1.(2024·河北承德二模)在△ABC中,D為BC中點,連接AD,設(shè)E為AD中點,且
A.4x+2yB.-4x+yC.-4x-2yD.4y-2x
2.(2024·江蘇南京二模)已知向量a=(1,2),b=(x,x+3).若a∥b,則x=(　　)A.-6B.-2C.3D.6解析 由a∥b,知1·(x+3)=2·x,解得x=3.故選C.
4.(2024·浙江紹興二模)已知e1,e2是單位向量,且它們的夾角是60°,若a=2e1+e2,b=λe1-e2,且a⊥b,則λ=(　　)
5.(2024·山東濱州二模)已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則c·(b-a)=(　　)
解析 建立平面直角坐標系如圖所示,
可知a=(-1,-2),b=(-2,1),c=(2,2),則b-a=(-1,3),所以c·(b-a)=-2+6=4.故選A.
9.(2024·浙江溫州模擬預(yù)測)已知單位向量a,b,c共面,則下列說法中正確的是(　　)A.若|a+b|=|a-b|,則a∥bB.若|a+b|=|a-b|,則a⊥b
解析 由|a+b|=|a-b|,可得(a+b)2=(a-b)2,即a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b,可得a·b=0,所以a⊥b,故A不正確,B正確.因為向量a,b,c為單位向量,可得|a|=|b|=|c|=1.又a+b+c=0,可得b=-(a+c),則b2=a2+c2+2a·c,即|b|2=|a|2+|c|2+2a·c,
10.(2024·山東濟寧模擬)如圖2,這是一個邊長為20厘米的正六邊形的軟木鍋墊ABCDEF,則下列選項正確的是(　　)
解析 以A為原點,以AB所在直線為x軸,AE所在直線為y軸,建立平面直角坐標系,如圖所示.
11.(2024·山東濰坊三模)已知向量a=(1,2),b=(4,-2),c=(1,λ),若c·(2a+b)=0,則實數(shù)λ=　　　　　.?解析 2a+b=(2,4)+(4,-2)=(6,2),c·(2a+b)=(1,λ)·(6,2)=6+2λ=0,解得λ=-3.
解析如圖,以B為原點,以BC,BA所在的直線為x軸、y軸,建立平面直角坐標系,
14.(15分)(2024·湖南長沙一模)“費馬點”是由數(shù)學(xué)家費馬提出,該問題是:“在一個三角形內(nèi)求作一點,使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答,當△ABC的三個內(nèi)角均小于120°時,使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的點O即為費馬點;當△ABC有一個內(nèi)角大于或等于120°時,最大內(nèi)角的頂點為費馬點.試用以上知識解決下面問題:已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且cs 2B+cs 2C-cs 2A=1.(1)求A;(2)若bc=2,設(shè)點P為△ABC的費馬點,求
解 (1)由cs 2B+cs 2C-cs 2A=1,得1-2sin2B+1-2sin2C-1+2sin2A=1,故sin2A=sin2B+sin2C.由正弦定理可得a2=b2+c2,故△ABC是直角三角形,且A= .

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