x2,16) ＋ eq \f(y2,6) ＝1上一點(diǎn)M到其中一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為( )
A．2 B．3
C．4 D．5
2．已知△ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓 eq \f(x2,3) ＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長(zhǎng)為( )
A．2 eq \r(3) B．4 eq \r(3)
C．6 D．12
3．已知橢圓 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的離心率為 eq \f(1,2) ，則( )
A.a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a(chǎn)＝2b D．3a＝4b
4．[2021·新高考Ⅰ卷]已知F1，F(xiàn)2是橢圓C： eq \f(x2,9) ＋ eq \f(y2,4) ＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則|MF1|·|MF2|的最大值為( )
A．13 B．12
C．9 D．6
5．已知橢圓C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,4) ＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2，0)，則C的離心率為( )
A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,2)
C． eq \f(\r(2),2) D． eq \f(2\r(2),3)
6．[2023·新課標(biāo)Ⅰ卷]設(shè)橢圓C1： eq \f(x2,a2) ＋y2＝1(a>1)，C2： eq \f(x2,4) ＋y2＝1的離心率分別為e1，e2.若e2＝ eq \r(3) e1，則a＝( )
A． eq \f(2\r(3),3) B． eq \r(2)
C． eq \r(3) D． eq \r(6)
7．[2023·全國(guó)甲卷(理)]設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓C： eq \f(x2,9) ＋ eq \f(y2,6) ＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，cs ∠F1PF2＝ eq \f(3,5) ，則|OP|＝( )
A． eq \f(13,5) B． eq \f(\r(30),2)
C． eq \f(14,5) D． eq \f(\r(35),2)
8．設(shè)橢圓 eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,3) ＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若△PF1F2為直角三角形，則△PF1F2的面積為( )
A．3 B．3或 eq \f(3,2)
C． eq \f(3,2) D．6或3
9．[2022·全國(guó)甲卷(理)，10]橢圓C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線AP，AQ的斜率之積為 eq \f(1,4) ，則C的離心率為( )
A． eq \f(\r(3),2) B． eq \f(\r(2),2)
C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,3)
二、填空題
10．若方程 eq \f(x2,5－k) ＋ eq \f(y2,k－3) ＝1表示橢圓，則k的取值范圍是________．
11．若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率為________．
12．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且⊥，若△PF1F2的面積為9，則b＝________．
[能力提升]
13．[2022·全國(guó)甲卷(文)，11]已知橢圓C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的離心率為 eq \f(1,3) ，A1，A2分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)．若·＝－1，則C的方程為( )
A． eq \f(x2,18) ＋ eq \f(y2,16) ＝1 B． eq \f(x2,9) ＋ eq \f(y2,8) ＝1
C． eq \f(x2,3) ＋ eq \f(y2,2) ＝1 D． eq \f(x2,2) ＋y2＝1
14．[2023·新課標(biāo)Ⅱ卷]已知橢圓C： eq \f(x2,3) ＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線y＝x＋m與C交于A，B兩點(diǎn)，若△F1AB 面積是△F2AB 面積的2倍，則m＝( )
A． eq \f(2,3) B． eq \f(\r(2),3)
C．－ eq \f(\r(2),3) D．－ eq \f(2,3)
15．F1，F(xiàn)2是橢圓 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使∠F1PF2＝90°，則橢圓的離心率的取值范圍是________．
16．[2022·新高考Ⅰ卷，16]已知橢圓C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為 eq \f(1,2) .過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，|DE|＝6，則△ADE的周長(zhǎng)是________．
專練45 橢圓
1．D ∵a＝4，由橢圓的定義知，M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2a－3＝2×4－3＝5.
2．B 由橢圓的方程得a＝ eq \r(3) .設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F，則由橢圓的定義得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周長(zhǎng)為|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4 eq \r(3) .
3．B 由題意得， eq \f(c,a) ＝ eq \f(1,2) ，∴ eq \f(c2,a2) ＝ eq \f(1,4) ，又a2＝b2＋c2，∴ eq \f(a2－b2,a2) ＝ eq \f(1,4) ， eq \f(b2,a2) ＝ eq \f(3,4) ，∴4b2＝3a2.故選B.
4．C 由題，a2＝9，b2＝4，則 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1)) ＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2)) ＝2a＝6，
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1)) · eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2)) ≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2)),2))) 2＝9(當(dāng)且僅當(dāng) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2)) ＝3時(shí)，等號(hào)成立).
故選C.
5．C 由題可知橢圓的焦點(diǎn)落在x軸上，c＝2，
∴a2＝4＋c2＝8，∴a＝2 eq \r(2) ，∴e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(2,2\r(2)) ＝ eq \f(\r(2),2) .
6．A 方法一 由已知得e1＝ eq \f(\r(a2－1),a) ，e2＝ eq \f(\r(4－1),2) ＝ eq \f(\r(3),2) ，因?yàn)閑2＝ eq \r(3) e1，所以 eq \f(\r(3),2) ＝ eq \r(3) × eq \f(\r(a2－1),a) ，得a＝ eq \f(2\r(3),3) .故選A.
