探索并證明正方形的性質(zhì)，并了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別.
會(huì)應(yīng)用正方形的性質(zhì)解決相關(guān)證明及計(jì)算問(wèn)題.
有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.
正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形．
菱形的性質(zhì)+矩形的性質(zhì).
正方形是特殊的平行四邊形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性質(zhì),正方形都有.
平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關(guān)系：
性質(zhì)：1.正方形的四個(gè)角都是直角,四條邊相等. 2.正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分.
1.一個(gè)正方形的面積等于8，則其對(duì)角線的長(zhǎng)為________.
例1：已知：如圖，在正方形ABCD中，G是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，GE⊥CD，GF⊥BC，E、F分別為垂足，連結(jié)AG，EF.求證：AG=EF
提示：連接CG，下面怎么證明呢？試著證明一下.
∵ GE⊥CD, GF⊥BC
∴ ∠GFC= ∠GEC =90°
（有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形）
又∵ ∠BCD =90°
∴ 四邊形FCEG是矩形
在△AGD和△CGD中，∠ADG=∠CDG（正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角） DG=DG, AD=CD（正方形的四條邊相等）
（矩形的兩條對(duì)角線相等）
例2：在正方形ABCD中，M是正方形內(nèi)的一點(diǎn)，且MC=MD=AD,求∠BAM的度數(shù)？
例3：已知：點(diǎn)E、F、G、H分別是正方形ABCD四條邊上的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是正方形.
證明：連接AC、BD，∵四邊形ABCD是正方形,∴AC=BD，AC⊥BD，在△ABC中，F(xiàn). G分別是AB、BC的中點(diǎn)，故可得：FG= AC,同理EH= AC,GH= BD,EF= BD，
在四邊形ABCD中，AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，∴四邊形EFGH是菱形。在△ABD中，E. H分別是AD、CD的中點(diǎn)，則EH∥AC，同理GH∥BD，又∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，∴四邊形EFGH是正方形.
對(duì)邊平行，四條邊都相等
對(duì)角線互相垂直平分且相等，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角
∵四邊形ABCD是正方形∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD
∵四邊形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵四邊形ABCD是正方形∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD
軸對(duì)稱圖形 中心對(duì)稱圖形
幾種特殊四邊形的性質(zhì)
對(duì)邊平行， 四條邊 都相等
對(duì)角線互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角
軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形
1. 在正方形ABCD的外側(cè)作等邊△ADE，則∠AEB的度數(shù)為（ ）
A．10° B．12.5° C．15° D．20°
2.在四邊形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，能判定這個(gè)四邊形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BC
3.如圖，在正方形ABCD 中，點(diǎn)E，F(xiàn) 分別是 AB，BC 邊上的點(diǎn)，且 AE=BF．求證：CE=DF．
分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°，然后求出 BE=CF，再利用“SAS”證明△BCE≌△CDF，從而 CF=DF．
證明：在正方形 ABCD 中， AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°. ∵AE=BF， ∴AB-AE=BC-BF，即 BE=CF. 在△BCE 和△CDF 中，BC=CD， ∠B=∠BCD=90°，BE=CF， ∴△BCE≌△CDF（SAS）. ∴CE=DF．
4.已知：如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，M、N在OB和OC上，且MN∥BC，連結(jié)DN、MC，試猜想DN與MC有什么關(guān)系？并證明你的猜想.
又∵M(jìn)N∥AB∴∠OMN＝∠1＝∠BCO＝∠ONM＝45° ∴OM＝ON
證明：∵四邊形ABCD是正方形 ∴OC＝OD , ∠COD=∠COB=90° ∠1＝∠BCO＝45°
∴△COM≌△DON(SAS)
答：DN＝MC DN⊥MC
（2）由△COM≌△DON得∠2=∠3
又∠3+∠CMO=90°
∴∠2+∠CMO=90°
5.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm，AC為對(duì)角線，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的長(zhǎng)．
解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.∴FC＝BE.在Rt△ABC中，∴FC＝AC－AF＝( －1)cm，∴BE＝( －1)cm．
6. 如圖在正方形ABCD中,E為CD上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且CE=CF. BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：∵四邊形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE =90° .∴∠DCF=180°-∠BCE=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.
延長(zhǎng)BE交DE于點(diǎn)M,∵△BCE≌△DCF ,∴∠CBE =∠CDF.∵∠DCF =90° ,∴∠CDF +∠F =90°,∴∠CBE+∠F=90° ,∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.
3.對(duì)角線相等且互相垂直平分
有一組鄰相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.

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5.3 正方形

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