一、選擇題:本題共7小題,每小題5分,共35分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.(2024·河北滄州期中)直線y=3x-1與橢圓x24+y28=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( )
A.0B.1
C.2D.無數(shù)個(gè)
答案C
解析由y=3x-1,x24+y28=1,消去y整理得11x2-6x-7=0,顯然Δ=(-6)2-4×11×(-7)>0,所以直線y=3x-1與橢圓x24+y28=1相交,有2個(gè)公共點(diǎn).故選C.
2.(2024·江蘇南通模擬)已知雙曲線C:x24-y2=1,直線l:x-y+1=0,若雙曲線C上的點(diǎn)P到直線l的距離最小,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為( )
A.233B.433C.-233D.-433
答案D
解析由題意得直線l:x-y+1=0與雙曲線無交點(diǎn),設(shè)直線l的平行線l1:x-y+m=0,聯(lián)立x-y+m=0,x24-y2=1,整理得3x2+8mx+4m2+4=0,若直線l1與雙曲線相切,切點(diǎn)為P,則Δ=(8m)2-4×3×(4m2+4)=0,解得m=±3.由圖形可知當(dāng)m=3時(shí),雙曲線C上的點(diǎn)P到直線l的距離最小,代入3x2+8mx+4m2+4=0,即3x2+83x+16=0,解得x=-433.故選D.
3.(2024·四川眉山三模)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)(2,0)的直線與拋物線C:y2=2px(p>0)交于M,N兩點(diǎn),若OM·ON=-4,則p的值為( )
A.14B.12C.2D.4
答案C
解析由題意,直線MN的斜率不為0,故可設(shè)直線MN的方程為x=my+2,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由x=my+2,y2=2px,得y2-2pmy-4p=0,故y1y2=-4p,x1x2=(y1y2)24p2=4,從而OM·ON=x1x2+y1y2=4-4p=-4,解得p=2.故選C.
4.(2024·河南焦作模擬)已知直線y=x-1交曲線C:y2=4x于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方),F為C的焦點(diǎn),則|AB||AF|-|BF|=( )
A.23B.22C.2D.2
答案D
解析聯(lián)立y=x-1,y2=4x,消元得x2-6x+1=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),解得x1=3+22,x2=3-22,易知F(1,0)過直線AB,根據(jù)拋物線的定義,可得|AF|=x1+p2=4+22,|BF|=x2+p2=4-22,所以|AB||AF|-|BF|=|AF|+|BF||AF|-|BF|=2.故選D.
5.(2024·遼寧朝陽期末)如圖,已知橢圓x225+y29=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過焦點(diǎn)F1的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),若△ABF2的內(nèi)切圓的面積為3π,設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則|y1-y2|的值為( )
A.3B.2
C.352D.532
答案D
解析由題意知△ABF2內(nèi)切圓的半徑為3,|F1F2|=8.又|AF2|+|AB|+|BF2|=|AF2|+|AF1|+|BF1|+|BF2|=20,所以△ABF2的面積S=12(|AF2|+|AB|+|BF2|)×3=103.因?yàn)镾=12|F1F2|·|y1-y2|=103,所以|y1-y2|=2038=532.故選D.
6.(2024·山西臨汾二模)已知拋物線C:y2=4x,過點(diǎn)M32,-1的直線l與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),且M為弦AB的中點(diǎn),則直線l的斜率為( )
A.-12B.-34C.-1D.-2
答案D
解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因?yàn)橹本€l與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),所以y12=4x1,y22=4x2,兩式相減得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),由題意得直線l的斜率k=y1-y2x1-x2=4y1+y2=42×(-1)=-2.故選D.
7.(2024·遼寧沈陽一模)已知雙曲線C:y23-x2=1的下焦點(diǎn)和上焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線y=x+m與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn),若△F2AB的面積是△F1AB的面積的4倍,則m=( )
A.3B.-3
C.103D.-103
答案D
解析由雙曲線C:y23-x2=1可知F1(0,-2),F2(0,2),聯(lián)立y23-x2=1,y=x+m,消元得2x2-2mx+3-m2=0,則Δ=4m2-8(3-m2)>0,即m2>2.由△F2AB的面積是△F1AB的面積的4倍可知,點(diǎn)F2到直線AB的距離是點(diǎn)F1到直線AB的距離的4倍,即|2-m|2=4|2+m|2,化簡可得15m2+68m+60=0,解得m=-103或m=-65(舍去).故選D.