方法二 若a＝ eq \f(2\r(3),3) ，則e1＝ eq \f(\r(a2－1),a) ＝ eq \f(\r(（\f(2\r(3),3)）2－1),\f(2\r(3),3)) ＝ eq \f(1,2) ，又e2＝ eq \f(\r(3),2) ，所以e2＝ eq \r(3) e1，所以a＝ eq \f(2\r(3),3) 符合題意．故選A.
7．B
方法一 依題意a＝3，b＝ eq \r(6) ，c＝ eq \r(a2－b2) ＝ eq \r(3) .如圖，不妨令F1(－ eq \r(3) ，0)，F(xiàn)2( eq \r(3) ，0).設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cs ∠F1PF2＝ eq \f(m2＋n2－12,2mn) ＝ eq \f(3,5) ①，
由橢圓的定義可得m＋n＝2a＝6 ②.
由①②，解得mn＝ eq \f(15,2) .
設(shè)|OP|＝x.
在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，
由余弦定理得 eq \f(x2＋3－m2,2\r(3)x) ＝－ eq \f(x2＋3－n2,2\r(3)x) ，
得x2＝ eq \f(m2＋n2－6,2) ＝ eq \f(（m＋n）2－2mn－6,2) ＝ eq \f(15,2) ，所以|OP|＝ eq \f(\r(30),2) .
方法二 依題意a＝3，b＝ eq \r(6) ，c＝ eq \r(a2－b2) ＝ eq \r(3) .
如圖(圖同方法一)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，α＝∠F1PF2，
則cs ∠F1PF2＝cs α＝ eq \f(3,5) ，
故sin ∠F1PF2＝sin α＝ eq \f(2sin \f(α,2)cs \f(α,2),sin2\f(α,2)＋cs2\f(α,2)) ＝ eq \f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2)) ＝ eq \f(4,5) ，則tan eq \f(α,2) ＝ eq \f(1,2) 或tan eq \f(α,2) ＝2(舍去).
故△F1PF2的面積S△F1PF2＝b2tan eq \f(α,2) ＝6× eq \f(1,2) ＝3.
又S△F1PF2＝ eq \f(1,2) ×2c|y0|＝ eq \r(3) |y0|，
故y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝3，又 eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,9) ＋ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,6) ＝1，
所以x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝ eq \f(9,2) ，|OP|2＝x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝ eq \f(15,2) ，|OP|＝ eq \f(\r(30),2) .
方法三 依題意a＝3，b＝ eq \r(6) ，c＝ eq \r(a2－b2) ＝ eq \r(3) .
如圖(圖同方法一)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，利用焦點(diǎn)三角形面積公式知S△F1PF2＝ eq \f(b2sin α,1＋cs α) .
因?yàn)閏s ∠F1PF2＝ eq \f(3,5) ，所以sin ∠F1PF2＝ eq \f(4,5) ，故S△F1PF2＝ eq \f(6×\f(4,5),1＋\f(3,5)) ＝3.又S△F1PF2＝ eq \f(1,2) ×2c|y0|＝ eq \r(3) |y0|，故y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝3，
又 eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,9) ＋ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,6) ＝1，所以x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝ eq \f(9,2) ，|OP|2＝x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝ eq \f(15,2) ，|OP|＝ eq \f(\r(30),2) .
方法四 依題意a＝3，b＝ eq \r(6) ，c＝ eq \r(a2－b2) ＝ eq \r(3) .
如圖(圖同方法一)，不妨令F1(－ eq \r(3) ，0)，F(xiàn)2( eq \r(3) ，0).
設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cs ∠F1PF2＝ eq \f(m2＋n2－12,2mn) ＝ eq \f(3,5) ①，
由橢圓的定義可得m＋n＝2a＝6 ②.
由①②，解得mn＝ eq \f(15,2) .
因?yàn)?eq \(PO,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) (PF1＋PF2)，
所以| eq \(PO,\s\up6(→)) |2＝ eq \f(1,4) (m2＋n2＋2mn cs ∠F1PF2)＝ eq \f(1,4) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（m＋n）2－\f(4,5)mn)) ＝ eq \f(15,2) ，所以|PO|＝ eq \f(\r(30),2) .
8．C 由已知a＝2，b＝ eq \r(3) ，c＝1，
若P為短軸的頂點(diǎn)(0， eq \r(3) )時(shí)，∠F1PF2＝60，△PF1F2為等邊三角形，
∴∠P不可能為直角，
若∠F1＝90°，則|PF1|＝ eq \f(b2,a) ＝ eq \f(3,2) ，
S△PF1F2＝ eq \f(1,2) · eq \f(b2,a) ·2c＝ eq \f(3,2) .
9．A 設(shè)P(x1，y1)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－x1，y1).由題意，得點(diǎn)A(－a，0).又直線AP，AQ的斜率之積為 eq \f(1,4) ，所以 eq \f(y1,x1＋a) · eq \f(y1,－x1＋a) ＝ eq \f(1,4) ，即 eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,a2－x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) ＝ eq \f(1,4) ①.又點(diǎn)P在橢圓C上，所以 eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,a2) ＋ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,b2) ＝1②.由①②，得 eq \f(b2,a2) ＝ eq \f(1,4) ，所以a2＝4b2，所以a2＝4(a2－c2)，所以橢圓C的離心率e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(\r(3),2) .故選A.
10．(3，4)∪(4，5)
解析：由題意可知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5－k>0，,k－3>0，,5－k≠k－3，))
解得3

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