2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題小練習(xí)專練45橢圓-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題
1．橢圓 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,6)＝1上一點M到其中一個焦點的距離為3，則點M到另一個焦點的距離為( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：D
解析：∵a＝4，由橢圓的定義知，M到另一個焦點的距離為2a－3＝2×4－3＝5.
2．已知△ABC的頂點B，C在橢圓 eq \f(x2,3)＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長為( )
A．2 eq \r(3) B．4 eq \r(3)
C．6 D．12
答案：B
解析：由橢圓的方程得a＝ eq \r(3).設(shè)橢圓的另一個焦點為F，則由橢圓的定義得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周長為|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4 eq \r(3).
3．[2024·九省聯(lián)考]橢圓 eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的離心率為 eq \f(1,2)，則a＝( )
A． eq \f(2\r(3),3) B． eq \r(2)
C． eq \r(3) D．2
答案：A
解析：由題意得e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(a2－1),a)＝ eq \f(1,2)，解得a＝ eq \f(2\r(3),3).故選A.
4．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C： eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,4)＝1的兩個焦點，點M在C上，則|MF1|·|MF2|的最大值為( )
A．13 B．12
C．9 D．6
答案：C
解析：由題，a2＝9，b2＝4，則 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1))＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2))＝2a＝6，
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1))· eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2))≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2)),2)))2＝9(當(dāng)且僅當(dāng) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2))＝3時，等號成立).故選C.
5．已知橢圓C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,4)＝1的一個焦點為(2，0)，則C的離心率為( )
A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,2)
C． eq \f(\r(2),2) D． eq \f(2\r(2),3)
答案：C
解析：由題可知橢圓的焦點落在x軸上，c＝2，
∴a2＝4＋c2＝8，∴a＝2 eq \r(2)，∴e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(2,2\r(2))＝ eq \f(\r(2),2).
6．[2023·新課標(biāo)Ⅰ卷]設(shè)橢圓C1： eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)，C2： eq \f(x2,4)＋y2＝1的離心率分別為e1，e2.若e2＝ eq \r(3)e1，則a＝( )
A． eq \f(2\r(3),3) B． eq \r(2)
C． eq \r(3) D． eq \r(6)
答案：A
解析：方法一由已知得e1＝ eq \f(\r(a2－1),a)，e2＝ eq \f(\r(4－1),2)＝ eq \f(\r(3),2)，因為e2＝ eq \r(3)e1，所以 eq \f(\r(3),2)＝ eq \r(3)× eq \f(\r(a2－1),a)，得a＝ eq \f(2\r(3),3).故選A.
方法二若a＝ eq \f(2\r(3),3)，則e1＝ eq \f(\r(a2－1),a)＝ eq \f(\r(（\f(2\r(3),3)）2－1),\f(2\r(3),3))＝ eq \f(1,2)，又e2＝ eq \f(\r(3),2)，所以e2＝ eq \r(3)e1，所以a＝ eq \f(2\r(3),3)符合題意．故選A.
7．[2023·全國甲卷(理)]設(shè)O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓C： eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,6)＝1的兩個焦點，點P在C上，cs ∠F1PF2＝ eq \f(3,5)，則|OP|＝( )
A． eq \f(13,5) B． eq \f(\r(30),2)
C． eq \f(14,5) D． eq \f(\r(35),2)
答案：B
解析：
方法一依題意a＝3，b＝ eq \r(6)，c＝ eq \r(a2－b2)＝ eq \r(3).如圖，不妨令F1(－ eq \r(3)，0)，F(xiàn)2( eq \r(3)，0).設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cs ∠F1PF2＝ eq \f(m2＋n2－12,2mn)＝ eq \f(3,5) ①，
由橢圓的定義可得m＋n＝2a＝6 ②.
由①②，解得mn＝ eq \f(15,2).
設(shè)|OP|＝x.
在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，
由余弦定理得 eq \f(x2＋3－m2,2\r(3)x)＝－ eq \f(x2＋3－n2,2\r(3)x)，
得x2＝ eq \f(m2＋n2－6,2)＝ eq \f(（m＋n）2－2mn－6,2)＝ eq \f(15,2)，所以|OP|＝ eq \f(\r(30),2).
方法二依題意a＝3，b＝ eq \r(6)，c＝ eq \r(a2－b2)＝ eq \r(3).
如圖(圖同方法一)，設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，α＝∠F1PF2，
則cs ∠F1PF2＝cs α＝ eq \f(3,5)，
故sin ∠F1PF2＝sin α＝ eq \f(2sin \f(α,2)cs \f(α,2),sin2\f(α,2)＋cs2\f(α,2))＝ eq \f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))＝ eq \f(4,5)，則tan eq \f(α,2)＝ eq \f(1,2)或tan eq \f(α,2)＝2(舍去).
故△F1PF2的面積S△F1PF2＝b2tan eq \f(α,2)＝6× eq \f(1,2)＝3.
又S△F1PF2＝ eq \f(1,2)×2c|y0|＝ eq \r(3)|y0|，
故y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝3，又 eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,9)＋ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,6)＝1，
所以x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝ eq \f(9,2)，|OP|2＝x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝ eq \f(15,2)，|OP|＝ eq \f(\r(30),2).
方法三依題意a＝3，b＝ eq \r(6)，c＝ eq \r(a2－b2)＝ eq \r(3).
如圖(圖同方法一)，設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，利用焦點三角形面積公式知S△F1PF2＝ eq \f(b2sin α,1＋cs α).
