一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.(2024·浙江名校聯(lián)盟模擬預(yù)測(cè))函數(shù)f(x)=ln(2x-1)-x2+x的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.(0,1)B.12,1
C.1-22,1+22D.12,1+22
答案D
解析函數(shù)f(x)=ln(2x-1)-x2+x的定義域?yàn)?2,+∞,且f'(x)=22x-1-2x+1=2-(2x-1)22x-1=[2-(2x-1)][2+(2x-1)]2x-1,令f'(x)>0,解得1273或xf(4)>f(5),且f(e)>f(2).
又因?yàn)閒(2)=-2ln2=-2×22ln2=-4ln4=f(4),
所以f(e)>f(3)>f(2)>f(5).故選C.
8.已知函數(shù)f(x)=x3-x+1,則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是( )
A.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)
B.f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)
C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對(duì)稱中心
D.直線y=2x是曲線y=f(x)的切線
答案D
解析∵f(x)=x3-x+1,∴f'(x)=3x2-1.由3x2-1=0,得x=33或x=-33.∴f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)-33與33,且在區(qū)間(-∞,-33)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(-33,33)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(33,+∞)上單調(diào)遞增.又f33=1-239>0,當(dāng)x=-2時(shí),f(-2)=-5f33>0,
∴f(x)只在區(qū)間-2,-33上存在一個(gè)零點(diǎn),
∴f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).
∵f(x)+f(-x)=2,
∴點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對(duì)稱中心.
由f'(x)=3x2-1=2,解得x=±1,
∴曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y-1=2(x-1),即y=2x-1;
曲線y=f(x)在點(diǎn)(-1,1)處的切線方程為y-1=2(x+1),即y=2x+3.∴直線y=2x與曲線y=f(x)不相切.故選D.
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
9.(2024·河南鄭州模擬預(yù)測(cè))過(guò)點(diǎn)P(a,b)作直線l與函數(shù)f(x)=-2x3的圖象相切,則( )
A.若點(diǎn)P與原點(diǎn)重合,則直線l的方程為y=0
B.若直線l與直線x-6y=0垂直,則6a+b=4
C.若點(diǎn)P在f(x)的圖象上,則符合條件的直線l只有1條
D.若符合條件的直線l有3條,則a3b0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞),B正確;
對(duì)于C,f'(x)=2(x2-a)x,x>0,
若a>0,令f'(x)=0,
解得x1=a或x2=-a(舍去).
當(dāng)a≤1,即00時(shí),由C項(xiàng)知當(dāng)00,g(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(-1,1)時(shí),g'(x)0,
即f(x)在(0,x1),(x2,π)上單調(diào)遞減,在(x1,x2)上單調(diào)遞增,所以f(x)=cs xcs 2x在區(qū)間[0,π]上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.
14.(2024·浙江杭州二模)函數(shù)f(x)=-x2+3x+2x+1的最大值為 .
答案22
解析令t=x+1>0,則x=t2-1,
故f(x)=y=-(t2-1)2+3(t2-1)+2t=-t3+5t-2t,
令h(t)=-t3+5t-2t(t>0),
則h'(t)=-3t2+5+2t2=-3t4+5t2+2t2=-(3t2+1)(t+2)(t-2)t2,
當(dāng)t∈(0,2)時(shí),h'(t)>0,當(dāng)t∈(2,+∞)時(shí),h'(t)0,
所以f(x)在區(qū)間π2,π上單調(diào)遞增,即f(x)的最大值為f(π)=4sin π+2π2=4×0+2π2=2π2.
(3)證明f'(x)=4acs x+2(a2+1)x,
當(dāng)a=0時(shí),f(x)=x2,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)恰有一個(gè)極值點(diǎn);
當(dāng)a>0時(shí),設(shè)t(x)=f'(x)=4acs x+2(a2+1)x,則t'(x)=-4asin x+2(a2+1)=-4asinx-a2+12a.
因?yàn)閍2+12a=a2+12a≥2a2·12a=1,且sin x≤1,所以t'(x)≥0,即t(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.
因?yàn)閠-π2=-(a2+1)π0,
所以存在x0∈-π2,0,使t(x0)=f'(x0)=0,又t(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)x0,即f(x)在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,
即f(x)恰有一個(gè)極值點(diǎn).
綜上所述,當(dāng)a≥0時(shí),f(x)有且只有一個(gè)極值點(diǎn).

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