1．（2024·河北·模擬預(yù)測）若事件，發(fā)生的概率分別為，，，則“”是“”的（ ）條件.
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分且必要D．既不充分又不必要
2．（24-25高三上·浙江·階段練習(xí)）若，，，則（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·上?！て谥校┮阎录c相互獨(dú)立，且，則下列選項不一定成立的是（ ）
A．；B．；
C．；D．.
4．（24-25高三上·廣東湛江·期中）已知某條線路上有兩輛相鄰班次的（快速公交車），若準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為，在B準(zhǔn)點(diǎn)到站的前提下準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為，在準(zhǔn)點(diǎn)到站的前提下B不準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為，則B準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·安徽·階段練習(xí)）某次跳水比賽甲、乙、丙、丁、戊5名跳水運(yùn)動員進(jìn)入跳水比賽決賽，現(xiàn)采用抽簽法決定決賽跳水順序，在“運(yùn)動員甲不是第一個出場，運(yùn)動員乙不是最后一個出場”的前提下，“運(yùn)動員丙第一個出場”的概率為（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）高二某班共有50名學(xué)生，其中女生有名，“三好學(xué)生”人數(shù)是全班人數(shù)的，且“三好學(xué)生”中女生占一半，現(xiàn)從該班學(xué)生中任選1人參加座談會，則在已知沒有選上女生的條件下，選上的學(xué)生是“三好學(xué)生”的概率為（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高三上·甘肅白銀·階段練習(xí)）質(zhì)監(jiān)部門對某種建筑構(gòu)件的抗壓能力進(jìn)行檢測，對此建筑構(gòu)件實施打擊，該構(gòu)件有兩個易損部位，每次打擊后，部位損壞的概率為，部位損壞的概率為，則在第一次打擊后就有部位損壞（只考慮兩個易損部分）的條件下，兩個部位都損壞的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·全國·模擬預(yù)測）學(xué)業(yè)成績是否優(yōu)秀與日均體育鍛煉時長有關(guān)．據(jù)調(diào)查，某校大約有的學(xué)生學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀，大約有的學(xué)生日均體育鍛煉時長超過1.5h，且其中日均體育鍛煉時長超過1.5h的學(xué)生學(xué)業(yè)成績的優(yōu)秀率約為．現(xiàn)從日均體育鍛煉時長不超過1.5h的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他的學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀的概率約為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（24-25高三上·江蘇南通·期中）隨機(jī)事件A，B滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．事件與互斥B．事件A與相互獨(dú)立C．D．
10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）現(xiàn)有一顆質(zhì)地均勻的骰子，將其先后抣擲兩次，表示事件“第一次擲出點(diǎn)數(shù)為2”，表示事件“第二次擲出點(diǎn)數(shù)為4”，表示事件“兩次擲出點(diǎn)數(shù)之和是8”，表示事件“兩次擲出點(diǎn)數(shù)之差的絕對值為0”，則（ ）
A．事件與事件互斥B．事件與事件相互獨(dú)立
C．D．
11．（2024·浙江·一模）現(xiàn)有一個抽獎活動，主持人將獎品放在編號為1、2、3的箱子中，甲從中選擇了1號箱子，但暫時未打開箱子，主持人此時打開了另一個箱子（主持人知道獎品在哪個箱子，他只打開甲選擇之外的一個空箱子）.記表示第號箱子有獎品，表示主持人打開第號箱子.則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．若再給甲一次選擇的機(jī)會，則甲換號后中獎概率增大
D．若再給甲一次選擇的機(jī)會，則甲換號后中獎概率不變
三、填空題
12．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知隨機(jī)事件，若；則 ．
13．（24-25高三上·天津西青·期中）已知甲、乙、丙三人參加射擊比賽，甲、乙、丙三人射擊一次命中的概率分別為，，，且每個人射擊相互獨(dú)立，若每人各射擊一次，則至少有一人命中的概率為 ；在三人中恰有兩人命中的前提下，甲命中的概率為 .
14．（24-25高三上·河北滄州·階段練習(xí)）中國是瓷器的故鄉(xiāng)，瓷器的發(fā)明是中華民族對世界文明的偉大貢獻(xiàn)，瓷器傳承著中國文化，有很高的欣賞和收藏價值．現(xiàn)有一批同規(guī)格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷廠生產(chǎn)，其中甲、乙、丙瓷廠分別生產(chǎn)300件、300件、400件，而且甲、乙、丙瓷廠的次品率依次為4%、3%、3%．現(xiàn)從這批瓷器中任取一件，若取到的是次品，則其來自甲廠的概率為 ．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）
四、解答題
15．（24-25高三上·遼寧·期中）甲乙兩人進(jìn)行場羽毛球比賽，甲每場比賽獲勝的概率為，乙每場比賽獲勝的概率為，記事件為“比賽中既有甲獲勝也有乙獲勝”，事件為“比賽中甲至多獲勝一場”
(1)若，，求和；
(2)若，證明：事件，獨(dú)立的充要條件為.
