主干知識(shí)達(dá)標(biāo)練
1.已知數(shù)列{an}滿足2an+1=an+an+2,其前n項(xiàng)和為Sn,若S9=18,則a5=( )
A.-2B.0C.2D.4
答案C
解析根據(jù)題意2an+1=an+an+2,可得數(shù)列{an}為等差數(shù)列,所以S9=9(a1+a9)2=18,所以a1+a9=4,所以2a5=4,所以a5=2.故選C.
2.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,若a2+a4+a6=5π,b2b4b6=33,則tana1+a71-b2b6=( )
A.3B.-3
C.33D.-33
答案A
解析因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列,所以a2+a4+a6=3a4=5π,故a4=5π3,所以a1+a7=2a4=10π3,因?yàn)閧bn}是等比數(shù)列,所以b2b4b6=b43=33,故b4=3,所以b2b6=3.所以tana1+a71-b2b6=tan-5π3=-tan2π3=3.故選A.
3.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn,a1=16,公比q=12,則Tn取最大值時(shí)n的值為( )
A.3B.6
C.4或5D.6或7
答案C
解析an=a1qn-1=16×12n-1=24×21-n=25-n,
(方法一)由題意知,an>0且數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,a5=1,前4項(xiàng)大于1,從第6項(xiàng)起小于1,
所以n=4或5時(shí),Tn取得最大值.
(方法二)Tn=a1a2…an=24×23×…×25-n=24+3+…+(5-n)=2n(4+5-n)2=2-n2+9n2=2-(n-92)2+8142,因?yàn)閚∈N*,所以n=4或5時(shí),Tn取得最大值.故選C.
4.已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列,其公差d≠0,若ln a1,ln a3,ln a6也是等差數(shù)列,則其公差為( )
A.ln dB.ln 2dC.ln23D.ln32
答案D
解析因?yàn)閘n a1,ln a3,ln a6是等差數(shù)列,
所以2ln a3=ln a1+ln a6,即ln a32=ln a1a6,
所以a32=a1a6,即(a1+2d)2=a1(a1+5d).
又d≠0,所以a1=4d,所以公差為ln a3-ln a1=lna3a1=lna1+2da1=ln6d4d=ln32.故選D.
5.(2024山東濰坊一模)已知數(shù)列{an}滿足a1=0,a2=1.若數(shù)列{an+an+1}是公比為2的等比數(shù)列,則a2 024=( )
A.22 023+13B.22 024+13
C.21 012-1D.21 011-1
答案A
解析依題意,a1+a2=1,an+an+1=2n-1,當(dāng)n≥2時(shí),an-1+an=2n-2,則an+1-an-1=2n-2,
所以a2 024=a2+(a4-a2)+(a6-a4)+…+(a2 024-a2 022)=1+2+23+25+…+22 021=1+2(1-41 011)1-4=22 023+13.故選A.
6.(多選題)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a5=-4,S5=-40,則( )
A.a10=6
B.S10=-30
C.當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí),Sn取最小值
D.a5+a6+a7+a8+a9+a10=0
答案AB
解析設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由a5=-4,S5=-40,得a1+4d=-4,5a1+5×42d=-40.解得a1=-12,d=2,所以an=2n-14,Sn=(-12+2n-14)n2=n2-13n,則a10=6,S10=-30,A,B正確;令an=2n-14≤0,得n≤7,且a7=0,則當(dāng)n=6或n=7時(shí),Sn取最小值,C不正確;因?yàn)閍5+a6+a7+a8+a9=5a7=0,所以a5+a6+a7+a8+a9+a10=a10=6≠0,D不正確.故選AB.
7.(多選題)一百零八塔始建于西夏時(shí)期,是中國現(xiàn)存最大且排列最整齊的塔群之一,塔群隨山勢鑿石分階而建,自上而下一共12層,第1層有1座塔,從第2層開始每層的塔數(shù)均不少于上一層的塔數(shù),總計(jì)108座塔.已知包括第1層在內(nèi)的其中十層的塔數(shù)可以構(gòu)成等差數(shù)列{an},剩下的兩層的塔數(shù)分別與上一層的塔數(shù)相等,第1層與第2層的塔數(shù)不同,則下列結(jié)論正確的有( )
A.第3層的塔數(shù)為3
B.第4層與第5層的塔數(shù)相等
C.第6層的塔數(shù)為9
D.等差數(shù)列{an}的公差為2
答案ABD
解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,若d=1,則這10層的塔數(shù)之和為10×1+10×92=55,
則最多有55+10+10=75座塔,不符合題意;
若d≥3,則這10層的塔數(shù)之和不少于10×1+10×92×3>108,不符合題意;
所以d=2,這10層的塔數(shù)之和為10×1+10×92×2=100,
塔數(shù)依次是1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,
依題意剩下兩層的塔數(shù)為3和5,
所以這12層塔的塔數(shù)分別為1,3,3,5,5,7,9,11,13,15,17,19,因此A,B,D正確,C錯(cuò)誤.故選ABD.
8.我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》載有一道數(shù)學(xué)問題:“今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩二,七七數(shù)之剩二,問物幾何?”根據(jù)這一數(shù)學(xué)思想,所有被3除余2的自然數(shù)從小到大組成數(shù)列{an},所有被5除余2的自然數(shù)從小到大組成數(shù)列{bn},把{an}和{bn}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{cn},則下列結(jié)論正確的是( )
A.a3+b5=c3B.b28=c10
C.a5b2>c8D.c9-b9=a26
答案B
解析根據(jù)題意數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列,則an=2+3(n-1)=3n-1,數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2,公差為5的等差數(shù)列,則bn=2+5(n-1)=5n-3,數(shù)列{an}與{bn}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{cn},故數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為2,公差為15的等差數(shù)列,則cn=2+15(n-1)=15n-13.對(duì)于A,a3+b5=(3×3-1)+(5×5-3)=30,c3=15×3-13=32,a3+b5≠c3,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,b28=5×28-3=137,c10=15×10-13=137,b28=c10,B正確;對(duì)于C,a5=3×5-1=14,b2=5×2-3=7,c8=15×8-13=107,a5b2=14×7=980;②{an}是遞增數(shù)列;③S30,且{an}是遞增數(shù)列,所以q>1.
因?yàn)镾30,
所以Snan中最小項(xiàng)為S10a10,故D正確.故選BD.
16.(5分)設(shè)Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若T2nTn(n∈N*)是非零常數(shù),則稱該數(shù)列為“和等比數(shù)列”;若數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為2,公差不為0的等差數(shù)列,且數(shù)列{cn}是“和等比數(shù)列”,則c2+c7+c12= .
答案78
解析設(shè){cn}公差為d.因?yàn)閿?shù)列{cn}是等差數(shù)列,所以前n項(xiàng)和為Sn=n(c1+cn)2,
前2n項(xiàng)和為S2n=2n(c1+c2n)2,
所以S2nSn=2n(c1+c2n)2n(c1+cn)2=2+2nd4+nd-d=2+21+4-dnd.
因?yàn)閿?shù)列{cn}是“和等比數(shù)列”,即S2nSn為非零常數(shù),所以d=4.
故c2+c7+c12=3c7=3(2+6d)=78.
17.(5分)(2024江西南昌模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若對(duì)任意的n∈N*,均有S8≤Sn成立,則a2a1的取值范圍為 .
答案67,78
解析由題意知S8是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和中的最小值,則必有a10,
若a8=0,此時(shí)S7=S8,S7,S8是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和中的最小值,
此時(shí)a8=a1+7d=0,即a1=-7d,則a2a1=a1+da1=-6d-7d=67;
若a8

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