1．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）已知連續(xù)型隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量滿足，，若與的方差相同且，則（ ）.
A．B．C．D．
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量，若且，則的最小值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）某地區(qū)組織了一次高三全體學(xué)生的模擬考試，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)成纜近似服從正態(tài)分布，已知數(shù)學(xué)成績(jī)高于110分的人數(shù)與低于70分的人數(shù)相同，那么估計(jì)本次考試的數(shù)學(xué)平均分為（ ）
A．85B．90C．95D．100
4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知某校高三學(xué)生在一次考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)，在該校高三學(xué)生中任選1人，該學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)不低于120分的概率為0.21，則該學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率為（ ）
A．0.21B．0.29C．0.58D．0.79
5．（24-25高三上·甘肅白銀·期中）某餐飲店在網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)推出一些團(tuán)購活動(dòng)后，每天團(tuán)購券的核銷量（單位：張），則200天中團(tuán)購券的核銷量在84到132張的天數(shù)大約是（ ）
（若隨機(jī)變量，則，，）
A．191B．137C．159D．164
6．（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．若隨機(jī)變量，則當(dāng)較小時(shí)，對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線“瘦高”，隨機(jī)變量X的分布比較集中
B．在做回歸分析時(shí)，可以用決定系數(shù)刻畫模型的回歸效果，若越大，則說明模型擬合的效果越好
C．在一元線性回歸模型中，如果相關(guān)系數(shù)，表明兩個(gè)變量的相關(guān)程度很強(qiáng)
D．對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，若所有數(shù)據(jù)均變成原來的2倍，則變?yōu)樵瓉淼?倍
7．（24-25高三上·云南保山·期中）某市共20000人參加一次物理測(cè)試，滿分100分，學(xué)生的抽測(cè)成績(jī)服從正態(tài)分布，則抽測(cè)成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生人數(shù)大約為（ ）（若，則）
A．6828B．5436C．4773D．2718
8．（24-25高三上·江蘇常州·階段練習(xí)）已知，隨機(jī)變量，其正態(tài)密度曲線如圖所示，若，則的值為（ ）
A．5B．8C．9D．14
二、多選題
9．（2024·湖南湘西·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量，記，則（ ）
A．B．C．D．
10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在調(diào)查某大型企業(yè)員工的通勤時(shí)間（通勤時(shí)間是指家與工作地點(diǎn)往返過程中所花費(fèi)的時(shí)間）時(shí)，發(fā)現(xiàn)員工的通勤時(shí)間（單位：分）服從正態(tài)分布，若54分鐘為可接受的最長通勤時(shí)間，則（附：若，則）（ ）
A．該企業(yè)員工通勤時(shí)間的均值為50分鐘B．該企業(yè)員工通勤時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差為2
C．該企業(yè)員工通勤時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差為4D．該企業(yè)員工通勤時(shí)間可接受率不超過
11．（2024高三·全國·專題練習(xí)）為了監(jiān)測(cè)某車床的生產(chǎn)狀態(tài)，對(duì)其一段時(shí)間內(nèi)所生產(chǎn)零件的尺寸進(jìn)行檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)其尺寸（單位：厘米）服從正態(tài)分布，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
12．（24-25高三上·江蘇宿遷·期中）如果隨機(jī)變量，且，那么 .
13．（24-25高三上·廣東清遠(yuǎn)·階段練習(xí)）?市高三年級(jí)1萬名男生的身高（單位：cm）近似服從正態(tài)分布，則身高超過180cm的男生約有 人.（參考數(shù)據(jù)：，，）
14．（24-25高三上·江蘇南通·期中）某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的長度l（單位：cm）服從正態(tài)分布，按長度l分為5級(jí)：為一級(jí)，為二級(jí)，為三級(jí)，為四級(jí)，為廢品．將一級(jí)與二級(jí)產(chǎn)品稱為優(yōu)品．對(duì)該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行隨機(jī)抽查，每次抽取1個(gè)，則抽到優(yōu)品的概率 （精確到0.1）．若抽出的是優(yōu)品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查直到抽到優(yōu)品，則抽查次數(shù)不超過兩次的概率為 ．
附：，
四、解答題
15．（24-25高三上·浙江·階段練習(xí)）在一次聯(lián)考中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，甲乙兩個(gè)學(xué)校的考生人數(shù)都為1000人，數(shù)學(xué)均分都為94，標(biāo)準(zhǔn)差都為12，并且根據(jù)統(tǒng)計(jì)密度曲線發(fā)現(xiàn)，甲學(xué)校的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布，乙學(xué)校的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)不服從正態(tài)分布.