16．（24-25高三上·廣西·期中）某校、兩家餐廳，某同學(xué)每天都會在這兩家餐廳中選擇一家用餐，已知該同學(xué)第一天選擇餐廳的概率是，若在前一天選擇餐廳的條件下，后一天繼續(xù)選擇餐廳的概率為，而在前一天選擇餐廳的條件下，后一天繼續(xù)選擇餐廳的概率為12，如此往復(fù)．
(1)求該同學(xué)第一天和第二天都選擇餐廳的概率；
(2)求該同學(xué)第二天選擇餐廳的概率；
(3)記該同學(xué)第天選擇餐廳的概率為，求數(shù)列的通項公式.
17．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，賽前每人有3面小紅旗.一局比賽后輸者需給贏者一面小紅旗；若是平局就不需要給紅旗，當(dāng)其中一方無小紅旗時，比賽結(jié)束，有6面小紅旗者最終獲勝.根據(jù)以往兩人的比賽結(jié)果可知，在一局比賽中甲勝的概率為，乙勝的概率為
(1)設(shè)第一局比賽后甲的紅旗個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)求比賽共進(jìn)行五局且甲獲勝的概率；
(3)若比賽一共進(jìn)行五局且第一局是乙勝，求此條件下甲最終獲勝的概率（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）.
18．（2024高三·全國·專題練習(xí)）甲、乙兩位乒乓球愛好者進(jìn)行一次對抗賽，第一個球的發(fā)球權(quán)通過擲硬幣確定，從第二個球開始，上一個球誰贏誰發(fā)球．由歷史數(shù)據(jù)可知，甲發(fā)球甲贏的概率為，乙發(fā)球甲贏的概率為．
(1)求第1個球甲贏的概率；
(2)求第個球甲贏的概率；
(3)定義第個球甲贏的期望，求．
19．（24-25高三上·廣東惠州·期中）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為項數(shù)列，由所有項0數(shù)列組成集合.
(1)若是12項0數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)時，，求數(shù)列的所有項的和；
(2)從集合中任意取出兩個數(shù)列，記.
①求隨機(jī)變量的分布列，并證明：；
②若用某軟件產(chǎn)生項數(shù)列，記事件“第一次產(chǎn)生數(shù)字1”，“第二次產(chǎn)生數(shù)字1”，且.若，比較與的大小
參考答案：
1．C
【分析】轉(zhuǎn)化，，根據(jù)充分性必要性的定義，以及條件概率公式，分析即得解.
【詳解】因為，所以，所以，
所以.
反之由能推出，
所以“”是“”的充分且必要條件.
故選：C
2．D
【分析】利用條件概率公式和并事件概率性質(zhì)求解即可．
【詳解】由，，可知，，
又，所以，
所以.
故選：D
3．B
【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式和條件概率公式，結(jié)合對立事件的定義逐一判斷即可.
【詳解】因為與相互獨(dú)立，所以與、與、與也相互獨(dú)立，
A選項，，故A一定成立；
B選項，，
而，所以，故B不成立；
C選項，，
故C一定成立；
D選項，，
故D一定成立.
故選：B.
4．B
【分析】根據(jù)已知條件以及條件概率列方程，從而求得準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率.
【詳解】設(shè)事件為“準(zhǔn)點(diǎn)到站”，事件為“準(zhǔn)點(diǎn)到站”，
依題意，，
而，解得，
而，
則，而，解得.
