一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.(2024·陜西西安模擬)已知數(shù)列{an}滿足∑k=1nak2k-1=n+1,則a2 024=( )
A.2 024B.2 023C.4 047D.4 048
答案C
解析由題意可得a1+a23+a35+…+an2n-1=n+1,當(dāng)n=1時(shí),a1=2;當(dāng)n≥2時(shí),a1+a23+a35+…+an-12n-3=n,兩式相減得an2n-1=1,即an=2n-1.
綜上所述,an=2,n=1,2n-1,n≥2.
所以a2 024=4 047,故選C.
2.(2024·湖北黃岡模擬)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,前n項(xiàng)和為Sn,若Sn+Sm=Sn+m(m,n∈N*),則a9=( )
A.9B.1C.8D.45
答案B
解析由題意知,數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,且Sn+Sm=Sn+m,令m=1,可得Sn+S1=Sn+1,即Sn+1-Sn=S1=1,所以數(shù)列{Sn}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,所以Sn=1+(n-1)×1=n,則a9=S9-S8=1.
故選B.
3.(2024·福建漳州一模)已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若3Sn=an+1,則a8a7=( )
A.-12B.-13C.12D.13
答案A
解析因?yàn)?Sn=an+1,則3Sn+1=an+1+1,兩式相減可得3an+1=an+1-an,即2an+1=-an,令n=7,可得2a8=-a7,且an≠0,所以a8a7=-12.故選A.
4.(2024·湖北武漢模擬)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知Sn+1=3Sn+2,n∈N*,則S5=( )
A.80B.160C.121D.242
答案D
解析由Sn+1=3Sn+2,得Sn=3Sn-1+2(n≥2),所以Sn+1-Sn=3Sn-3Sn-1,得an+1=3an,所以等比數(shù)列{an}的公比為q=3,所以由Sn+1=3Sn+2,得a1(1-3n+1)1-3=3×a1(1-3n)1-3+2,所以a1(3n+1-1)=3a1(3n-1)+4,解得a1=2,
所以S5=2×(1-35)1-3=35-1=242.故選D.
5.(2024·河北唐山二模)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+a1+2n,a10=130,則a1=( )
A.1B.2C.3D.4
答案D
解析由題意可得an+1-an=a1+2n,則可得a2-a1=a1+2,a3-a2=a1+4,…,a10-a9=a1+18,將以上等式左右兩邊分別相加得,a10-a1=9a1+9×(2+18)2=9a1+90,即a10=10a1+90.
又a10=130,所以a1=4.故選D.
6.(2024·山東青島模擬)若數(shù)列{an}滿足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2),a1=2,則滿足不等式an

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