(1)甲學(xué)校為關(guān)注基礎(chǔ)薄弱學(xué)生的教學(xué)，準(zhǔn)備從70分及以下的學(xué)生中抽取10人進(jìn)行訪問，學(xué)生小A考分為68分，求他被抽到的概率大約為多少；
(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)學(xué)校乙得分不低于130分的學(xué)生有25人，得分不高于58分的有1人，試說明乙學(xué)校教學(xué)的特點(diǎn)；
參考數(shù)據(jù)：若，則，，.
16．（24-25高三上·海南?？凇るA段練習(xí)）某試點(diǎn)高校?？歼^程中筆試通過后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).2022年報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生的筆試成績(jī)近似服從正態(tài)分布.其中，近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.已知的近似值為76.5，s的近似值為5.5，以樣本估計(jì)總體.
(1)假設(shè)有84.135%的學(xué)生的筆試成績(jī)高于該校預(yù)期的平均成績(jī)，求該校預(yù)期的平均成績(jī)大約是多少?
(2)若筆試成績(jī)高于76.5進(jìn)入面試，若從報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人，設(shè)其中進(jìn)入面試學(xué)生數(shù)為，求隨機(jī)變量的期望.
(3)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生進(jìn)入了面試，且他們通過面試的概率分別為、、、.設(shè)這4名學(xué)生中通過面試的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù)：若，則：；；.
17．（24-25高三上·重慶·期中）某工廠生產(chǎn)一批機(jī)器零件，現(xiàn)隨機(jī)抽取100件對(duì)某一項(xiàng)性能指標(biāo)進(jìn)行檢測(cè)，得到一組數(shù)據(jù)，如下表：
(1)求該項(xiàng)性能指標(biāo)的樣本平均數(shù)的值．若這批零件的該項(xiàng)指標(biāo)近似服從正態(tài)分布其中近似為樣本平均數(shù)的值，，試求的值．
(2)若此工廠有甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工這種機(jī)器零件，且甲機(jī)床的生產(chǎn)效率是乙機(jī)床的生產(chǎn)效率的2倍，甲機(jī)床生產(chǎn)的零件的次品率為0.02，乙機(jī)床生產(chǎn)的零件的次品率為0.01，現(xiàn)從這批零件中隨機(jī)抽取一件．
①求這件零件是次品的概率：
②若檢測(cè)出這件零件是次品，求這件零件是甲機(jī)床生產(chǎn)的概率；
③若從這批機(jī)器零件中隨機(jī)抽取300件，零件是否為次品與該項(xiàng)性能指標(biāo)相互獨(dú)立，記抽出的零件是次品，且該項(xiàng)性能指標(biāo)恰好在內(nèi)的零件個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（精確到整數(shù)）．
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布則，
18．（24-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）比亞迪汽車集團(tuán)監(jiān)控汽車零件企業(yè)的生產(chǎn)過程，從汽車零件中隨機(jī)抽取100件作為樣本，測(cè)得質(zhì)量差（零件質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之差的絕對(duì)值）的樣本數(shù)據(jù)如下表：
(1)求樣本質(zhì)量差的平均數(shù)假設(shè)零件的質(zhì)量差，其中，用作為的近似值，求的值；
(2)已知該企業(yè)共有兩條生產(chǎn)汽車零件的生產(chǎn)線，其中第1條生產(chǎn)線與第2條生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件件數(shù)之比為若第1，2條生產(chǎn)線的廢品率分別為和，且這兩條生產(chǎn)線是否產(chǎn)出廢品是相互獨(dú)立的.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的汽車零件中隨機(jī)抽取一件.
①求抽取的零件為廢品的概率；
②若抽取出的零件為廢品，求該廢品來自第1條生產(chǎn)線的概率.
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則，，
19．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）在某月從該市大學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了100人，并將這100人在本月的網(wǎng)絡(luò)外賣的消費(fèi)金額制成如下頻數(shù)分布表（已知每人每月網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額不超過3000元）：
(1)由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，該市大學(xué)生網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額Z（單位：元）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)x（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值，）.現(xiàn)從該市任取20名大學(xué)生，記其中網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額恰在390元至2370元之間的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望；
(2)A市某大學(xué)后勤部為鼓勵(lì)大學(xué)生在食堂消費(fèi)，特地給參與本次問卷調(diào)查的大學(xué)生每人發(fā)放價(jià)值100元的飯卡，并推出一檔“勇闖關(guān)，送大獎(jiǎng)”的活動(dòng).規(guī)則是：在某張方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、第60格共61個(gè)方格棋子開始在第0格，然后擲一枚均勻的硬幣（已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，其中），若擲出正面，將棋子向前移動(dòng)一格（從k到），若挪出反面，則將棋子向前移動(dòng)兩格（從k到）.重復(fù)多次，若這枚棋子最終停在第59格，則認(rèn)為“闖關(guān)成功”，并贈(zèng)送500元充值飯卡；若這枚棋子最終停在第60格，則認(rèn)為“闖關(guān)失敗”，不再獲得其他獎(jiǎng)勵(lì)，活動(dòng)結(jié)束.
