若離散型隨機(jī)變量的分布列為
⑴均值
①稱(chēng)為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望．
②它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．
⑵方差
①稱(chēng)為隨機(jī)變量 的方差．
②它刻畫(huà)了隨機(jī)變量與其均值的平均偏離程度．
③其中算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差．
2．兩點(diǎn)分布
⑴均值_p____， ⑵方差_p(1-p)________．
3．二項(xiàng)分布
⑴均值__np___， ⑵方差_np(1-p)________．
4．均值與方差的性質(zhì)
⑴_(tái)aE(x)+b_________． ⑵__________．
1．若離散型隨機(jī)變量的分布列為（ ）
則的數(shù)學(xué)期望＝（ ）
A．2 B．2或 C． D．1
【答案】C
【解析】∵，∴，．
2．隨機(jī)變量，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴ ．
考點(diǎn)一 離散型隨機(jī)變量的均值與方差
【例1】某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng)，已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì).
（1）設(shè)為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事件發(fā)生的概率；
（2）設(shè)為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【解析】（1）由已知，有，
∴事件發(fā)生的概率為.
（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為
，，
.
∴隨機(jī)變量分布列為
∴.
【方法技巧】求離散型隨機(jī)變量的均值與
方差的步驟
（1）理解的意義，寫(xiě)出可能的全部值；（2）求取每個(gè)值的概率；
（3）寫(xiě)出的分布列．（4）由均值的定義求；（5）由方差的定義求．
考點(diǎn)二 與二項(xiàng)分布有關(guān)的均值與方差
【例2】一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷(xiāo)售記錄，繪制了日銷(xiāo)售量的頻率分布直方圖，如圖所示：
將日銷(xiāo)售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷(xiāo)售量相互獨(dú)立．
（1）求在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷(xiāo)售量都不低于100個(gè)且另一天的日銷(xiāo)售量低于50個(gè)的概率；
（2）用表示在未來(lái)3天里日銷(xiāo)售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列，期望及方差．
【解析】（1）設(shè)表示事件“日銷(xiāo)售量不低于100個(gè)”，
表示事件“日銷(xiāo)售量低于50個(gè)”，
表示事件“在未來(lái)連續(xù)3天里有連續(xù)2天日銷(xiāo)售量不低于100個(gè)且另1天銷(xiāo)售量低于50個(gè)”．因此
，
，
.
(2)可能取的值為0，1，2，3，相應(yīng)的概率分別為
， ，
，.
的分布列為
∵，
∴期望，
方差．
方法技巧】與二項(xiàng)分布有關(guān)的期望、方差的求法
（1）求隨機(jī)變量的期望與方差時(shí)，可首先分析是否服從二項(xiàng)分布，如果，則用公式，求解，可大大減少計(jì)算量．
（2）有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，這時(shí)，可以綜合應(yīng)用以及求出，同樣還可求出．
考點(diǎn)三 均值與方差在決策中的應(yīng)用
【例3】某公司為招聘新員工設(shè)計(jì)了一個(gè)面試方案:應(yīng)聘者從道備選題中一次性隨機(jī)抽取道題,按照題目要求獨(dú)立完成．規(guī)定:至少正確完成其中道題的便可通過(guò)．已知道備選題中應(yīng)聘者甲有道題能正確完成,道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是,且每題正確完成與否互不影響．
（1）分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列,并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望；
（2）請(qǐng)分析比較甲、乙兩人誰(shuí)的面試通過(guò)的可能性大？
【解析】（1）設(shè)甲正確完成面試的題數(shù)為, 則的取值分別為．
，，；
考生甲正確完成題數(shù)的分布列為


．
設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為，則取值分別為．
，,
,．
考生乙正確完成題數(shù)的分布列為:


．
（2）∵，
， ∴．
綜上所述，從做對(duì)題數(shù)的數(shù)學(xué)期望考查,兩人水平相當(dāng)；
從做對(duì)題數(shù)的方差考查,甲較穩(wěn)定；
從至少完成道題的概率考查,甲獲得面試通過(guò)的可能性大．
【方法技巧】均值與方差在決策中的方法
隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫(huà)了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來(lái)決定．
1．設(shè)隨機(jī)變量，且，則概率的值是（ C ）
A． B．
C．或 D．
【解析】由，解得或．
2．設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，則等于（ B ）
A．5 B．8 C．10 D．16
【解析】∵，
∴．
3．隨機(jī)變量～，那么的值為（B ）
A． B． C． D．
【解析】，
∴．
4．有一批產(chǎn)品，其中有件正品和件次品，從中任取件，若表示取到次品的個(gè)數(shù)，則（ B ）
A． B． C． D．
【解析】可取，則，
∴，
．
5．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，，則 ．
【解析】∵，∴，∴.
6．同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)的均值是 ．
【解析】一次實(shí)驗(yàn)中成功次數(shù)的取值為．
其中．
在1次實(shí)驗(yàn)中成功的概率為，
∴在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)的概率為
,，∴．
7．某商場(chǎng)舉行優(yōu)惠促銷(xiāo)活動(dòng)，顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種，
方案一：每滿(mǎn)元減元：
方案二：每滿(mǎn)元可抽獎(jiǎng)一次．具體規(guī)則是依次從裝有個(gè)紅球、個(gè)白球的甲箱，裝有個(gè)紅球、個(gè)白球的乙箱，以及裝有個(gè)紅球、個(gè)白球的丙箱中各隨機(jī)摸出個(gè)球，所得結(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表：（注：所有小球僅顏色有區(qū)別）
（1）若兩個(gè)顧客都選擇方案二，各抽獎(jiǎng)一次，求至少一個(gè)人獲得半價(jià)優(yōu)惠的概率；
（2）若某顧客購(gòu)物金額為320元，用所學(xué)概率知識(shí)比較哪一種方案更劃算？
【解析】（1）記顧客獲得半價(jià)優(yōu)惠為事件，
則，
兩個(gè)顧客至少一個(gè)人獲得半價(jià)優(yōu)惠的概率
．
（2）若選擇方案一，則付款金額為元．
若選擇方案二，記付款金額為元，則可取，，，．
，
，
，
，
則．
∵，∴第二種方案比較劃算．
8．張先生家住小區(qū)，他工作在科技園區(qū)，從家開(kāi)車(chē)到公司上班路上有兩條路線（如圖），路線上有三個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率均為；路線上有兩個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率依次為，．
（1）若走路線，求最多遇到1次紅燈的概率；
（2）若走路線，求遇到紅燈次數(shù)的數(shù)學(xué)期望；
H
C
A1
A2
B1
B2
L1
L2
A3
（3）按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求，請(qǐng)你幫助張先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說(shuō)明理由．
【解析】（1）設(shè)走路線最多遇到1次紅燈為事件，則
．
∴走路線，最多遇到1次紅燈的概率為．
（2）依題意，的可能取值為，，．
，
，
．
隨機(jī)變量的分布列為：
．
（3）設(shè)選擇路線遇到紅燈次數(shù)為，
隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，，
∴．
∵，∴選擇路線上班最好．
0
1
2
3
1
2
3
0
1
2
3
紅球個(gè)數(shù)
實(shí)際付款
半價(jià)
折
折
原價(jià)
0
1
2

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