橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.橢圓的定義
在平面內(nèi)與兩定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡叫________．
這兩定點(diǎn)叫做橢圓的________，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的________．
集合，，其中是常數(shù)，且：
⑴若，則集合表示橢圓；
⑵若，則集合表示線段；
⑶若，則集合為空集．
2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
3．點(diǎn)和橢圓的關(guān)系
(1)點(diǎn)在橢圓內(nèi).
(2)點(diǎn)在橢圓上.
(3)點(diǎn)在橢圓外.
1．“”是“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的（）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．既不充分也不必要條件 D．充要條件
2．已知，是橢圓的兩焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，在中，若有兩邊之和是，則第三邊的長度為（）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)在橢圓上，則（）
A． B． C． D．
4．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上,則的最大值是（）
A． B． C． D．
考點(diǎn)一橢圓的定義
【例1】已知為橢圓上的點(diǎn)，點(diǎn)為圓
上的動點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動點(diǎn)，則的最大值為（）
A． B． C． D．
【方法技巧】橢圓定義的應(yīng)用主要有
(1)確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓.
(2)解決與焦點(diǎn)有關(guān)的距離問題.
橢圓上的任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的所有距離中，最大距離為，最小
距離為.
【變式】橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上任一點(diǎn)，
則的取值范圍是（）
A． B． C． D．
考點(diǎn)二求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例2】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和等于；
（2）橢圓的長軸長等于短軸長的倍，并且經(jīng)過點(diǎn)．
【方法技巧】用待定系數(shù)法求橢圓方程的步驟
(1)定位：確定焦點(diǎn)的位置，若不能確定，要分類討論；
(2)定量：由條件求、、．
【變式】已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在橢圓上，則橢圓的方程為．
考點(diǎn)三橢圓方程的綜合運(yùn)用
【例3】已知橢圓過點(diǎn)和點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．
【方法技巧】兩種情況的解法策略
（1）若，通常設(shè)的中點(diǎn)，利用去解決；
（2）若，通常利用去解決．
1．橢圓的焦點(diǎn)在軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則的值為（）
A． B． C． D．
2．橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，若線段的中點(diǎn)在軸上，則（）
A． B． C． D．
3．一個橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，是橢圓上一點(diǎn)，且成等差數(shù)列，則橢圓方程為（）
A． B． C． D．
4．已知橢圓上有一點(diǎn)，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若為直角三角形，則這樣的點(diǎn)有（）
A．3個 B．4個 C．6個 D．8個
5．已知、是橢圓：的兩個焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.若的面積為，則______.
6．已知動點(diǎn)在橢圓上，若，，且，則的最小值是_____．
7．已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，短軸的一個端點(diǎn)到的距離等于焦距.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，是否存在直線，使得與的面積比值為？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．
8．已知曲線上任意一點(diǎn)到兩個定點(diǎn)和的距離之和為．
（1）求曲線的方程；
（2）設(shè)過的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程．
焦點(diǎn)位置
焦點(diǎn)在上
焦點(diǎn)在上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)
、
、
焦距
的關(guān)系