一、選擇題:本題共6小題,每小題5分,共30分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.(2024·浙江杭州二模)設(shè)數(shù)列{an},{bn}滿足a1=b1=1,an+bn+1=2n,an+1+bn=2n.設(shè)Sn為數(shù)列{an+bn}的前n項的和,則S7=( )
A.110B.120C.288D.306
答案A
解析S7=a1+b1+a2+b2+a3+b3+a4+b4+a5+b5+a6+b6+a7+b7=a1+b1+(a2+b3)+(b2+a3)+(a4+b5)+(b4+a5)+(a6+b7)+(b6+a7)=1+1+2×2+22+2×4+24+2×6+26=2+4+4+8+16+12+64=110.故選A.
2.(2024·重慶模擬)已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=an-1,n為奇數(shù),2n,n為偶數(shù),則∑k=110ak=( )
A.511B.677C.1 021D.2 037
答案B
解析∑k=110ak=a1+a2+…+a10=a1+a1-1+a3+a3-1+…+a9+a9-1=2(a1+a3+a5+a7+a9)-5=2×(1+22+24+26+28)-5=2×(4+16+64+256)-3=677.故選B.
3.(2024·湖南衡陽模擬)已知公差不為零的等差數(shù)列{an}滿足:a3+a8=20,且a5是a2與a14的等比中項,設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=1anan+1(n∈N*),則數(shù)列{bn}的前n項和Sn為( )
A.1-12n+1=2n2n+1
B.1+12n+1=2n+22n+1
C.121-12n+1=n2n+1
D.121+12n+1=n+12n+1
答案C
解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),因為a3+a8=20,且a5是a2與a14的等比中項,
可得a3+a8=20,a52=a2a14,
即2a1+9d=20,(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d),
解得a1=1,d=2,所以an=2n-1.
又由bn=1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,
可得Sn=12(1-13+13-14+…+12n-1-12n+1)=121-12n+1=n2n+1.故選C.
4.(2024·安徽三模)記數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=1,Sn+Sn+1=3n2+2n+1,則S20=( )
A.590B.602C.630D.650
答案A
解析因為Sn+Sn+1=3n2+2n+1,
所以Sn+1+Sn+2=3(n+1)2+2(n+1)+1,
兩式相減可得an+1+an+2=6n+5=6(n+1)-1.
由a1=1,S1+S2=3×12+2×1+1=6,解得a2=4,
所以a1+a2=5,滿足上式,
故an+an+1=6n-1,
所以S20=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)=5+17+29+…+113=10×(5+113)2=590.
故選A.
5.(2024·江西模擬)在學(xué)習(xí)完“錯位相減法”后,善于觀察的同學(xué)發(fā)現(xiàn)對于“等差×等比數(shù)列”此類數(shù)列求和,也可以使用“裂項相消法”求解.例如an=(n+1)·2n=(-n+1)·2n-(-n)·2n+1,故數(shù)列{an}的前n項和Sn=a1+a2+a3+…+an=0×21-(-1)×22+(-1)×22-(-2)×23+…+(-n+1)·2n-(-n)·2n+1=n·2n+1.記數(shù)列n22n的前n項和為Tn,利用上述方法求T20-6=( )
A.243219B.-243219C.485220D.-485220
答案B
解析設(shè)n22n=a(n-1)2+b(n-1)+c2n-1-an2+bn+c2n=an2+(b-4a)n+2a-2b+c2n,
則a=1,b-4a=0,2a-2b+c=0,解得a=1,b=4,c=6,
所以n22n=(n-1)2+4(n-1)+62n-1-n2+4n+62n,則數(shù)列n22n的前n項和為(6-12+4×1+62)+(12+4×1+62-22+4×2+622)+…+[(n-1)2+4(n-1)+62n-1-n2+4n+62n]=6-n2+4n+62n.
故T20-6=-486220=-243219.故選B.
