1.已知焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-4),(0,4),且過點(diǎn)(0,-6)的橢圓方程為( )
A.=1B.=1
C.=1D.=1
2.已知橢圓=1(a>b>0)的離心率為,橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和為12,則橢圓的短軸長為( )
A.8B.6C.5D.4
3.已知P是橢圓上一點(diǎn),F是橢圓的一個焦點(diǎn),則以線段PF為直徑的圓和以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系是( )
A.相離B.內(nèi)切C.內(nèi)含D.相交
4.已知F1,F2為橢圓=1(a>b>0)的兩個焦點(diǎn),B為橢圓短軸的一個端點(diǎn),,則橢圓的離心率的取值范圍為( )
A.0,B.0,C.0,D.
5.
(多選)如圖所示,“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球,在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行,之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行,最終衛(wèi)星在P點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行,若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸的長,下列式子中正確的是( )
A.a1+c1=a2+c2B.a1-c1=a2-c2
C.c1a2>a1c2D.
6.已知橢圓C:=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0),點(diǎn)F關(guān)于直線y=bx的對稱點(diǎn)Q在橢圓C上,則離心率e= ,S△FOQ= .
綜合提升組
7.已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為( )
A.+y2=1B.=1
C.=1D.=1
8.已知橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P是橢圓上一點(diǎn),△PF1F2是以F2P為底邊的等腰三角形,且60°0),F1,F2為其左、右焦點(diǎn),B1,B2為其上、下頂點(diǎn),四邊形F1B1F2B2的面積為2,P為橢圓E上任意一點(diǎn),以P為圓心的圓(記為圓P)總經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.
(1)求橢圓E的長軸A1A2的長的最小值,并確定此時(shí)橢圓E的方程.
(2)對于(1)中確定的橢圓E,若給定圓F1:(x+1)2+y2=3,則圓P和圓F1的公共弦MN的長是否為定值?若是,求|MN|的值;若不是,請說明理由.
參考答案
課時(shí)規(guī)范練44 橢圓及幾何性質(zhì)
1.B 由題意,橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-4),(0,4),可得橢圓的焦點(diǎn)在y軸,且c=4,
又由過點(diǎn)(0,-6),則a=6,所以b2=a2-c2=62-42=20,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.故選B.
2.A 橢圓=1(a>b>0)的離心率e=,橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和為12,即2a=12,則a=6,c=2,
所以b==4,則橢圓短軸長為2b=8.故選A.
3.B 不妨設(shè)橢圓的方程為=1(a>b>0),F,F'分別是橢圓的左右焦點(diǎn),作出以線段PF為直徑的圓和以長軸為直徑的圓x2+y2=a2,如圖所示.
設(shè)PF中點(diǎn)為M,連接PF',∴OM是△PFF'的中位線,∴|OM|=|PF'|,即兩圓的圓心距為|PF'|,根據(jù)橢圓定義,可得|PF|+|PF'|=2a,∴圓心距|OM|=|PF'|=(2a-|PF|)=a-|PF|,即兩圓的圓心距等于它們半徑之差,∴以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系是內(nèi)切.故選B.
4.C 由橢圓定義可知|BF1|=|BF2|=a,|OF1|=|OF2|=c,
則sin∠OBF1==e,所以cs∠F1BF2=1-2sin2∠OBF1=1-2e2,
因?yàn)?
即(1-2e2)a2≥c2,(1-2e2)≥e2,
即e2所以0a2,c1>c2,
∴a1+c1>a2+c2,∴A不正確;
∵a1-c1=|PF|,a2-c2=|PF|,
∴a1-c1=a2-c2,B正確;
由a1+c2=a2+c1,可得(a1+c2)2=(a2+c1)2,+2a1c2=+2a2c1,
即+2a1c2=+2a2c1,
∵b1>b2,∴a2c1>a1c2,C正確;
可得,D不正確.故選BC.
6 設(shè)點(diǎn)Q(x,y),則由點(diǎn)Q與橢圓的右焦點(diǎn)F(1,0)關(guān)于直線y=bx對稱得解得代入橢圓C的方程得=1,結(jié)合a2=b2+1解得則橢圓的離心率e=,S△FOQ=|OF|1
7.
B 如圖,由已知可設(shè)|F2B|=n,|BF1|=m.由|AB|=|BF1|,
則|AF2|=m-n,|AB|=m.
又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n.
由橢圓的定義及|AF2|=2|F2B|,
得解得
∴|AF1|=a,|AF2|=a.
∴點(diǎn)A為(0,-b)=b.
過點(diǎn)B作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)P.
由題意可知△OAF2∽△PBF2.
又|AF2|=2|F2B|,∴|OF2|=2|F2P|.
∴|F2P|=
又=b,
∴|BP|=b.∴點(diǎn)B
把點(diǎn)B坐標(biāo)代入橢圓方程=1中,得a2=3.又c=1,故b2=2.
所以橢圓方程為=1.
8.B 由題意可得,|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2-2|F1F2|·|PF1|cs∠PF1F2=4c2+4c2-2·2c·2c·cs∠PF1F2,即|PF2|=2c,
所以a==c+c,又60°

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