題型：8（單選）+4（多選）+4（填空）+2（解答題）
時間：90分鐘
一、單選題
1．（2020·眉山市彭山區(qū)第一中學高二月考（文））若一根蠟燭長20 cm，點燃后每小時燃燒5 cm，則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時間t(小時)的函數(shù)關系用圖象表示為( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
依題設可知，蠟燭高度h與燃燒時間t之間構成一次函數(shù)關系，
又∵函數(shù)圖象必過點(0,20)、(4,0)兩點，且該圖象應為一條線段．∴選B.
2．（2019·洋縣中學高二期中）萬眾矚目的北京冬奧會將于2022年2月4日正式開幕，繼2008年北京奧運會之后，國家體育場（又名鳥巢）將再次承辦奧運會開幕式.在手工課上，王老師帶領同學們一起制作了一個近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個大小不同，扁平程度相同的橢圓，已知大橢圓的長軸長為40cm，短軸長為20cm，小橢圓的短軸長為10cm，則小橢圓的長軸長為（ ）cm
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由題意先求大橢圓離心率為，根據(jù)兩個橢圓的離心率相同，小橢圓的離心率為，再根據(jù)小橢圓的短軸長為10cm，代入公式即可得解.
【詳解】
由大橢圓和小橢圓扁平程度相同，可得兩橢圓的離心率相同，
由大橢圓長軸長為40cm，短軸長為20cm，
可得焦距長為cm，故離心率為，
所以小橢圓離心率為，
小橢圓的短軸長為10cm，即cm，
由，可得：cm，
所以長軸為cm.
故選：B.
【點睛】
本題考查了利用離心率求橢圓基本量的問題，考查了公式的理解應用，屬于基礎題.
3．（2021·上海徐匯區(qū)·位育中學高二月考）正方體中，點在側面及其邊界上運動，且滿足到異面直線與距離相等，則動點的軌跡是（ ）
A．一條線段B．橢圓的一部分
C．雙曲線的一部分D．拋物線的一部分
【答案】D
【分析】
到的距離與到的距離相等，問題轉化為到的距離與到距離相等，從而明確動點的軌跡.
【詳解】
點在側面及其邊界上運動，且滿足到異面直線與距離相等，
因為幾何體是正方體，所以側面，
到的距離與到的距離相等，
所以問題轉化為到的距離與到距離相等，
所以的軌跡是拋物線的一部分，
故選：．
4．（2020·全國高三月考（理））方程所表示曲線的大致形狀為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
取，解得，令，解得，故排除C、D選項，又函數(shù)圖象不是圓，從而得出答案.
【詳解】
解：令，解得，令，解得，故排除C、D選項；
易知該函數(shù)圖象不是圓，排除B選項，又因為點滿足條件，
故選：A.
【點睛】
本題考查根據(jù)曲線方程選擇曲線的圖形，屬于基礎題.
5．（2021·全國高三專題練習（理））歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯(公元前375年—325年)，大約100年后，阿波羅尼奧更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學性質，比如：從拋物線的焦點發(fā)出的光線或聲波在經(jīng)過拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)拋物線反射后，反射光線經(jīng)過拋物線的焦點.設拋物線：，一束平行于拋物線對稱軸的光線經(jīng)過，被拋物線反射后，又射到拋物線上的點，則點的坐標為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
求出入射光線與拋物線的交點坐標，再根據(jù)拋物線的光學性質，利用斜率相等列式可解得結果.
【詳解】
設從點沿平行于拋物線對稱軸的方向射出的直線與拋物線交于點，易知，將代入拋物線方程得，即，
設焦點為，則，設，由，，三點共線，
有，化簡得，
解得或(舍)，即.
故選：D
6．（2020·北京海淀教師進修學校附屬實驗學校高二期中）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在位置為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
求出點關于直線的對稱點為，則可得即為“將軍飲馬”的最短總路程，求出的坐標，即可求出.
【詳解】
如圖，點關于直線的對稱點為，則即為“將軍飲馬”的最短總路程，
設，
則，解得，
則，
故“將軍飲馬”的最短總路程為10.
故選：D.
7．（2020·河北巨鹿中學高二月考）已知平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)(且）的點的軌跡是圓，這個圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓，、為長軸端點，、為短軸端點，動點滿足，，面積的最大值為，面積的最小值為，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
設點、、，根據(jù)求出動點的軌跡方程，結合已知條件可得出關于、的方程組，解出、的值，可得出的值，進而可求得該橢圓的離心率.