6.(2024·浙江溫州三模)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,an+1=Snan(n∈N*),則∑i=15a2i-∑i=16a2i-1可以是( )
A.18B.12C.9D.6
答案C
解析由an+1=Snan(n∈N*)可得Sn=an+1·an且an≠0,
由上式可知a2=S1a1=1,
且Sn+1=an+2·an+1,
兩式相減得an+1=an+2·an+1-an+1·an,
兩邊同時除以an+1(an+1≠0)得an+2-an=1,
由上式可知數(shù)列{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等差數(shù)列,公差為1,
所以∑i=15a2i-∑i=16a2i-1=(a2+a4+a6+a8+a10)-(a1+a3+a5+a7+a9+a11)=(1+2+3+4+5)-(a1+a1+1+a1+2+a1+3+a1+4+a1+5)=-6a1,
由此數(shù)列的奇數(shù)項公式為a2n-1=a1+(n-1),
又由an≠0,所以可以判斷a1一定不能為負(fù)整數(shù),即只能有-6a1=9.故選C.
二、選擇題:本題共2小題,每小題6分,共12分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
7.(2024·安徽淮北二模)已知數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,若an=2n-1,Tn=2n+1-2,則下列說法正確的是( )
A.S10=100
B.b10=1 024
C.1anan+1的前10項和為919
D.1bn的前10項和為1 0231 024
答案ABD
解析∵an=2n-1,∴{an}是首項a1=1,公差d=2的等差數(shù)列,∴S10=10×1+10×(10-1)2×2=100.故選項A正確.
令cn=1anan+1,則cn=1d1an-1an+1=121an-1an+1,∴c1+c2+…+c10=12(1a1-1a2+1a2-1a3+…+1a10-1a11)=121a1-1a11.
又a1=1,a11=21,∴c1+c2+…+c10=121-121=1021.故選項C錯誤.
∵Tn=2n+1-2,∴bn=Tn-Tn-1=2n+1-2-2n+2=2n(n>1,n∈N*),
又b1=T1=21+1-2=2,b1=21=2,
∴bn=2n(n∈N*),
∴{bn}是首項為b1=2,公比q=2的等比數(shù)列,
∴b10=210=1 024.故選項B正確.
∵1bn=12n=12·12n-1,∴1bn是首項為12,公比為12的等比數(shù)列,1b1+1b2+1b3+…+1b10=12×1-12101-12=1 0231 024.故選項D正確.故選ABD.
8.(2024·山東濟(jì)南二模)數(shù)列{an}滿足a1=1,an=an-1,n4∈N*,an-1+1,n4?N*,n≥2,bm表示{an}落在區(qū)間[2m,2m+1)的項數(shù),其中m∈N*,則下列說法正確的是( )
A.b3=10B.3n4≤an≤3n+34
C.∑k=14nak=6n2+3nD.∑k=12nbk=43(4n-1)
答案BC
解析根據(jù)題意,列舉可得,數(shù)列{an}的前若干項分別為1,2,3,3,4,5,6,6,….不難發(fā)現(xiàn),a4k=3k,a4k-1=3k,a4k-2=3k-1,a4k-3=3k-2.
對于A,根據(jù)數(shù)列列舉可得1,2,3,3,4,5,6,6,7,8,9,9,10,11,12,12,13,14,15,15,16,17,18,18,….即落在區(qū)間[23,24)上的有8,9,9,10,11,12,12,13,14,15,15共有11項,因此b3=11.故A錯誤.
對于B,當(dāng)n=4k時,an=3k=3n4;當(dāng)n=4k-1時,an=3k=3(n+1)4;當(dāng)n=4k-2時,an=3k-1=3(n+2)4-1=3n+24;當(dāng)n=4k-3時,an=3k-2=3(n+3)4-2=3n+14,所以它們均在區(qū)間3n4,3n+34中.故B正確.
對于C,∑i=14nai=∑i=1n(a4i-3+a4i-2+a4i-1+a4i)=∑i=1n(3i-2+3i-1+3i+3i)=∑i=1n(12i-3)=n(9+12n-3)2=6n2+3n.故C正確.