故選：B
5．A
【分析】先甲最后一個出場或甲在中間出場分類討論求出方法數(shù)，再求出此時運(yùn)動員丙第一個出場的方法數(shù)，然后由概率公式計算．
【詳解】“運(yùn)動員甲不是第一個出場，運(yùn)動員乙不是最后一個出場”可分為甲最后一個出場或甲在中間出場，
方法數(shù)為，
在“運(yùn)動員甲不是第一個出場，運(yùn)動員乙不是最后一個出場”的前提下，“運(yùn)動員丙第一個出場”，
即“運(yùn)動員丙第一個出場，運(yùn)動員乙不是最后一個出場”，方法數(shù)為，
因此所求概率為．
故選：A．
6．D
【分析】分別計算“三好學(xué)生”人數(shù)，女“三好學(xué)生”與男“三好學(xué)生”人數(shù)，再利用條件概率計算公式即可得出結(jié)論．
【詳解】“三好學(xué)生”人數(shù)是全班人數(shù)的， “三好學(xué)生”人數(shù)是人，男生人數(shù)為人，
“三好學(xué)生”中女生占一半，女“三好學(xué)生”與男“三好學(xué)生”各是人．
現(xiàn)從該班學(xué)生中任選1人參加座談會，則在已知沒有選上女生的條件下，
選上的學(xué)生是“三好學(xué)生”的概率，
故選：D．
7．A
【分析】求得第一次打擊后就有部位損壞的概率和兩個部位都損壞的概率，再由條件概率公式代入即可求解.
【詳解】解題分析記事件：第一次打擊后就有部位損壞，事件兩個部位都損壞，
則，
由條件概率公式可得.
故選：A
8．D
【分析】解法一：先求出日均體育鍛煉時長不超過1.5h且學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀的學(xué)生，再結(jié)合條件概率公式求解即可；
解法二 ：設(shè)該校總?cè)藬?shù)為1000人，分析可得日均體育鍛煉時長不超過1.5h的學(xué)生有800人，其中學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀的有300人，進(jìn)而結(jié)合古典概型的概率公式求解即可.
【詳解】解法一：日均體育鍛煉時長不超過1.5h且學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀的學(xué)生有．
記“該學(xué)生日均體育鍛煉時長不超過1.5h”為事件，“該學(xué)生學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀”為事件，
則，，
所以．
解法二 ：不妨設(shè)該校總?cè)藬?shù)為1000人，則學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀的有（人），
日均體育鍛煉時長超過1.5h的有（人），
且其中學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀的有（人），
因此日均體育鍛煉時長不超過1.5h的學(xué)生有（人），
其中學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀的有（人），
因此，從日均體育鍛煉時長不超過1.5h的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，
他的學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀的概率約為．
故選：D.
9．ABC
【分析】根據(jù)互斥事件的定義，結(jié)合獨(dú)立事件的定義、條件概率的公式逐一判斷即可.
【詳解】因為與一定互斥，所以A對；
獨(dú)立，B對．
對．
錯，
故選：ABC
10．BC
【分析】由互斥事件的定義即可判斷A，由相互獨(dú)立事件的定義即可判斷B，結(jié)合條件概率的計算公式代入計算，即可判斷CD
【詳解】事件B與事件D可以同時發(fā)生，即第一次、第二次均擲出4點(diǎn)，
故事件B與事件D不互斥，A錯誤．
又，
從而事件A與事件D相互獨(dú)立，B正確．
又，成立，C正確．
，，則，D錯誤．
故選：BC
11．BC
【分析】根據(jù)給定條件，利用古典概率公式，結(jié)合條件概率和全概率公式及逐項判斷即可.
【詳解】對于A，甲選擇1號箱，獎品在2號箱里，主持人打開3號箱的概率為1，即，A錯誤；
對于B，，，，，
則，
因此，B正確；
對于CD，若繼續(xù)選擇1號箱，獲得獎品的概率為，主持人打開了無獎品的箱子，
若換號，選擇剩下的那個箱子，獲得獎品的概率為，甲換號后中獎概率增大，C正確，D錯誤.
故選：BC
12．
【分析】利用條件概率、獨(dú)立事件的乘法公式結(jié)合事件的關(guān)系與運(yùn)算計算即可.
【詳解】由題意可得，，
而，
，
又.
故答案為：．
13．
【分析】根據(jù)對立事件結(jié)合獨(dú)立事件概率求法求至少有一人命中的概率，記“三人中恰有兩人命中”為事件M，“甲命中”為事件N，求，結(jié)合條件概率公式運(yùn)算求解.
【詳解】記“至少有一人命中”為事件A，所以；
記“三人中恰有兩人命中”為事件M，“甲命中”為事件N，
則，
，
所以.
故答案為：；.
14．0.36
【分析】先由古典概率計算抽到各廠產(chǎn)品的概率，再由全概率計算抽到次品的概率，最后由條件概率計算即可；
【詳解】設(shè)B表示事件：取得次品．表示事件：該產(chǎn)品由第i家工廠生產(chǎn)（，2，3）．第i家工廠（，2，3）分別表示甲、乙、丙瓷廠．
，，．
，，，．
故取到的是次品，則其來自甲廠的概率為．
故答案為：0.36.
