主干知識(shí)達(dá)標(biāo)練
1.(2024陜西榆林二模)若tanα2+π8=12,則tan α=( )
A.17B.13
C.-17D.-13
答案A
解析因?yàn)閠anα2+π8=12,所以tanα+π4=2×121-122=43,
tan α=tanα+π4-π4=43-11+43=17.故選A.
2.(2024湖南常德三模)已知cs α=13,sinα2cs β=12,則cs 2β=( )
A.12B.13
C.-13D.-12
答案A
解析因?yàn)閏s α=13,所以cs α=1-2sin2α2=13,sinα2=±33,又sinα2cs β=12,所以cs β=±32,所以cs 2β=2cs2β-1=2×34-1=12,故選A.
3.(2024江蘇揚(yáng)州模擬)在某直角三角形中,一個(gè)銳角α的斜邊與其鄰邊的比,叫做該銳角的正割,用sec α表示;銳角α的斜邊與其對(duì)邊的比,叫做該銳角的余割,用csc α表示,則csc 10°-3sec 10°=( )
A.4B.8
C.3D.43
答案A
解析csc 10°-3sec 10°=1sin10°-3cs10°=-(3sin10°-cs10°)sin10°cs10°=-2sin(10°-30°)12sin20°=2sin20°12sin20°=4.故選A.
4.(2024山東青島一模)△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若b=2asin B,bc=4,則△ABC的面積為( )
A.1B.3
C.2D.23
答案A
解析根據(jù)已知及正弦定理得sin B=2sin Asin B,因?yàn)锽∈(0,π),所以sin B≠0,所以1=2sin A,解得sin A=12,所以S△ABC=12bcsin A=12×4×12=1.故選A.
5.(2024江蘇蘇州模擬)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,∠BAC=π3,∠BAC的平分線交邊BC于點(diǎn)D,若AD=3,則b+2c的最小值為( )
A.2+22B.4
C.3+22D.3+23
答案C
解析如圖,S△ABC=12bcsin∠BAC=34bc,因?yàn)椤螧AC的平分線交邊BC于點(diǎn)D,且AD=3,所以∠BAD=∠CAD=π6,
S△ABD=12×AD×c×sin∠BAD=34c,S△CAD=12×AD×b×sin∠CAD=34b,
而S△ABC=S△ABD+S△CAD,所以34bc=34c+34b,
化簡(jiǎn)得bc=c+b,即1b+1c=1,
則b+2c=(b+2c)1b+1c=3+bc+2cb≥3+2bc×2cb=3+22,當(dāng)且僅當(dāng)b=2c=2+1時(shí),取等號(hào),即b+2c的最小值為3+22.故選C.
6.(多選題)(2024河北石家莊期末)黃金分割率的值可以用2sin 18°表示.下列結(jié)果等于黃金分割率的值的是( )
A.sin 102°+3cs 102°B.2cs 78°+2cs 42°
C.2tan9°cs18°1-tan29°D.sin36°sin108°
答案AD
解析對(duì)于A,sin 102°+3cs 102°=2sin(102°+60°)=2sin 162°=2sin(180°-162°)=2sin 18°,所以A正確;
對(duì)于B,2cs 78°+2cs 42°=2cs(60°+18°)+2cs(60°-18°)=4cs 60°cs 18°=4×12cs 18°=2cs 18°,所以B不正確;
對(duì)于C,2tan9°cs18°1-tan29°=tan 18°cs 18°=sin 18°,所以C不正確;
對(duì)于D,sin36°sin108°=2sin18°cs18°sin(90°+18°)=2sin18°cs18°cs18°=2sin 18°,所以D正確.故選AD.
7.(2024安徽亳州模擬)已知sin α=35,α∈π2,π,若sin(α+β)csβ=4,則tan(α+β)=( )
A.-167B.-78C.167D.23
答案C
解析因?yàn)閟in α=35,α∈π2,π,所以cs α=-1-sin2α=-45,tan α=sinαcsα=-34.因?yàn)閟in(α+β)csβ=sinαcsβ+csαsinβcsβ=sin α+cs α·tan β=35-45tan β=4,所以tan β=-174,所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-34-1741-(-34)×(-174)=167.
8.(5分)(2024廣東揭陽(yáng)模擬)已知sin α-3cs α=1,則sin7π6-2α的值為 .
答案12
解析已知sin α-3cs α=1,則212sin α-32cs α=2sinα-π3=1,所以sinα-π3=12,令β=α-π3,則α=β+π3,即sin β=12,所以sin7π6-2α=sin7π6-2β-2π3=sinπ2-2β=cs 2β=1-2sin2β=12.
9.(5分)(2024北京門(mén)頭溝一模)若函數(shù)f(x)=2sinx2·csx2+Acs x(A>0)的最大值為2,則A= ,
fπ12= .
答案1 62
解析f(x)=2sinx2csx2+Acs x=sin x+Acs x=1+A2sin(x+φ),由最大值為2,A>0,則A=1,
所以f(x)=sin x+cs x=2sinx+π4,所以fπ12=2sinπ12+π4=2sinπ3=62.
10.(5分)(2024四川涼山二模)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若acsB-bcsAacsB+bcsA+bc=1,則A= .
答案π3
解析在△ABC中,由acsB-bcsAacsB+bcsA+bc=1及正弦定理得sinAcsB-sinBcsAsinAcsB+sinBcsA+sinBsinC=1,而sin C=sin(A+B)=sin Acs B+sin Bcs A,則sinAcsB-sinBcsAsinAcsB+sinBcsA+sinBsinAcsB+sinBcsA=1,整理得sin Acs B-sin Bcs A+sin B=sin Acs B+sin Bcs A,即2sin Bcs A=sin B,
又sin B>0,因此cs A=12,而0

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