【詳解】
設、、，
動點滿足，則，
化簡得
面積的最大值為，面積的最小值為，
所以，，解得，，
因此，該橢圓的離心率為.
故選：D.
【點睛】
方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：
（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；
（2）齊次式法：由已知條件得出關于、的齊次方程，然后轉化為關于的方程求解；
（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.
8．（2020·江蘇南京·高二月考）．光線被曲線反射，等效于被曲線在反射點處的切線反射．已知光線從橢圓的一個焦點出發(fā)，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個焦點；光線從雙曲線的一個焦點出發(fā)被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點發(fā)出；如題10圖，橢圓與雙曲線有公共焦點，現(xiàn)一光線從它們的左焦點出發(fā)，在橢圓與雙曲線間連續(xù)反射，則光線經(jīng)過次反射后回到左焦點所經(jīng)過的路徑長為
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
考點：雙曲線的應用；橢圓的應用．
分析：根據(jù)題意，可知光線從左焦點出發(fā)經(jīng)過橢圓反射要回到另一個焦點，光線從雙曲線的左焦點出發(fā)被雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過另一個焦點，從而可計算光線經(jīng)過2k（k∈N*）次反射后回到左焦點所經(jīng)過的路徑長．
解：因為光線被曲線反射，等效于被曲線在反射點處的切線反射．已知光線從橢圓的一個焦點出發(fā)，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個焦點；光線從雙曲線的一個焦點出發(fā)被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點發(fā)出
所以，光線從左焦點出發(fā)經(jīng)過橢圓反射要回到另一個焦點，光線從雙曲線的左焦點出發(fā)被雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過另一個焦點
如圖，AF2=2m+AF1，
BF1+BA+AF1=2a-AF2+AF1=2a-（2m+AF1）+AF1=2a-2m
所以光線經(jīng)過2k（k∈N*）次反射后回到左焦點所經(jīng)過的路徑長為2k（a-m）
故選D．
二、多選題
9．（2020·無錫市第一中學高二期中）已知兩監(jiān)測點間距離為800米，且監(jiān)測點聽到爆炸聲的時間比監(jiān)測點遲2秒，設聲速為340米/秒，下列說法正確的是（ ）
A．爆炸點在以為焦點的橢圓上
B．爆炸點在以為焦點的雙曲線的一支上
C．若監(jiān)測點的聲強是監(jiān)測點的4倍(聲強與距離的平方成反比)，則爆炸點到監(jiān)測點的距離為米
D．若監(jiān)測點的聲強是監(jiān)測點的4倍(聲強與距離的平方成反比)，則爆炸點到監(jiān)測點的距離為米
【答案】BD
【分析】
結合橢圓、雙曲線的定義判斷AB選項的正確性.求得爆炸點到監(jiān)測點的距離，由此判斷CD選項的正確性.
【詳解】
依題意，兩監(jiān)測點間距離為800米，且監(jiān)測點聽到爆炸聲的時間比監(jiān)測點遲2秒，
設爆炸點為，則，所以爆炸點在以為焦點的雙曲線的一支上.所以A選項錯誤，B選項正確.
若監(jiān)測點的聲強是監(jiān)測點的4倍(聲強與距離的平方成反比)，所以，
即，結合可得.
所以C選項錯誤，D選項正確.
故選：BD
【點睛】
本小題主要考查雙曲線的定義，屬于基礎題.
10．（河北省淶水波峰中學2019-2020學年高一下學期第三次質檢數(shù)學試題）瑞士數(shù)學家歐拉（LenhardEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知的頂點，其歐拉線方程為，則頂點C的坐標可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】
根據(jù)三角形重心坐標公式進行求解判斷即可.
【詳解】
設頂點C的坐標為，所以重心坐標為，
因為歐拉線方程為，所以.
A：當頂點C的坐標為時，顯然不滿足；
B：當頂點C的坐標為時，顯然滿足；
C：當頂點C的坐標為時，顯然滿足；
D：當頂點C的坐標為時，顯然不滿足，
故選：BC
【點睛】
本題考查了三角形重心坐標公式的應用，考查了數(shù)學閱讀能力和數(shù)學運算能力.
11．（2020·江蘇南京·高二期中）(多選)如圖所示，“嫦娥四號”衛(wèi)星將沿地月轉移軌道飛向月球后，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行．若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，下列式子正確的是（ ）
A． B．
C．

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