①設(shè)棋子移到第n格的概率為，求證：當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列；
②若某大學(xué)生參與這檔“闖關(guān)游戲”，試比較該大學(xué)生闖關(guān)成功與闖關(guān)失敗的概率大小，并說明理由.
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.
參考答案：
1．A
【分析】由正態(tài)分布和二項(xiàng)分布的性質(zhì)可得結(jié)果.
【詳解】，，，
，由對(duì)稱性：，
故.
故選：A.
2．C
【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性得出，再由基本不等式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，且，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值4.
故選：C.
3．B
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可得結(jié)論.
【詳解】由正態(tài)密度函數(shù)的對(duì)稱性，數(shù)學(xué)成績(jī)高于110分的人數(shù)與低于70分的人數(shù)相同，
所以.
故選；B.
4．B
【分析】根據(jù)題意結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性分析求解.
【詳解】因?yàn)?，即，且?br>所以.
故選：B．
5．D
【分析】根據(jù)正態(tài)分布，求在指定區(qū)間概率即可得解.
【詳解】由題可知，，
.
故200天內(nèi)團(tuán)購券的核銷量在84到132張的天數(shù)大約是.
故選：D
6．D
【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，可得判定A正確；根據(jù)決定系數(shù)和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，可得判定B正確，C正確；根據(jù)方差的性質(zhì)，可判定D錯(cuò)誤.
【詳解】對(duì)于A中，若隨機(jī)變量，則當(dāng)較小時(shí)，對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線“瘦高”，隨機(jī)變量X的分布比較集中，所以A正確；
對(duì)于B中，在做回歸分析時(shí)，可以用決定系數(shù)刻畫模型回歸效果，越大，說明模型擬合的效果越好，所以B正確；
對(duì)于C中，一元線性回歸模型中，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1，表明兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng)，
所以如果相關(guān)系數(shù)，表明兩個(gè)變量的相關(guān)程度很強(qiáng)，所以C正確；
對(duì)于D，若所有數(shù)據(jù)均變成原來的2倍，則變?yōu)樵瓉淼?倍，所以D正確.
故選：D．
7．D
【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求得抽測(cè)成績(jī)?cè)趦?nèi)大約的學(xué)生人數(shù).
【詳解】學(xué)生的抽測(cè)成績(jī)服從正態(tài)分布，則
，
由于總?cè)藬?shù)為20000，
則抽測(cè)成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生人數(shù)大約為，
故選：D.
8．A
【分析】據(jù)正態(tài)分布密度曲線，得到，再結(jié)合二項(xiàng)式定理得到，利用，可求的值.
【詳解】由的分布密度曲線知，，
所以，即，
根據(jù)展開式的通項(xiàng)公式可得，，
則，整理得，解得.
故選：A
9．ABD
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)判斷AB；根據(jù)期望和方差的性質(zhì)判斷CD.
【詳解】由題意可知：，且，
可得，故A正確；
且，
即，所以，故B正確；
根據(jù)期望和方差的性質(zhì)可知：，，故C錯(cuò)誤，D正確；
故選：ABD.
10．AB
【分析】根據(jù)，即可判斷選項(xiàng)A，B，C，再利用正態(tài)分布的性質(zhì)，求出該企業(yè)員工通勤時(shí)間可接受率，即可判斷選項(xiàng)D．
【詳解】因?yàn)樵撈髽I(yè)員工的通勤時(shí)間服從正態(tài)分布，
所以該企業(yè)員工通勤時(shí)間的均值為50分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差為2，故AB正確，C錯(cuò)誤．
因?yàn)椋?br>所以
，故D錯(cuò)誤．
故選：AB.
11．BCD
【分析】根據(jù)正態(tài)分布定義及其對(duì)稱性即可分析.
【詳解】對(duì)于A，由，可知，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由于，可知8.3，8.7關(guān)于對(duì)稱，
根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可知B正確；
對(duì)于C，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，
故，C正確；
對(duì)于D，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，
故，D正確.
故選：BCD
12．/
【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性，即可求解.
【詳解】由對(duì)稱性可知，正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸為5，所以，
所以.
故答案為：
13．230
【分析】由正態(tài)分布的對(duì)稱性及特殊區(qū)間的概率求解即可.
【詳解】，則，
，
身高超過180cm的男生的人數(shù)約為.
故答案為：230.
14． 0.2 0.36
【分析】利用正態(tài)分布的意計(jì)算可得結(jié)論.
【詳解】由，所以，
優(yōu)品滿足，所以，（第一空）；
抽查次數(shù)不超過兩次的概率為（第二空）.
