一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.(2024·河北承德二模)在△ABC中,D為BC中點,連接AD,設(shè)E為AD中點,且BA=x,BE=y,則BC=( )
A.4x+2yB.-4x+y
C.-4x-2yD.4y-2x
答案D
解析由于BE=12(BA+BD)=12BA+14BC,所以BC=4BE-2BA=4y-2x.故選D.
2.(2024·江蘇南京二模)已知向量a=(1,2),b=(x,x+3).若a∥b,則x=( )
A.-6B.-2C.3D.6
答案C
解析由a∥b,知1·(x+3)=2·x,解得x=3.
故選C.
3.(2024·湖南長沙二模)在邊長為1的正六邊形A1A2A3A4A5A6中,A1A4·A3A6的值為( )
A.2B.-2C.23D.-23
答案B
解析如圖,易知△A3OA4,△A1OA6為正三角形,
則|A1A4|=|A3A6|=2,=2π3,
所以A1A4·A3A6=|A1A4||A3A6|cs=2×2×-12=-2.故選B.
4.(2024·浙江紹興二模)已知e1,e2是單位向量,且它們的夾角是60°,若a=2e1+e2,b=λe1-e2,且a⊥b,則λ=( )
A.25B.45C.1D.2
答案B
解析由a⊥b得,a·b=(2e1+e2)·(λe1-e2)=2λe12+(λ-2)e1·e2-e22=0,即2λ+λ-22-1=0,解得λ=45.故選B.
5.(2024·山東濱州二模)已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則c·(b-a)=( )
A.4
B.1
C.-1
D.-4
答案A
解析建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示,
可知a=(-1,-2),b=(-2,1),c=(2,2),則b-a=(-1,3),所以c·(b-a)=-2+6=4.
故選A.
6.(2024·江蘇揚州模擬)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=3,且a與b的夾角為5π6,則|2a-b|=( )
A.12B.13C.1D.13
答案B
解析根據(jù)題意,a·b=|a||b|cs5π6=1×3×-32=-32,則|2a-b|=(2a-b)2=4a2-4a·b+b2=4+6+3=13.故選B.
7.(2024·廣東茂名模擬)如圖,已知正六邊形ABCDEF的邊長為4,對稱中心為O,以O(shè)為圓心作半徑為2的圓,點M為圓O上任意一點,則AD·CM的取值范圍為( )
A.[-24,16]B.[0,32]
C.[-32,0]D.[-123,0]
答案C
解析連接OM,OC,設(shè)=θ,依題意,AD=8,OC=4,=π3,
則AD·CM=AD·(OM-OC)=AD·OM-AD·OC=8×2cs θ-8×4csπ3=16cs θ-16.
由θ∈[0,π],得-1≤cs θ≤1,
所以-32≤AD·CM≤0.
故選C.
8.(2024·湖南邵陽一模)如圖,四邊形ABCD是正方形,M,N分別是BC,DC的中點,若AB=λAM+μAN,λ,μ∈R,則2λ-μ的值為( )
A.43B.52C.-23D.103
答案D
解析AB=AM+MB=AM+CM=AM+12DA=AM+12(DN+NA)=AM+1212AB-AN,
所以34AB=AM-12AN,
所以AB=43AM-23AN,
所以λ=43,μ=-23,2λ-μ=83+23=103.
故選D.
二、選擇題:本題共2小題,每小題6分,共12分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.(2024·浙江溫州模擬預(yù)測)已知單位向量a,b,c共面,則下列說法中正確的是( )
A.若|a+b|=|a-b|,則a∥b
B.若|a+b|=|a-b|,則a⊥b
C.若a+b+c=0,則=π3
D.若a+b+c=0,則=2π3
答案BD
解析由|a+b|=|a-b|,可得(a+b)2=(a-b)2,即a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b,可得a·b=0,所以a⊥b,故A不正確,B正確.
因為向量a,b,c為單位向量,可得|a|=|b|=|c|=1.
又a+b+c=0,可得b=-(a+c),
則b2=a2+c2+2a·c,
即|b|2=|a|2+|c|2+2a·c,
可得a·c=-12,
所以cs=a·c|a||c|=-12.
因為∈[0,π],所以=2π3,故C錯誤.
由a+b+c=0,可得a=-(b+c),
則|a|2=|b|2+|c|2+2b·c,可得b·c=-12,
所以cs=b·c|b||c|=-12.
因為∈[0,π],所以=2π3,故D正確.
故選BD.
10.(2024·山東濟(jì)寧模擬)如圖2,這是一個邊長為20厘米的正六邊形的軟木鍋墊ABCDEF,則下列選項正確的是( )
圖1
圖2
A.向量BF在向量DE上的投影向量為-32AB
B.AD-BE+CF=0
C.|AC+AE|=30
D.點P是正六邊形內(nèi)部(包括邊界)的動點,AP·AB的最小值為-200
答案ABD
解析以A為原點,以AB所在直線為x軸,AE所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示.