對于D,根據(jù)數(shù)列列舉可得1,2,3,3,4,5,6,6,7,8,9,9,10,11,12,12,13,14,15,15,16,17,18,18,….
可得b1=3,b2=5,
所以當(dāng)n=1時,∑k=12bk=b1+b2=3+5=8,
而當(dāng)n=1時,43×(41-1)=4,所以此時∑k=12nbk=43(4n-1)不成立.故D錯誤.
故選BC.
三、填空題:本題共1小題,每小題5分,共5分.
9.(2024·江西宜春模擬)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,bn=an-8,n為奇數(shù),2an+1,n為偶數(shù),記Sn,Tn分別為{an},{bn}的前n項和,若S3=18,T2=10,則T20= .
答案370
解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
由S3=18,得a1+a2+a3=a1+a1+d+a1+2d=3a1+3d=18,①
由T2=10,得a1-8+2a2+1=a1-8+2(a1+d)+1=10,
所以3a1+2d=17,②
聯(lián)立①②,得3a1+3d=18,3a1+2d=17,
解得a1=5,d=1,
所以an=a1+(n-1)d=5+(n-1)×1=n+4.
則bn=n-4,n為奇數(shù),2n+9,n為偶數(shù),
所以T20=(b1+b3+…+b19)+(b2+b4+…+b20)=(-3-1+1+…+15)+(13+17+…+49)=-3+152×10+13+492×10=370.
四、解答題:本題共2小題,共30分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
10.(15分)(2024·浙江寧波二模)已知等差數(shù)列{an}的公差為2,記數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,b1=0,b2=2且滿足bn+1=2Sn+an.
(1)證明:數(shù)列{bn+1}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn.
(1)證明當(dāng)n≥2時,bn+1-bn=2(Sn-Sn-1)+an-an-1=2bn+2,
即bn+1=3bn+2.
又b1=0,b2=2,也符合b2=3b1+2,
所以當(dāng)n≥1時,bn+1=3bn+2,
即bn+1+1=3(bn+1).
又b1+1=1≠0,
所以bn+1≠0,
所以bn+1+1bn+1=3,
所以數(shù)列{bn+1}成等比數(shù)列.
(2)解由(1)易得bn=3n-1-1.
由b2=2b1+a1可得a1=2,所以an=2n.
故anbn=2n(3n-1-1)=2n×3n-1-2n,
所以Tn=2(1×30+2×31+3×32+…+n×3n-1)-n(n+1).
令M=1×30+2×31+3×32+…+n×3n-1,
則3M=1×31+2×32+3×33+…+n×3n,
所以2M=-(30+31+32+…+3n-1)+n×3n=n×3n-1-3n1-3=(2n-1)×3n+12,
所以Tn=2M-n(n+1)=(2n-1)×3n+12-n(n+1).
11.(15分)(2024·山東濰坊三模)已知正項等差數(shù)列{an}的公差為2,前n項和為Sn,且S1+1,S2,S3+1成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;
(2)若bn=1Sn,n為奇數(shù),Sn·sin(n-1)π2,n為偶數(shù),求數(shù)列{bn}的前4n項和.
解(1)因為S22=(S1+1)(S3+1),所以(2a1+2)2=(a1+1)(3a1+7),即(a1+1)(a1-3)=0,
解得a1=-1或a1=3,
又因為an>0,所以a1=3,
所以an=3+2(n-1)=2n+1.
(2)Sn=n(a1+an)2=n(n+2),
所以1Sn=121n-1n+2.
當(dāng)n為奇數(shù)時,b1+b3+…+b4n-1=1S1+1S3+…+1S4n-1=121-13+1213-15+…+12(14n-1-14n+1)=121-14n+1.
當(dāng)n為偶數(shù)時,b4n-2+b4n=S4n-2-S4n=(4n-2)×4n-4n×(4n+2)=-16n,
則b2+b4+…+b4n=-16(1+2+…+n)=-8n(n+1),
所以前4n項和T4n=121-14n+1-8n(n+1)=2n4n+1-8n(n+1).

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