主干知識(shí)達(dá)標(biāo)練
1.(2024陜西西安二模)函數(shù)f(x)=xx2+1在[-3,3]上的最大值和最小值分別是( )
A.613,-613B.25,-25
C.310,-310D.12,-12
答案D
解析f'(x)=1-x2(x2+1)2,x∈[-3,3],令f'(x)>0,解得-10),當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)0,所以函數(shù)f(x)在(-∞,x0)內(nèi)單調(diào)遞減,在(x0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,又f(0)=f(1)=0,且00,則f(x)在0,1a內(nèi)單調(diào)遞減,在1a,+∞內(nèi)單調(diào)遞增,所以f(x)min=f1a=1+ln a=0,解得a=1e.
10.(5分)(2024湖北襄陽(yáng)模擬)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),若在f(x)的定義域內(nèi)存在一個(gè)區(qū)間D,f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增,f'(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減,則稱區(qū)間D為函數(shù)f(x)的一個(gè)“漸緩增區(qū)間”.若對(duì)于函數(shù)f(x)=aex-x2,區(qū)間0,12是其一個(gè)漸緩增區(qū)間,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
答案ee,2ee
解析對(duì)于函數(shù)f(x)=aex-x2,x∈0,12,有f'(x)=aex-2x,令g(x)=aex-2x,
則g'(x)=aex-2,因?yàn)閒'(x)在區(qū)間0,12上單調(diào)遞減,
所以aex-2≤0恒成立,即a≤2ex恒成立,又2ex>2e12=2e,所以a≤2ee,
又f(x)在區(qū)間0,12上單調(diào)遞增,所以f'(x)=aex-2x≥0恒成立,
即a≥2xex恒成立.設(shè)h(x)=2xex,則h'(x)=2(1-x)ex,在0,12內(nèi)h'(x)>0,則h(x)單調(diào)遞增,則h(x)0,可知h(x)在(0,+∞)內(nèi)無(wú)零點(diǎn);
當(dāng)x1aln-2a時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x0,則當(dāng)x∈-π4,π4時(shí),g(x)>0,即f'(x)>0,所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,所以C正確;
對(duì)于D,由f-π4=sin(-π4)π42+1=-22π216+10,f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)x2>1,由(1)知當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)單調(diào)遞減.
|f(x1)-f(x2)|≥k|ln x1-ln x2|等價(jià)于f(x2)-f(x1)≥k(ln x1-ln x2),即f(x2)+kln x2≥f(x1)+kln x1,即存在x1,x2∈(1,+∞)且x1>x2,使f(x2)+kln x2≥f(x1)+kln x1成立.
令h(x)=f(x)+kln x,則h(x)在(1,+∞)上存在單調(diào)遞減區(qū)間.
即h'(x)=kx2-4lnxx3

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