對于A,由圖可知B(20,0),F(-10,103),D(20,203),E(0,203),所以BF=(-30,103),DE=(-20,0),故向量BF在向量DE上的投影向量為BF·DE|DE|2 DE=600400DE=32DE=-32AB,故A正確.
對于B,由圖可知A(0,0),C(30,103),所以AD=(20,203),BE=(-20,203),CF=(-40,0),所以AD-BE+CF=(20+20-40,203-203+0)=(0,0)=0,故B正確.
對于C,AC=(30,103),AE=(0,203),|AC+AE|=302+(303)2=3 600=60,故C錯誤.
對于D,設(shè)P(x,y),則AP=(x,y),AB=(20,0),所以AP·AB=20x.因為點P是正六邊形內(nèi)部(包括邊界)的動點,所以-10≤x≤30,所以當(dāng)x=-10時,AP·AB有最小值,最小值為-200,故D正確.
故選ABD.
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
11.(2024·山東濰坊三模)已知向量a=(1,2),b=(4,-2),c=(1,λ),若c·(2a+b)=0,則實數(shù)λ= .
答案-3
解析2a+b=(2,4)+(4,-2)=(6,2),c·(2a+b)=(1,λ)·(6,2)=6+2λ=0,解得λ=-3.
12.(2024·湖北武漢期末)設(shè)P為△ABC所在平面內(nèi)一點,滿足AP·BC=BP·AC=0,則CP·AB= .
答案0
解析由AP·BC=0,得PA·(PC-PB)=0,則PA·PC=PA·PB.
由BP·AC=0,得PB·(PC-PA)=0,則PB·PC=PB·PA,
于是PA·PC=PB·PC,
所以CP·AB=-PC·(PB-PA)=-PC·PB+PC·PA=0.
13.(2024·山東泰安二模)已知在矩形ABCD中,AB=1,AD=3,動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上,則AP·AD的最大值為 ;若AP=mAB+nAD(m,n∈R),則m+n的最大值為 .
答案92 3
解析如圖,以B為原點,以BC,BA所在的直線為x軸、y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,
則B(0,0),A(0,1),D(3,1),C(3,0),AD=(3,0).
設(shè)圓的半徑為r,∵BC=3,CD=1,
∴BD=(3)2+12=2,
∴12BC·CD=12BD·r,
解得r=32,
∴圓的方程為(x-3)2+y2=34.
設(shè)∠PCE=θ,則點P的坐標(biāo)為(32cs θ+3,32sin θ),θ∈[0,2π],則AP=(32cs θ+3,32sin θ-1),AP·AD=3(32cs θ+3)=32cs θ+3∈[32,92],故AP·AD的最大值為92.
∵AP=mAB+nAD(m,n∈R),AB=(0,-1),
∴AP=(32cs θ+3,32sin θ-1)=m(0,-1)+n(3,0)=(3n,-m),
∴12cs θ+1=n,-32sin θ+1=m,
∴m+n=12cs θ-32sin θ+2=cs(θ+π3)+2.∵-1≤cs(θ+π3)≤1,
∴1≤m+n≤3,
故m+n的最大值為3.
四、解答題:本題共1小題,共15分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
14.(15分)(2024·湖南長沙一模)“費馬點”是由數(shù)學(xué)家費馬提出,該問題是:“在一個三角形內(nèi)求作一點,使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答,當(dāng)△ABC的三個內(nèi)角均小于120°時,使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的點O即為費馬點;當(dāng)△ABC有一個內(nèi)角大于或等于120°時,最大內(nèi)角的頂點為費馬點.試用以上知識解決下面問題:
已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且cs 2B+cs 2C-cs 2A=1.
(1)求A;
(2)若bc=2,設(shè)點P為△ABC的費馬點,求PA·PB+PB·PC+PC·PA.
解(1)由cs 2B+cs 2C-cs 2A=1,得1-2sin2B+1-2sin2C-1+2sin2A=1,故sin2A=sin2B+sin2C.
由正弦定理可得a2=b2+c2,
故△ABC是直角三角形,且A=π2.
(2)由(1)知,A=π2,
所以△ABC中的三個角都小于120°.
由費馬點定義,可知∠APB=∠BPC=∠APC=120°.
設(shè)|PA|=x,|PB|=y,|PC|=z,
由S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC得,12xy·32+12yz·32+12xz·32=12bc=1,
整理得xy+yz+xz=433,則PA·PB+PB·PC+PA·PC=xy·-12+yz·-12+xz·-12=-12×433=-233.

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