因為cs ∠F1PF2＝ eq \f(3,5)，所以sin ∠F1PF2＝ eq \f(4,5)，故S△F1PF2＝ eq \f(6×\f(4,5),1＋\f(3,5))＝3.又S△F1PF2＝ eq \f(1,2)×2c|y0|＝ eq \r(3)|y0|，故y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝3，
又 eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,9)＋ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,6)＝1，所以x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝ eq \f(9,2)，|OP|2＝x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝ eq \f(15,2)，|OP|＝ eq \f(\r(30),2).
方法四依題意a＝3，b＝ eq \r(6)，c＝ eq \r(a2－b2)＝ eq \r(3).
如圖(圖同方法一)，不妨令F1(－ eq \r(3)，0)，F(xiàn)2( eq \r(3)，0).
設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cs ∠F1PF2＝ eq \f(m2＋n2－12,2mn)＝ eq \f(3,5) ①，
由橢圓的定義可得m＋n＝2a＝6 ②.
由①②，解得mn＝ eq \f(15,2).
因為 eq \(PO,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)(PF1＋PF2)，
所以| eq \(PO,\s\up6(→))|2＝ eq \f(1,4)(m2＋n2＋2mn cs ∠F1PF2)＝ eq \f(1,4) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（m＋n）2－\f(4,5)mn))＝ eq \f(15,2)，所以|PO|＝ eq \f(\r(30),2).
8．設(shè)橢圓 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，若△PF1F2為直角三角形，則△PF1F2的面積為( )
A．3 B．3或 eq \f(3,2)
C． eq \f(3,2) D．6或3
答案：C
解析：由已知a＝2，b＝ eq \r(3)，c＝1，
若P為短軸的頂點(0， eq \r(3))時，∠F1PF2＝60，△PF1F2為等邊三角形，
∴∠P不可能為直角，
若∠F1＝90°，則|PF1|＝ eq \f(b2,a)＝ eq \f(3,2)，
S△PF1F2＝ eq \f(1,2)· eq \f(b2,a)·2c＝ eq \f(3,2).
9．[2022·全國甲卷(理)，10]橢圓C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線AP，AQ的斜率之積為 eq \f(1,4)，則C的離心率為( )
A． eq \f(\r(3),2) B． eq \f(\r(2),2)
C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,3)
答案：A
解析：設(shè)P(x1，y1)，則點Q的坐標(biāo)為(－x1，y1).由題意，得點A(－a，0).又直線AP，AQ的斜率之積為 eq \f(1,4)，所以 eq \f(y1,x1＋a)· eq \f(y1,－x1＋a)＝ eq \f(1,4)，即 eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,a2－x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )＝ eq \f(1,4)①.又點P在橢圓C上，所以 eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,a2)＋ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,b2)＝1②.由①②，得 eq \f(b2,a2)＝ eq \f(1,4)，所以a2＝4b2，所以a2＝4(a2－c2)，所以橢圓C的離心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(3),2).故選A.
二、填空題
10．若方程 eq \f(x2,5－k)＋ eq \f(y2,k－3)＝1表示橢圓，則k的取值范圍是________．
答案：(3，4)∪(4，5)
解析：由題意可知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5－k>0，,k－3>0，,5－k≠k－3，))
解得30)的離心率為 eq \f(1,3)，A1，A2分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若·＝－1，則C的方程為( )
A． eq \f(x2,18)＋ eq \f(y2,16)＝1 B． eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,8)＝1
C． eq \f(x2,3)＋ eq \f(y2,2)＝1 D． eq \f(x2,2)＋y2＝1
答案：B
解析：由橢圓C的離心率為 eq \f(1,3)，可得e＝ eq \f(c,a)＝ eq \r(\f(a2－b2,a2))＝ eq \f(1,3).化簡，得8a2＝9b2.易知A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，所以·＝(－a，－b)·(a，－b)＝－a2＋b2＝－1.聯(lián)立得方程組 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(8a2＝9b2，,－a2＋b2＝－1，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝9，,b2＝8.))所以C的方程為 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,8)＝1.故選B.
14．[2023·新課標(biāo)Ⅱ卷]已知橢圓C： eq \f(x2,3)＋y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線y＝x＋m與C交于A，B兩點，若△F1AB 面積是△F2AB 面積的2倍，則m＝( )
A． eq \f(2,3) B． eq \f(\r(2),3)
C．－ eq \f(\r(2),3) D．－ eq \f(2,3)
答案：C
解析：由題意，F(xiàn)1(－ eq \r(2)，0)，F(xiàn)2( eq \r(2)，0)，△F1AB面積是△F2AB面積的2倍，所以點F1到直線AB的距離是點F2到直線AB的距離的2倍，即 eq \f(|－\r(2)＋m|,\r(2))＝2× eq \f(|\r(2)＋m|,\r(2))，解得m＝－ eq \f(\r(2),3)或m＝－3 eq \r(2)(舍去)，故選C.
15．F1，F(xiàn)2是橢圓 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，若橢圓上存在一點P，使∠F1PF2＝90°，則橢圓的離心率的取值范圍是________．
答案：[ eq \f(\r(2),2)，1)
解析：設(shè)P0為橢圓 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1的上頂點，由題意得∠F1P0F2≥90°，
∴∠OP0F2≥45°，∴ eq \f(c,a)≥sin 45°，∴e≥ eq \f(\r(2),2)，
又0