15．(1)，.
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)二項分布可求，根據(jù)條件概率的概率公式可求和；
（2）當(dāng)時，根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式可判斷事件，獨(dú)立，而當(dāng)事件，獨(dú)立時，根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可證明.
【詳解】（1）表示“甲乙比賽3場，甲勝一場輸兩場”，
故，而，
故
（2）若，則，
，
而，故，
所以獨(dú)立，
若獨(dú)立，則，
而，
而，
所以，整理得到：，
化簡得到：，設(shè)，則，
故當(dāng)時，，而，
故有且只有一個正整數(shù)解，
綜上，事件，獨(dú)立的充要條件為.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式計算即可;
（2）利用條件概率公式計算即得;
（3）利用全概率公式列式，再利用構(gòu)造法證明即得.
【詳解】（1）該同學(xué)第一天和第二天都選擇餐廳的概率為;
（2）設(shè)表示第1天選擇餐廳,表示第2天選擇餐廳,則表示第1天選擇選擇餐廳，
根據(jù)題意得,
所以.
（3）設(shè)表示第天選擇餐廳,則
根據(jù)題意得
由全概率公式得，
,
即,整理得，
又
所以是以為首項,為公比的等比數(shù)列,
所以,
所以.
17．(1)分布列見解析，期望為3.1
(2)0.225
(3)0.48
【分析】（1）求出的可能取值和相應(yīng)的概率，得到分布列，計算出數(shù)學(xué)期望；
（2）分兩種情況，計算出概率相加得到概率；
（3）設(shè)出事件，利用條件概率公式得到答案.
【詳解】（1）的可能取值為，
其中，，，
所以分布列為
數(shù)學(xué)期望為
（2）比賽共進(jìn)行五局且甲獲勝，則前4場甲贏2場，平局2場，最后一場甲贏，
或前3場甲贏2場，輸1場，第4場和第5場最后一場甲均贏，
故概率為，
（3）設(shè)比賽一共進(jìn)行五局且甲最終獲勝為事件，
比賽一共進(jìn)行五局且第一局是乙勝為事件，
故，
事件包含三種情況，一共進(jìn)行五局，甲后4局獲勝，
第2場，第3場和第4場中乙勝1場，平局2場，第5場乙勝，
第2場或第3場甲勝，剩余3場乙勝，
，
故比賽一共進(jìn)行五局且第一局是乙勝，此條件下甲最終獲勝的概率為
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）設(shè)第1個球的發(fā)球人為甲為事件，第1個球的發(fā)球人為乙為事件，第1個球甲贏為事件，由條件概率公式可得，進(jìn)而由全概率公式求解即可；
（2）先利用全概率公式找到與的遞推關(guān)系式，進(jìn)而得到數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式求出；
（3）結(jié)合題意寫出的表達(dá)式，進(jìn)而利用分組求和法、錯位相減法求.
【詳解】（1）設(shè)第1個球的發(fā)球人為甲為事件，第1個球的發(fā)球人為乙為事件，
第1個球甲贏為事件，
由題知，，
由全概率公式知，，
第1個球甲贏的概率．
（2）設(shè)事件：第個球甲贏，事件：第個球乙贏，
由題知，當(dāng)時，，
由全概率公式知，當(dāng)時，
，
，
，
數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
，
．
（3）由（2）知，．
設(shè)數(shù)列的前項和為，
則，①
，②
①②得，
，
易知數(shù)列的前項和為，
．
19．(1)0
(2)①分布列見解析，證明見解析；②
【分析】（1）根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列求和問題，進(jìn)而求解即可；
（2）①由題知的可能取值為：，進(jìn)而結(jié)合題意得到，再結(jié)合等式求數(shù)學(xué)期望，并結(jié)合不等式放縮即可證明；
②利用條件概率公式，結(jié)合不等式的性質(zhì)變形即可證明.
【詳解】（1）因為是12項數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)時，，
所以當(dāng)和時，.
設(shè)數(shù)列的所有項的和為，
則.
所以數(shù)列的所有項的和為0.
（2）①證明：因為數(shù)列是從集合中任意取出的兩個數(shù)列，
所以數(shù)列為項數(shù)列，
所以的可能取值為：.
因為集合中元素的個數(shù)共有個，
當(dāng)時，則數(shù)列中有項取值不同，有項取值相同，
所以，
所以隨機(jī)變量的分布列為：
因為，
所以
，
即.
②解：由條件得：，
所以，
化簡得：，
所以，
則
即，
所以，即.
2
3
4
0.4
0.1
0.5
1
2
3

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