1.(17分)(2024江蘇徐州一模)已知函數(shù)f(x)=x2+ax-ln x,a∈R.
(1)若函數(shù)y=f(x)-2x2在(0,2]上單調(diào)遞減,求a的取值范圍;
(2)若直線y=ex與函數(shù)f(x)的圖象相切,求a的值.
解(1)記y=f(x)-2x2=ax-ln x-x2=g(x),因?yàn)間(x)在(0,2]上單調(diào)遞減,所以g'(x)=a-1x-2x≤0對(duì)?x∈(0,2]恒成立,
所以a≤(2x+1x)min,而2x+1x≥22x·1x=22,
當(dāng)且僅當(dāng)2x=1x,
即x=22時(shí),等號(hào)成立,
所以當(dāng)x=22時(shí),2x+1x取得最小值為22.所以a≤22,
所以a的取值范圍為(-∞,22].
(2)設(shè)直線y=ex與函數(shù)f(x)的圖象相切于P(x0,x02+ax0-ln x0),
又f'(x)=2x+a-1x,
由題意可知2x0+a-1x0=e,①x02+ax0-ln x0=ex0,②則a=e+1x0-2x0,
代入②,得x02+e+1x0-2x0x0-ln x0=ex0,所以1-x02-ln x0=0.
因?yàn)楹瘮?shù)y=1-x-ln x在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,且x=1時(shí),y=0,所以關(guān)于x0的方程1-x02-ln x0=0有唯一實(shí)根1,即x0=1,則a=e+1-2=e-1.
2.(17分)(2024北京延慶一模)已知函數(shù)f(x)=-ln x+(2+a)x-2.
(1)若曲線y=f(x)的一條切線方程為y=x-1,求a的值;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
(3)若?x∈1e2,+∞,f(x)無(wú)零點(diǎn),求a的取值范圍.
解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),
因?yàn)閒'(x)=-1x+2+a,所以-1x0+2+a=1,解得x0=11+a,
因?yàn)閥0=-ln x0+(2+a)x0-2,y0=x0-1,
所以-ln x0+(2+a)x0-2=x0-1,即ln x0=(1+a)x0-1,所以ln11+a=1-1=0,
所以11+a=1,解得a=0.
(2)因?yàn)閒'(x)=-1x+2+a,f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增,
所以f'(x)≥0在(1,2)內(nèi)恒成立,
因?yàn)閤∈(1,2),所以f'(x)∈a+1,a+32,
所以a+1≥0,即a∈[-1,+∞).
(3)因?yàn)閒'(x)=-1x+2+a=(2+a)x-1x,x∈(0,+∞),
當(dāng)2+a≤0,即a≤-2時(shí),f'(x)-2時(shí),令f'(x)=0,則x=12+a>0,
當(dāng)x∈0,12+a時(shí),f'(x)0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),φ(x)0,x1+x2=a>0,x1x2=a>0,解得a>4,
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(4,+∞).
(2)由(1)知a>4,x1,x2是g(x)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則x1+x2=x1x2=a.
∴f(x1)+f(x2)-3a=ax1-x1+aln x1+ax2-x2+aln x2-3a=a(x1+x2)x1x2-(x1+x2)+aln(x1x2)-3a=aln a-3a.
令h(a)=aln a-3a(a>4),則h'(a)=ln a-2,∴當(dāng)a∈(4,e2)時(shí),h'(a)

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