二、選擇題:本題共2小題,每小題6分,共12分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
8.(2024·遼寧錦州三模)已知雙曲線C:x2-y2=1及直線l:y=kx-1,若l與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),且△AOB的面積為2,則實(shí)數(shù)k的值可能為( )
A.0B.32C.52D.62
答案AD
解析聯(lián)立x2-y2=1,y=kx-1,消去y整理得(1-k2)x2+2kx-2=0,由已知1-k2≠0,Δ=4k2+8(1-k2)>0,所以0≤k28
C.若λ=2,則|PQ|=152
D.若S△PQO=42,則|PQ|=165
答案ABD
解析由拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-1,可得-p2=-1,解得p=2,所以拋物線C:y2=4x.設(shè)直線PQ:x=ty-1,且P(y124,y1),Q(y224,y2),聯(lián)立x=ty-1,y2=4x,整理得y2-4ty+4=0,則Δ=16t2-16>0,解得t2>1,且y1+y2=4t,y1y2=4.OP·OQ=(y1y2)216+y1y2=1+4=5,故A正確;AP·AQ=(y1y2)216+y12+y224+1+y1y2=6+y12+y224>6+12y1y2=8,故B正確;當(dāng)λ=2時(shí),由AP=2AQ,可得y1=2y2,則y1=22,y2=2或y1=-22,y2=-2,所以|PQ|=172,故C錯(cuò)誤;由S△PQO=|S△POA-S△QOA|=12·|y1-y2|=12·(y1+y2)2-4y1y2=2t2-1=42,解得t=±3,所以|y1-y2|=82,則|PQ|=1+t2·|y1-y2|=165,故D正確.故選ABD.
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
10.請(qǐng)寫出一個(gè)焦點(diǎn)在y軸上,且與直線y=2x沒有交點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程: .
答案y24-x2=1(答案不唯一)
解析與直線y=2x沒有交點(diǎn),則y=2x可以作為雙曲線的漸近線,故滿足y24-x2=λ(λ>0),取λ=1,則滿足條件的一個(gè)雙曲線方程可以為y24-x2=1.
11.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),橢圓D:y2a2+x2=1(a>1),記P為拋物線與橢圓D在第一象限的交點(diǎn),延長PO交橢圓D于點(diǎn)Q.若|PF|=32,則△PQF的面積為 .
答案2
解析由y2=4x,可得點(diǎn)F(1,0).由橢圓D:y2a2+x2=1(a>1),可得點(diǎn)F(1,0)與橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)重合.根據(jù)橢圓的對(duì)稱性,|PO|=|OQ|,所以△PQF的面積等于△POF的面積的2倍.由拋物線的定義知,點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=-1的距離為32,所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為12,代入拋物線方程得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2.所以△PQF的面積為S=2×12×1×2=2.
12.(2024·廣東茂名一模)已知雙曲線C:x2-y23=1,直線l:y=kx+1分別與雙曲線C的左、右支交于M,N兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若△OMN的面積為6,則直線l的方程為 .
答案y=±2x+1
解析聯(lián)立x2-y23=1,y=kx+1,消去y得(3-k2)x2-2kx-4=0,
∴3-k2≠0,Δ=4k2+16(3-k2)>0,得k2b>0)的離心率為12,
所以ca=12,
又因?yàn)榻咕酁?,所以2c=2,即有c=1,a=2.
則b=a2-c2=3,
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1.
(2)聯(lián)立x24+y23=1,y=-x+m,消去y整理得7x2-8mx+4m2-12=0,
由Δ=(-8m)2-4×7(4m2-12)>0,則m20)的離心率為255,以橢圓C的上、下頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)F為頂點(diǎn)的三角形的面積為2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)F的直線l交橢圓C于點(diǎn)A,B,直線OA,OB交直線x=1于點(diǎn)M,N,若△AOB與△MON的面積相等,求直線l的方程.
解(1)依題意有ca=255,12×2b×c=2,a2=b2+c2,解得a=5,b=1,c=2,
所以橢圓C:x25+y2=1.
(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),易知S△AOB>S△MON,顯然不合題意,因此直線l的斜率必存在,設(shè)l的方程為y=k(x-2)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立y=k(x-2),x2+5y2=5,得(5k2+1)x2-20k2x+20k2-5=0,由于點(diǎn)F在橢圓C內(nèi),因此Δ>0恒成立,且x1x2=20k2-55k2+1.
直線AM:y=y1x1x?點(diǎn)M的縱坐標(biāo)yM=y1x1,
同理點(diǎn)N的縱坐標(biāo)yN=y2x2,因此S△AOB=12|OF|·|y1-y2|=|k(x1-x2)|,
S△MON=12×1×|yM-yN|=12y1x1-y2x2=12k(x1-2)x2-k(x2-2)x1x1x2=|k(x1-x2)||x1x2|.
由于S△AOB=S△MON,所以|k(x1-x2)|=|k(x1-x2)||x1x2|,
因此|x1x2|=|20k2-55k2+1|=1,
解得k=±105或k=±25.
故直線l的方程為y=±105(x-2)或y=±25(x-2).

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