《5.3.2正方形》是“浙教版八年級數(shù)學（下）”第五章第三節(jié)第二課時的內(nèi)容.本節(jié)課的主要內(nèi)容是正方形的性質(zhì).要求學生掌握正方形的性質(zhì)定理，能夠運用正方形的性質(zhì)定理解決一些有關(guān)正方形的論證和計算等問題.正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，正方形同時具有矩形和菱形的所有性質(zhì)，這些性質(zhì)不僅是正方形本身的重要屬性，也是后續(xù)學習其他幾何知識的基礎,是初中數(shù)學中需要重點掌握的內(nèi)容之一.
1.掌握正方形的性質(zhì)定理.2.會運用正方形的性質(zhì)定理解決一些有關(guān)正方形的論證和計算等問題.3.感受數(shù)學證明的嚴謹性，提高學習數(shù)學的興趣和信心.4.培養(yǎng)邏輯推理能力和發(fā)展思維能力.
正方形的判定定理是什么，證明一個四邊形是正方形的一般思路是什么？
證明一個四邊形是正方形的一般思路：1.先判斷它是矩形，再判斷這個矩形也是菱形，可說明是正方形2.先判斷它是菱形，再判斷這個菱形也是矩形，可說明是正方形
正方形的判定定理:（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形.（2）有一個角是直角的菱形是正方形.（3）對角線互相垂直的矩形是正方形.（4）對角線相等的菱形是正方形.
因為正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形,所以正方形同時具有矩形和菱形的所有性質(zhì)。
1.矩形的四個角都是直角.2.矩形的對角線相等.3.矩形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形,它至少有兩條對稱軸.
1.菱形的四條邊都相等.2.菱形的對角線互相垂直,并且每條對角線平分一組對角.3.菱形是軸對稱圖形,它的兩條對角線所在的直線都是它的對稱軸.
正方形的性質(zhì)定理:正方形的四個角都是直角，四條邊相等.正方形的對角線相等,并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角.
思考：正方形有幾條對稱軸？你能畫出它的對稱軸嗎？
正方形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，有四條對稱軸，這些對稱軸是兩條對角線和兩條連接相對邊中點的線。對稱中心是兩條對角線的交點。
例2 已知:如圖,在正方形ABCD中,G是對角線BD上的一點， GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分別為垂足，連結(jié)AG,EF.求證:AG= EF.
分析:由已知可得， BD平分∠ADC,AD=CD.如果連結(jié)CG,那么很容易發(fā)現(xiàn)△AGD≌△CGD,得AG=CG.由此我們只需證明四邊形FCEG是矩形,就能完成證明.
證明：如圖,連結(jié)CG.在△AGD和△CGD中，∠ADG=∠CDG(正方形的對角線平分一組對角),DG= DG,AD=CD(正方形的四條邊相等),∴△AGD≌△CGD,∴AG=CG.
續(xù)：∵GE⊥CD,GF⊥BC,∴∠GFC=∠GEC=Rt∠.又∵∠BCD=Rt∠ (正方形的四個角都是 直角),∴四邊形FCEG是矩形(有三個角是直角的四邊形是矩形)，∴EF=CG(矩形的兩條對角線相等),∴AG=EF.
1.矩形、正方形都具有的性質(zhì)是(　　)A.對角線相等　B.鄰邊相等C.對角線互相垂直　D.對角線平分對角
2.如圖，正方形ABCD的邊長為4，點A的坐標為（-1，1），AB平行于x軸，則點C的坐標為(　　) A. （3，1） B. （-1，1） C. （3，5） D. （-1，5）
1.如圖，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，則以AC為邊長的正方形ACEF的周長為(　　)A． 14 B． 15 C． 16 D． 17
2.如圖,在邊長為2的正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD上的動點,M,N分別是EF,AF的中點,則MN的最大值為______.
證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠CBE=90°，∵BF⊥CE，∴∠BCE+∠CBG=90°，∵∠ABF+∠CBG=90°，∴∠BCE=∠ABF，又∵BC=AB, ∠CBE=∠A∴△BCE≌△ABF（ASA）， ∴BE=AF．
如圖，四邊形ABCD是正方形，E、F分別是AB、AD上的一點，且BF⊥CE，垂足為G，求證：AF=BE．
3.如圖,四邊形ABCD是正方形,點P在邊BC上,作△PAB關(guān)于直線PA對稱的△PAB',延長PB'與邊CD交于點M,連結(jié)AM,則∠PAM的度數(shù)為(　　)A.60°　B.55°　C.45°　D.40°
(1)證明： ∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=BC, ∠ADB=∠DBC=45°,∵CG∥AP,∴∠BGC=∠BFP,∵∠BFP=∠AFD,∴∠AFD=∠BGC.
如圖,在正方形ABCD中,點P在邊BC的延長線上,連結(jié)AP交BD于F,過點C作CG∥AP交BD于點G,連結(jié)AG,CF.(1)求證:△ADF≌△CBG;(2)四邊形AGCF是什么特殊四邊形?請說明理由.
(2)解：四邊形AGCF是菱形.理由如下:連結(jié)AC,設AC與BD交于點O,如圖, ?∵四邊形ABCD是正方形,∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.由(1)知△ADF≌△CBG,
如圖,在正方形ABCD中,點P在邊BC的延長線上,連結(jié)AP交BD于F,過點C作CG∥AP交BD于點G,連結(jié)AG,CF.(2)四邊形AGCF是什么特殊四邊形?請說明理由.
(2)續(xù)：∴DF=BG,∴OB-BG=OD-FD,即OG=OF.又∵OA=OC,∴四邊形AGCF是平行四邊形,∵AC⊥FG,∴四邊形AGCF是菱形.

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5.3 正方形

版本： 浙教版（2024）

年級： 八年級下冊

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