故答案為：；.
15．(1)
(2)乙校教學(xué)高分人數(shù)更多，130分以上學(xué)生更多，低分人數(shù)更少.
【分析】（1）由正態(tài)分布確定70分及以下的學(xué)生人數(shù)，再由古典概率模型即可求解；
（2）由正態(tài)分布確定甲校130以上及58分以下人數(shù)，對(duì)比乙校數(shù)據(jù)即可判斷.
【詳解】（1）由題意可知甲校學(xué)生數(shù)學(xué)得分，
由，
可得，則，
所以分?jǐn)?shù)在70分及以下的學(xué)生有，
所以學(xué)生小A被抽到的概率
（2）由，
可得：
所以甲校不低于130分的概率為，
得分不高于58分的概率為，
所以甲校不低于130分有人，得分不高于58分有人，
故乙校教學(xué)高分人數(shù)更多，130分以上學(xué)生更多，低分人數(shù)更少.
16．(1)分；
(2)5；
(3)分布列詳見解析；
【分析】（1）利用正態(tài)分布的對(duì)稱性和正態(tài)曲線的原則，即可求得該校預(yù)期的平均成績(jī)；
（2）利用二項(xiàng)分布即可求得隨機(jī)變量的期望；
（3）先求得隨機(jī)變量X的各個(gè)可能取值對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而得到隨機(jī)變量X的分布列，再利用數(shù)學(xué)期望的定義即可求得隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1）由，
又的近似值為76.5，的近似值為5.5，
所以該校預(yù)期的平均成績(jī)大約是（分）
（2）由，可得，
即從所有報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，
該學(xué)生筆試成績(jī)高于76.5的概率為
所以隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，故
（3）X的可能取值為，
，
，
，
，
，
所以X的分布列為
所以
17．(1)80，0.8186
(2)①；②；③4
【分析】（1）計(jì)算出平均數(shù)后可得，結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)計(jì)算即可得解；
（2）①借助全概率公式計(jì)算即可得；②按照條件概率公式計(jì)算即可；③借助二項(xiàng)分布期望公式計(jì)算即可得．
【詳解】（1），
因?yàn)?，所以?br>則
；
（2）①設(shè)“抽取的零件為甲機(jī)床生產(chǎn)”記為事件，
“抽取的零件為乙機(jī)床生產(chǎn)”記為事件，
“抽取的零件為次品”記為事件，
則，，，，
則；
②；
③由（1）及（2）①可知，這批零件是次品且性能指標(biāo)在內(nèi)的概率，
且隨機(jī)變量，
所以，
所以隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望為4.
18．(1)60；
(2)①；②
【分析】本題主要考查全概率公式和條件概率公式，考查正態(tài)曲線的性質(zhì)，屬于一般題.
（1）先求出，再利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性求解；
（2）①利用全概率公式求解；②利用條件概率公式求解.
【詳解】（1）由題意可知，，
則，
所以
；
（2）①設(shè)事件A表示“隨機(jī)抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的汽車零件為廢品”，
設(shè)事件表示“隨機(jī)抽取一件零件為第1條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，
設(shè)事件表示“隨機(jī)抽取一件零件為第2條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，
則，，，，
所以；
②因?yàn)椋?br>所以，
所以
19．(1)；
(2)①證明見解析；②闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)算出，由服從正態(tài)分布算出概率，即，進(jìn)而算出的數(shù)學(xué)期望；
（2）棋子開始在第格為必然事件，.第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子移到第1格，其概率為，即，棋子移到第格的情況是下列兩種，即棋子先到第格，又?jǐn)S出反面，其概率為；棋子先到第格，又?jǐn)S出正面，其概率為，所以即，進(jìn)而求證當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列，計(jì)算符號(hào)即可判斷.
【詳解】（1），
由Z服從正態(tài)分布，得
，因此，
所以X的數(shù)學(xué)期望為.
（2）①棋子開始在第0格為必然事件，，
第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子移到第1格，其概率為，即，
棋子移到第格的情況是下列兩種，而且也只有兩種：
棋子先到第格，又?jǐn)S出反面，其概率為；
棋子先到第格，又?jǐn)S出正面，其概率為，
因此，即，且，
所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.
②由①知，，，，，
將以上各式相加，得，
于是，
則闖關(guān)成功的概率為，
闖關(guān)失敗的概率為，
，
所以該大學(xué)生闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率.性能指標(biāo)X
66
77
80
88
96
產(chǎn)品件數(shù)
10
20
48
19
3
質(zhì)量差（單位：）
54
57
60
63
66
件數(shù)（單位：件)
5
21
46
25
3
消費(fèi)金額（單位：百元）
頻數(shù)
20
35
25
10
5
5
X
0
1
2
3
4
P

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